1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (七十 ) 离散型随机变量的均值与方差 A 组 基础达标 一、选择题 1若离散型随机变量 X 的分布列为 ( ) X 0 1 P a2 a22 则 X 的数学期望 EX ( ) A 2 B 2 或 12 C 12 D 1 C 因为分布列中概率和为 1，所以 a2 a22 1，即 a2 a 2 0，解得 a 2(舍去 )或 a 1，所以 EX 12. 2已知某一随机变 量 X 的分布列如下，且 EX 6.3，则 a 的值为 ( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A 5 B 6 C 7 D 8 C 由分布列性质知： 0.5 0.1 b 1，
2、 b 0.4， EX 40.5 a0.1 90.4 6.3， a 7. 3 (2018 湖北调考 )已知随机变量 满足 E(1 ) 5， D(1 ) 5，则下列说法正确的是 ( ) A E 5， D 5 B E 4， D 4 C E 5， D 5 D E 4， D 5 D 因为 E(1 ) 1 E 5，所以 E 4.D(1 ) ( 1)2D 5，所以 D 5，故选 D. 4罐中有 6 个红球， 4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设 X为取得红球的次数，则 X 的方差 D(X)的值为 ( ) 【导学号： 79140379】 =【 ;精品教育资源文库 】 = A.1
3、25 B.2425 C.85 D.2 65 B 因为是有放回地摸球，所以每次摸球 (试验 )摸得红球 (成功 )的概率均为 35，连续摸 4次 (做 4 次试验 )， X 为取 得红球 (成功 )的次数，则 X B? ?4， 35 ， 所以 DX 4 35 ? ?1 35 2425. 5 (2018 合肥二检 )已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E ( ) A 3 B 72 C D 4 B 的可能取值为 2,3,4， P( 2) A22A25110， P( 3)A33 C12C13A22A35 310， P( 4) A33C12C13
4、A33C23C12A45 35，则 E 2110 3310 43572，故选 B. 二、填空题 6 (2016 四川高考 )同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 _ 32 法一：先求出成功次数 X 的分布列，再求均值 由题意可知每次试验不成功的概率为 14，成功的概率为 34，在 2 次试验中成功次数 X 的可能取值为 0,1,2，则 P(X 0) 116， P(X 1) C12 14 34 38， P(X 2) ? ?342 916. 所以在 2 次试验中成功次数 X 的分布列为 X 0 1 2 P 116 38
5、916 则在 2 次试验中成功次数 X 的均值为 EX 0 116 1 38 2 916 32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二：此试验满足二项分布，其中 p 34，所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值为 EXnp 2 34 32. 7设 X 为随机变量， X B? ?n， 13 ，若随机变量 X 的均值 EX 2，则 P(X 2)等于 _ 80243 由 X B?n， 13 ， EX 2，得 np 13n 2， n 6， 则 P(X 2) C26? ?132?1 134 80243. 8某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具 活动，具体规则
6、如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到 3 次为止设甲每次击中的概率为 p(p0) ，射击次数为 Y，若 Y 的数学期望 EY74，则 P 的取值范围是 _. 【导学号： 79140380】 ?0， 12 由已知得 P(Y 1) p， P(Y 2) (1 p)p， P(Y 3) (1 p)2， 则 EY p 2(1 p)p 3(1 p)2 p2 3p 374，解得 p52或 p12， 又 p(0,1) ，所以 p ? ?0， 12 . 三、解答题 9在一袋中有 20个大小相同的球，其中记上 0号的有 10个，记上 n号的有 n个 (n 1,2,3,4)，
7、现从袋中任取一球， X 表示所取球的标号 (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 Y aX b， EY 1， DY 11，试求 a， b 的值 解 (1)X 的取值为 0,1,2,3,4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 EX 0 12 1 120 2 110 3 320 4 15 1.5， DX (0 1.5)2 12 (1 1.5)2 120 (2 1.5)2 110 (3 1.5)2 320 (4=【 ;精品教育资源文库 】 = 1.5)2 15 2.75. (2)由 DY a2DX 得 2.75a2 11，得 a 2 ， 又 EY aE
8、X b， 当 a 2 时，由 1 21.5 b，得 b 2； 当 a 2 时，由 1 21.5 b，得 b 4， ? a 2，b 2 或 ? a 2，b 4. 10 (2017 天津高考 )从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路 口遇到红灯的概率分别为 12， 13， 14. (1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X 0) ? ?1 12 ? ?1 13 ? ?1 1
9、4 14， P(X 1) 12 ? ?1 13 ? ?1 14 ? ?1 12 13 ? ?1 14 ? ?1 12 ? ?1 13 14 1124， P(X 2) ? ?1 12 13 14 12 ? ?1 13 14 12 13 ? ?1 14 14， P(X 3) 12 13 14 124. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望 EX 0 14 1 1124 2 14 3 124 1312. (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y Z 1) P(Y 0
10、， Z 1) P(Y 1， Z 0) P(Y 0)P(Z 1) P(Y 1)P(Z 0) 14 1124 1124 14 1148. 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 1148. B 组 能力提升 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5 次，设摸得白球数为 X，已知 EX 3，则 DX ( ) A.85 B.65 C.45 D.25 B 由题意， X B? ?5， 3m 3 . 又 EX 53m 3 3，所以 m 2. 则 X B? ?5， 35 ，故 DX 5 35 ? ?1 35 65. 12
11、一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记 10 分，没有击中记 0 分某人每次击中目标的概率为 23，则此人得分的数学期望为 _；方差为 _. 【导学号： 79140381】 20 2003 记 此人三次射击击中目标 X 次，得分为 Y 分，则 X B? ?3， 23 ， Y 10X， 所以 EY 10EX 103 23 20， DY 100DX 1003 23 13 2003 . 13 (2018 云南二检 )为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动对于 A， B 两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏 A，若绿灯 闪亮，获得 50 分
12、，若绿灯不闪亮，则扣除 10 分 (即获得 10 分 )，绿灯闪亮的概率为 12；玩一次游戏 B，若出现音乐，获得 60 分，若没有出现音乐，则扣除 20 分 (即获得 20 分 )，出现音乐的概率为 25.玩多次游戏后累计积分达到 130 分可以兑换奖品 (1)记 X 为玩游戏 A 和 B 各一次所得的总分，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)设某人玩 5 次游戏 B，求该人能兑换奖品的概率 解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 110,50,30， 30，分别对应以下四种情况： 玩游戏 A， 绿灯闪亮，且玩游戏 B，出现音乐； 玩游戏 A，绿灯不闪亮，且玩游戏 B，出现音乐；
13、玩游戏 A，绿灯闪亮，且玩游戏 B，没有出现音乐； 玩游戏 A，绿灯不闪亮，且玩游戏 B，没有出现音乐 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 P(X 110) 12 25 15， P(X 50) ? ?1 12 25 15， P(X 30) 12 ? ?1 25 310， P(X 30) ? ?1 12 ? ?1 25 310. 所以 X 的分布列为 X 110 50 30 30 P 15 15 310 310 故 EX 110 15 50 15 30 310 30 310 32. (2)设某人玩 5 次游戏 B 的过程中，出现音乐 n 次 (0 n5 ， n N )，则没出现音乐5 n 次， 依题意得 60n 20(5 n)130 ，解得 n 238 ， 所以 n 3 或 4 或 5. 设 “ 某人玩 5 次游戏 B 能兑换奖品 ” 为事件 M， 则 P(M) C35 ? ?253 ? ?352 C45 ? ?254 35 ? ?255 9923 125.
