1、专题练习7对数与对数函数基础巩固1.(2020年1月浙江学考)log62+log63=()A.0B.1C.log65D.log1252.(2019年4月浙江学考)函数y=log3(x-2)的定义域为()A.x|x2B.x|x0C.x|xbcB.cbaC.acbD.cab6.已知y=a-x(a0且a1)是增函数,那么函数f(x)=loga1x+1的图象大致是()7.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a0,且a1)过定点P,则点P的坐标是.8.已知lg 2=a,lg 3=b,则log512等于.9.(2021台州期末)已知lg a-lg b=lg(a-b),则实数a的取值范围是.10.(2
2、021浙江高一期末)已知函数f(x)=log2x-3,x0,2-x+3,x0,则f14+flog213的值为.11.不等式log0.25(x-1)1的解集是.12.(2021温州乐清期末测试)已知2a=5b=10,则4-a=,1a+1b=.13.已知f(x)=3(a-1)x+4a,x0,函数f(x)=lg(2x-m).(1)当m=1时,解不等式f(x)0;(2)若对于任意t1,32,f(x)在区间t,2t上的最大值与最小值的和不大于1,求实数m的取值范围.16.(2021丽水期末测试)已知函数f(x)=log2x+2x.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)在(0,+)上的单调性,并证明
3、你的结论;(3)是否存在实数m,使得y=f(x-m)为奇函数?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.17.已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a0,a1).(1)当a=2时,求f(2);(2)求解关于x的不等式f(x)0;(3)若x2,4,f(x)4恒成立,求实数a的取值范围.18.(2021嘉兴期末测试)对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足以下条件:y=f(x)在D上单调递增或单调递减;存在区间a,bD,使y=f(x)在a,b上的值域是a,b,那么我们把函数y=f(x)(xD)叫作闭函数.(1)判断函数g(x)=3x-3x是不是-1,2上的闭函数?若不是,请说明理由
4、;(2)若h(x)=ln(e2x+m)为闭函数,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).素养提升19.(2020浙江嘉兴一中月考)若实数a,b满足3a=4b=12,则1a+1b=()A.12B.15C.16D.120.(2021宁波期末测试)函数f(x)=ln|x|ex-e-x的大致图象是()21.若定义在a,b上的函数f(x)=|ln x|的值域为0,1,则b-a的最小值为.22.已知函数f(x)为R上的偶函数,当x0时,f(x)=log2 020(x2+1+x),则关于x的不等式f(1-2x)f(2)的解集为.23.(2019浙江高一期中)已知函数f(x)=log3mx2+8x+nx2+
5、1.(1)若m=4,n=4,求函数f(x)的定义域和值域;(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为0,2,求实数m,n的值.24.(2021温州期末复习)已知函数f(x)=2x-12,x1.(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-m,讨论g(x)的零点的个数.25.(2021浙江期末测试)已知函数f(x)=logax(a0,a1).(1)若f(a+4)f(3a),求实数a的取值范围;(2)设a=2,函数g(x)=-f(x)2+(3-2m)f(x)+m+2(00x2,即定义域为x|x2.3.D解析 lg a+lg b=1,即lg ab=1,ab=10,而a0,b0,2a
6、+5b22a5b=2,当且仅当a=2,b=5时,等号成立.2a+5b的最小值为2.故选D.4.C解析 由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,V=1100.1=1101011.2590.8.5.D解析 b=log50.20a=2-0.31ab.故选D.6.D解析 y=a-x可变形为y=1ax,若它是增函数,则1a1,0ab0,lgab=lg(a-b),所以ab=a-b,化简得a=b2b-10,所以b1,则a=(b-1)(b+1)+1b-1=b+1+1b-1=b-1+1b-1+24,当且仅当b-1=1b-1,即b=2时,等号成立.故a4,+).10.1
7、解析 f14=log214-3=-2-3=-5,flog213=2-log213+3=2log23+3=6,f14+flog213=-5+6=1.11.1,54解析 由f(x)=log0.25x在(0,+)单调递减,因为log0.25(x-1)1=log0.250.25,所以x-10,x-10.25,解得1x54,即解集为1,54.12.11001解析 因为2a=10,故可得a=log210,因为5b=10,故可得b=log510,则4-a=4-log210=2log21100=1100,则1a+1b=log102+log105=log1010=1.13.37,1解析 因为f(x)=3(a-1
8、)x+4a,x1,logax,x1是R上的减函数,所以a-10,0a1,3(a-1)+4aloga1=0,解得37a0,2x-11,解得x12,x1,不等式的解集为12,1.(2)由题易知:f(x)为增函数,则f(x)在区间t,2t上的最大值与最小值分别为f(2t),f(t).对于任意t1,32,f(x)在区间t,2t上的最大值与最小值的和不大于1,等价于2-m0,lg(2t-m)+lg(4t-m)1对于任意t1,32恒成立,即m2,8t2-6mt+m2-100对于任意t1,32恒成立.设g(t)=8t2-6mt+m2-10,t1,32,因为m0,则x(x+2)0,得x0,函数的定义域为x|x
9、0.(2)f(x)在(0,+)上单调递减.证明:设x1,x2(0,+)且x1x2,f(x1)-f(x2)=log2x1+2x1-log2x2+2x2=log2x2(x1+2)x1(x2+2),x1x1x2+2x10,x2(x1+2)x1(x2+2)1,log2x2(x1+2)x1(x2+2)0,f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上单调递减.(3)令g(x)=f(x-m)=log2x-m+2x-m,g(-x)=log2-x-m+2-x-m=-log2x-m+2x-m,log2x+m-2x+m+log2x-m+2x-m=0,(x+m-2)(x-m+2)(x+m)(x-m)=1,x2-(m-
10、2)2=x2-m2,m=1,即存在m=1,使得y=f(x-m)为奇函数.17.解 (1)当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2,f(2)=1-1-2=-2.(2)由f(x)0得(logax)2-logax-2=(logax-2)(logax+1)0,logax2.当a1时,解不等式可得0xa2;当0a1a或0x1时,f(x)0的解集为0,1a(a2,+);当0a0的解集为(0,a2)1a,+.(3)由f(x)4得(logax)2-logax-6=(logax-3)(logax+2)0,logax-2或logax3.当a1时,(logax)max=loga4,(logax)min
11、=loga2,loga4-2=logaa-2或loga23=logaa3,解得1a32.当0a1时,(logax)max=loga2,(logax)min=loga4,loga2-2=logaa-2或loga43=logaa3,解得22ag(1),g(1)g(2),所以g(x)=3x-3x不是单调函数,故不是闭函数.(2)h(x)=ln(e2x+m)在定义域上单调递增,当xa,b时,ya,b,所以h(a)=ln(e2a+m)=a,h(b)=ln(e2b+m)=b,即e2a-ea+m=0,e2b-eb+m=0,所以a,b是方程e2x-ex+m=0的两个根,令t=ex(0,+)且在R上单调递增,则
12、方程t2-t+m=0在(0,+)上有两个不同的实根,因为m=-t2+t,令h(t)=-t2+t在0,12上单调递增,在12,+上单调递减,h12=14,所以m0,14.19.D解析 因为3a=4b=12,所以a=log312,b=log412,1a+1b=1log312+1log412=log123+log124=log1212=1.20.C解析 函数的定义域为x|x0,f(-x)=ln|-x|e-x-ex=-f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除D,f(1)=0,排除A,B,故选C.21.1-1e解析 f(x)=|ln x|=-lnx,0x1,lnx,x1,f(x)在(0,
13、1上单调递减,在1,+)上单调递增,f(x)min=f(1)=0,又f1e=f(e)=1,由题意1ea1,1be,且a=1e和b=e中至少有一个取到.b-a的最小值是1-1e,即a=1e,b=1.22.-12,32解析 由于函数f(x)=log2 020(x2+1+x)在区间0,+)上单调递增,由于函数y=f(x)为R上的偶函数,由f(1-2x)f(2)可得f(|1-2x|)f(2),所以|1-2x|2,可得-22x-12,解得-12x32.因此,关于x的不等式f(1-2x)0,得x2+2x+10,得x-1,故定义域为x|x-1.令t=4x2+8x+4x2+1,则(t-4)x2-8x+t-4=
14、0,当t=4时,x=0符合.当t4时,上述方程要有解,则=64-4(t-4)20,t0,得到0t4或4t8,又x-1,所以t0,所以00恒成立,则m0,64-4mn0,mn16,令t=mx2+8x+nx2+1,由于f(x)的值域为0,2,则t1,9,而(t-m)x2-8x+t-n=0,则由=64-4(t-m)(t-n)0,解得t1,9,故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,则m+n=10,mn-16=9,得到m=5,n=5,符合题意.所以m=5,n=5.24.解 (1)当x-1时,函数f(x)单调递增,且-12f(x)1时,f(x
15、)0时,函数y=m与y=f(x)的交点为0个,此时g(x)有0个零点,当m=0时,函数y=m与y=f(x)的交点为2个,此时g(x)有2个零点,当-12m0时,函数y=m与y=f(x)的交点为4个,此时g(x)有4个零点,当-1m-12时,函数y=m与y=f(x)的交点为3个,此时g(x)有3个零点,当m=-1时,函数y=m与y=f(x)的交点为2个,此时g(x)有2个零点,当m-1时,函数y=m与y=f(x)的交点为1个,此时g(x)有1个零点.25.解 (1)当0a1时,f(x)为减函数,f(a+4)f(3a)等价于0a1,a+43a,解得0a1时,f(x)为增函数,f(a+4)f(3a)等价于a1,a+43a,解得a2,综上所述,0a1或a2,即a的取值范围为(0,1)2,+).(2)因为a=2,所以f(x)=log2x为增函数,若x1,2m,则f(x)0,m,令t=f(x),则0tm,所以y=g(x)=-t-3-2m22+m2-2m+174,0tm,当03-2m2m,即34m1时,ymax=m2-2m+174=(m-1)2+134m,即0m34时,当t=m时,ymax=-3m2+4m+2=-3m-232+103103,所以g(x)103.
