1、专题练习13平面向量的概念与运算基础巩固1.给出下列说法:若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;若向量AB,CD满足|AB|CD|,且AB与CD同向,则ABCD;若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行,其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.42.向量a=(2,1),b=(1,3),则a+b=()A.(3,4)B.(2,4)C.(3,-2)D.(1,-2)3.(2017年11月浙江学考)已知向量a=(4,3),则|a|=()A.3B.4C.5D.74.(2018年6月浙江学考)已知向量a=(x,1),b=(2,-3)
2、,若ab,则实数x的值是()A.-23B.23C.-32D.325.如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则AF+BD等于()A.FDB.FCC.FED.BE6.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,AB=a,AD=b,则BE=()A.-12a-bB.-12a+bC.12a-bD.12a+b7.在ABC中,D为边BC上一点,E是线段AD的中点,若BD=DC,CE=13AB+AC,则+=()A.13B.-13C.76D.-768.(2021年1月浙江学考模拟)若点G为ABC的重心(三角形三边中线的交点),设BG=a,GC=b,则AB=()A.32a-12bB.32a+12b
3、C.2a-bD.b-2a9.(多选)如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,下列以O为起点的向量中,终点落在阴影区域内的向量是()A.OA+2OBB.12OA+13OBC.34OA+13OBD.34OA+15OB10.已知向量a,b不共线,c=3a+b,d=ma+(m+2)b,若cd,则m=()A.-12B.-9C.-6D.-311.已知A(m,-6),B(-2,m),P(0,-2),Q(-5,m),则下列选项中是ABPQ的充分不必要条件的是()A.m=-12B.m=2C.m=-2D.m=-2或m=-1112.已知向量a=(1,-2),b=(2,-4),则()A.a与b同向B.a与b反向C.(
4、a+b)aD.(a+b)b13.已知四边形ABCD是边长为1的菱形,BAD=60,则|DC+BC|=.14.如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD=13BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设BA=a,BC=b,则EF=,DF=,CD=.(用向量a,b表示)15.在边长为1的正方形ABCD中,设AB=a,BC=b,AC=c,则|b-a-c|=.16.设a,b是不共线的两个平面向量,已知PQ=a+kb,QR=2a-b,若P,Q,R三点共线,则实数k的值为.17.如图,在ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为.18.已知平行四边形ABCD,A(1,
5、3),B(2,4),C(5,6),则点D的坐标为.素养提升19.已知e1=(2,1),e2=(1,3),a=(-1,2),若a=1e1+2e2,则实数对(1,2)为.20.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,8),若A,B,C三点共线,则k=.21.已知两个非零向量a,b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.(1)若2OA-3OB+OC=0,求实数k的值;(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.22.已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求GA+GB+GO;(2)若PQ过ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求
6、证:1m+1n=3.23.已知平面向量a,b,a=(1,2).(1)若b=(0,1),求|a+2b|的值;(2)若b=(2,m),a与a-b共线,求实数m的值.24.已知平面内三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k的值;(3)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求向量d.专题练习13平面向量的概念与运算1.A解析 正确;两向量不能比较大小,故不正确;a与b长度相等,但方向不定,故不正确;规定0与任意向量平行,故不正确.2.A3.C4.A5.D6.B解析 由题意可得B
7、E=BA+AD+DE=-a+b+12a=b-12a.7.B解析 CE=13(CB-CA)+AC=13CB+-13-CA=+13CD+-13-CA.因为E是线段AD的中点,所以+13=12,-13-=12,解得=12,=-56,所以+=-13.8.D解析 因为点G为ABC的重心,所以有GA+GB+GC=0.因为BG=a,GC=b,所以GA=BG-GC=a-b,所以AB=GB-GA=b-2a.故选D.9.AC解析 由向量共线的条件可得:当点P在直线AB上时,存在唯一的一对有序实数u,v,使得OP=uOA+vOB成立,且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于:OP=uOA+vOB,且u0,v0
8、,u+v1.证明如下:如下图所示,点P是阴影区域内的任意一点,过点P作PEON,PFOM,分别交OM,ON于点E,F;PE交AB于点P,过点P作PFOM交ON于点F,则存在唯一一对实数(x,y),(u,v),使得OP=xOE+yOF=uOA+vOB,且u+v=1,u,v唯一;同理存在唯一一对实数x,y使得OP=xOE+yOF=uOA+vOB,而x=x,yy,u=u,vv,u+vu+v=1,对于A,1+21,根据以上结论,点P位于阴影区域内,故A正确;对于B,因为12+131,所以点P位于阴影区域内,故C正确;对于D,因为34+15=19201,所以点P不位于阴影区域内,故D不正确.故选AC.1
9、0.D解析 已知向量a,b不共线,且c=3a+b,d=ma+(m+2)b,因为cd,所以c=d,则3a+b=ma+(m+2)b,所以m=3,(m+2)=1,解得m=-3,=-1.故选D.11.C解析 A(m,-6),B(-2,m),P(0,-2),Q(-5,m),AB=(-2-m,m+6),PQ=(-5,m+2).ABPQ,-5(-2-m)+(m+6)(m+2)=0,m=-2或m=-11.-2-2,-11,m=-2符合题意.故选C.12.A13.3解析 四边形ABCD是边长为1的菱形,BAD=60,ADC=120,在ACD中,由余弦定理得AC=AD2+CD2-2ADCDcosADC=3.|DC
10、+BC|=|DC+AD|=|AC|=3.14.13b-a16b-aa-23b解析 EF=EA+AB+BF=-16b-a+12b=13b-a,DF=DE+EF=-16b+13b-a=16b-a,CD=CF+FD=-12b-16b-a=a-23b.15.2解析 由题|a|=1,a+b=c,|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2.16.-12解析 因为P,Q,R三点共线,所以PQ=QR,即a+kb=(2a-b),所以1=2,k=-,故k=-12.17.19解析 B,P,N三点共线,存在实数使得AP=AB+(1-)AN=AB+1-4AC=mAB+29AC,=m,1-4=29,解得
11、m=19.18.(4,5)19.(-1,1)解析 a=1e1+2e2=(21+2,1+32),又a=(-1,2),-1=21+2,2=1+32,解得1=-1,2=1,实数对(1,2)=(-1,1).20.18解析 BC=OC-OB=(6,3),AC=OC-OA=(10-k,-4).A,B,C三点共线,BCAC,-24-3(10-k)=0,解得k=18.21.解 (1)2OA-3OB+OC=0,2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a0,k=-1;(2)A,B,C三点共线,BC=AB,OC-OB=(OB-OA),(k-1)a+10b=-a+5b,又a,b不共线,k-
12、1=-,10=5,k=-1.22.(1)解 GA+GB=2GM=-GO,GA+GB+GO=0;(2)证明 易知OM=12(a+b),因为G是ABO的重心,所以OG=23OM=13(a+b),由P,G,Q三点共线,得QG=tQP,OG-OQ=t(OP-OQ),即OG=tOP+(1-t)OQ,13a+13b=mta+(1-t)nb,由a,b不共线得mt=13,(1-t)n=13,1m+1n=3.23.解 (1)a+2b=(1,2)+(0,2)=(1,4),所以|a+2b|=12+42=17.(2)a-b=(-1,2-m),因为a与a-b共线,所以-11=2-m2,解得m=4.24.解 (1)a=mb+nc,(3,2)=(-m+4n,2m+n).-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.(2)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)+5(2+k)=0,即k=-1613.(3)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b),|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1,解得x=4+55,y=1+255或x=4-55,y=1-255,d=4+55,1+255或d=4-55,1-255.
