1、专题练习14平面向量基本定理(坐标运算)基础巩固1.已知向量a=(-2,3),b=(2,-3),则下列结论正确的是()A.向量a的终点坐标为(-2,3)B.向量a的起点坐标为(-2,3)C.向量a与b互为相反向量D.向量a与b关于原点对称2.若向量a=(3,4),且存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=-12,1,e2=(1,-2)3.(2020年6月浙江学考适应性考试)已知向量a=(1,1),则|a|=()A.1B.2C.3D.24.已
2、知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a=b(R),则实数y的取值范围为()A.-1,1B.-2,2C.0,2D.2,+)5.已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),且表示向量a+3b,-2a-2b,c的有向线段首尾相接构成三角形,则向量c的坐标为()A.(5,-3)B.(-5,3)C.(-1,1)D.(1,-1)6.已知点A2,-12,B12,32,则与向量AB同方向的单位向量是()A.35,-45B.-35,45C.45,-35D.-45,357.已知D是ABC的边AB的中点,则向量CD等于()A.-BC+12BAB.-BC+12ABC.BC-12BAD.BC+12BA8.
3、下列式子中,不能化简为AD的是()A.(AB+CD)+BCB.(AD+MB)+(BC+CM)C.OC-OA+CDD.MB+AD-BM9.已知a=(1,2+sin x),b=(2,cos x),c=(-1,2),(a-b)c,则锐角x等于()A.45B.30C.15D.6010.在ABC中,A=90,AB=1,AC=2.设点P,Q满足AP=AB,AQ=(1-)AC,R.若BQCP=-2,则等于()A.13B.23C.43D.211.(2021年7月浙江模拟)已知向量a=(-2,4),b=(1,-1-2),若ab,则=.12.(2020年1月浙江模拟)已知向量a=(-1,2),b=(m,-1),若
4、a=b(R),则m=.13.设OA=a,OB=b,点P与R关于点A对称,点R与Q关于点B对称,则向量PQ=.14.如图所示,过点M(2,0)的直线与函数y=tan4x-2(0x0,n0,若ab,则1m+8n的最小值为.16.平面内给定三个向量a=(3,-2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足c=xa+yb的实数x,y的值;(2)若(a+kb)(c-2a),求实数k的值.17.如图,以边长为2的正方形ABCD的边AB为直径作半圆,P为半圆上的动点,满足BC=2EC,DF=3FC.(1)设AE=a,AF=b,用a,b分别表示AB和AD;(2)求APDP的取值范围.18.已知向量a=(
5、1,2),b=(-2,1),x=a+(t+1)b,y=-1ka+1tb.(1)写出平面向量基本定理的内容,并由此说明a,b能否成为一组基底;(2)若对于任意非零实数t,x与y均不共线,求实数k的取值范围.19.如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=12AB,点P是线段DC上的动点.(1)若AC=xAB+yAD,求x,y的值;(2)若AC=AP+BD,求的取值范围.20.已知a=(sin x,cos x),b=(sin x,k),c=(-2cos x,sin x-k).(1)当x0,4时,求|b+c|的取值范围;(2)若g(x)=(a+b)c,求当k为何值时,g(x)的最小值为
6、-32.专题练习14平面向量基本定理(坐标运算)1.C2.C解析 由题e1,e2不共线或a,e1,e2共线,只有C符合.3.B解析 |a|=12+12=2.4.B5.A解析 c+a+3b-2a-2b=0,c=a-b=(5,-3).6.B解析 AB=-32,2,|AB|=(-32)2+22=52.与向量AB同方向的单位向量为AB|AB|=-35,45.7.A解析 因为CD=CB+BD,CB=-BC,BD=12BA,所以CD=-BC+12BA.8.D解析 A中,(AB+CD)+BC=AC+CD=AD;B中,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+(MB+BC+CM)=AD+(MC+CM)=AD;C中
7、,OC-OA+CD=AC+CD=AD;D中,MB+AD-BM=AD+2MB,故选D.9.A解析 由题意得a-b=(-1,2+sin x-cos x),再由(a-b)c可得-2-(-1)(2+sin x-cos x)=0,化简可得sin x=cos x,tan x=1,锐角x为45.10.B解析 方法一(坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,2),由AP=AB,AQ=(1-)AC,可得P(,0),Q(0,2-2),则BQ=(-1,2-2),CP=(,-2),所以BQCP=-+4-4=3-4=-2,即=23,故选B.方法二BQ=AQ-AB=(1-)AC-AB,
8、CP=AP-AC=AB-AC,BQCP=(-1)AC2-AB2=4(-1)-=3-4=-2,即=23,故选B.11.12解析 向量a=(-2,4),b=(1,-1-2),ab,-2(-1-2)=41,解得=12.12.12解析 向量a=(-1,2),b=(m,-1),a=b(R),(-1,2)=(m,-1),-1=m,2=-,m=12.13.2(b-a)解析 因为点P与R关于点A对称,点R与Q关于点B对称,2OA=OP+OR,2OB=OQ+OR,所以PQ=OQ-OP=2OB-2OA=2(b-a).14.8解析 函数y=tan4x-2(0x0,n0,1m+8n=14(n+2m)1m+8n=141
9、0+nm+16mn1410+2nm16mn=92,当且仅当n=4m=83时取等号,1m+8n的最小值是92.16.解 (1)由c=xa+yb得(4,1)=(3x-y,-2x+2y),3x-y=4,-2x+2y=1,解得x=94,y=114.(2)a+kb=(3-k,-2+2k),c-2a=(-2,5),(a+kb)(c-2a),5(3-k)+2(-2+2k)=0,k=11.17.解 (1)因为BC=2EC,DF=3FC,所以AF=AD+DF=AD+34AB,AE=AB+BE=AB+12AD,所以AD+34AB=b,AB+12AD=a,解得AB=85a-45b,AD=-65a+85b;(2)以A
10、B中点O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示,因为正方形边长为2,所以半圆O是单位圆位于x轴上方的部分,设P(cos ,sin )(0,),A(-1,0),D(-1,2),所以AP=(cos +1,sin ),DP=(cos +1,sin -2),所以APDP=(cos +1)2+sin (sin -2)=2+22cos+4,又因为0,所以+44,54,所以cos+4-1,22,所以(APDP)max=2+2222=4,(APDP)min=2+22(-1)=2-22,所以APDP2-22,4.18.解 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,
11、那么对这一平面内任意向量a,有且仅有一对实数1,2,使得a=1e1+2e2.因为11-2(-2)0,所以a,b不共线,可以成为一组基底.(2)若x与y共线,则存在R,使得x=y,化简得t(t+1)+k=0t2+t+k=0,而x与y均不共线,所以对于任意非零实数t,方程t2+t+k=0无实根,所以=1-4k14,即k的取值范围为14,+.19.解 (1)因为AC=AD+DC=AD+12AB,所以x=12,y=1.(2)设DP=tAB,t0,12,所以AC=AP+uBD=(AD+DP)+u(AD-AB)=(AD+tAB)+u(AD-AB)=(+u)AD+(t-u)AB,由(1)得AC=AD+12A
12、B,根据平面向量基本定理,得+u=1,t-u=12,从而(t+1)=32,=32(t+1),因为t0,12,所以1,32.从而=(1-)=-(-12)2+14-34,0.20.解 (1)b+c=(sin x-2cos x,sin x),|b+c|2=(sin x-2cos x)2+sin2x=2sin2x-4sin xcos x+4cos2x=2cos2x-4sin xcos x+2=cos 2x-2sin 2x+3=555cos 2x-255sin 2x+3=5cos(2x+)+3,其中cos =55,sin =255,又x0,4,2x+,2+,5cos(2x+)在0,4上单调递减,|b+c
13、|21,4,|b+c|1,2.(2)a+b=(2sin x,cos x+k),g(x)=(a+b)c=-4sin xcos x+(cos x+k)(sin x-k)=-3sin xcos x+k(sin x-cos x)-k2.令t=sin x-cos x=2sinx-4,则t-2,2,且t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x=1-2sin xcos x,sin xcos x=1-t22.g(x)可化为h(t)=(-3)1-t22+kt-k2=32t2+kt-k2-32,t-2,2,对称轴t=-k232=-k3.当-k332时,g(x)min=h(-2)=32(-2)2+k(-2)-k2-32=-k2-2k+32,由-k2-2k+32=-32,得k2+2k-3=0,k=-2142,k32,此时无解.当-2-k32,即-32k32时,g(x)min=h-k3=32-k32+k-k3-k2-32=-76k2-32.由-76k2-32=-32,得k=0-32,32.当-k32,即k-32时,g(x)min=h(2)=32(2)2+2k-k2-32=-k2+2k+32.由-k2+2k+32=-32,得k2-2k-3=0,k=2142.k-32,此时无解.综上所述,当k=0时,g(x)的最小值为-32.
