1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 导学案 1了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.2初步掌握求函数极值的方法 3体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系重点：求函数极值 难点：函数极值与导数的关系 1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf (x)在点xa的函数值f (a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f (a)_，而且在点xa附近的左侧_，右侧_，就把点a叫做函数yf (x)的极小值点，_叫做函数yf (x)的极小值0 ;f (x)0;f (x)0;f (a) (2)极大值点与极大值若函数yf (x)在点xb的函数值f (b)比它在点xb附近其他点
2、的函数值都大，f (b)_，而且在点xb附近的左侧_，右侧_，就把点b叫做函数yf (x)的极大值点，_叫做函数yf (x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为_；极大值、极小值统称为_0 ;f (x)0;f (x)0;f (b);极值点 ;极值 1函数f (x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点 一、新知探究在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：
3、观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？以a，b为例进行说明.探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？二、典例解析例5. 求函数fx=13x3-4x2+4的极值.问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数yf(x)的极值的步骤(1)求出函数的定义域及导数f(x)；(
4、2)解方程f(x)0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)用方程f(x)0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；(4)由f(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f(x)0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导数为0的点一定是极值点吗？问题思考跟踪训练1 求下列函数的极值：(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数yf (
5、x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1，2)上函数f (x)为增函数B在(3，4)上函数f (x)为减函数C在(1，3)上函数f (x)有极大值Dx3是函数f (x)在区间1，5上的极小值点2设函数f (x)xex，则()Ax1为f (x)的极大值点Bx1为f (x)的极小值点Cx1为f (x)的极大值点Dx1为f (x)的极小值点3已知函数f (x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_4已知函数f (x)2ef (e)ln x，则函数f (x)的极大值为_求可导函数yf (x)的极值的方法解方程f (x)0，当f (x0)0时：(1)如果在x
6、0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极小值 参考答案：知识梳理1 C设yf (x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值学习过程二、 新知探究探究1：放大t=a附近函数h(t)的图像,如图，可以看出，ha=0;在t=a的附近，当t0;当ta时，函数h(t)单调递减，ht0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t0）后减（当ta时，ht0）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，ht先正后负，且
7、ht连续变化，于是有ha=0.探究2：（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧fx0;（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧fx0，右侧fx0.二、 典例解析例5. 解：因为 fx=13x3-4x2+4 的定义域为R，所以fx=x2-4 =(x+2)(x-2)令fx=0,解得：x1=-2,x2=2当x变化时，fx， fx，的变化情况如下表因此，当x=-2时，fx有极大值，极大值为f-2= 283; 当x=2时，fx有极小值，极小值为f2=- 43.函数fx=13x3
8、-4x2+4的图像如图所示.问题2： 提示不一定，如f (x)x3，f (0)0， 但x0不是f (x)x3的极值点所以，当f (x0)0时，要判断xx0是否为f (x)的极值点，还要看f (x)在x0两侧的符号是否相反跟踪训练1 解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)y00y极大值极小值当x1时，函数yf (x)有极大值，且f (1)10；当x3时，函数yf (x)有极小值，且f (3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x
9、10，x23，x35.当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0(0，3)3(3，5)5(5，)y000y无极值极大值108极小值0x0不是y的极值点；x3是y的极大值点，y极大值f (3)108；x5是y的极小值点，y极小值f (5)0.达标检测1.D由题图可知，当1x2时，f (x)0，当2x4时，f (x)0，当4x5时，f (x)0，x2是函数f (x)的极大值点，x4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误2 D令f (x)exxex(1x)ex0，得x1.当x1时，f (x)0；当x1时，f (x)0.故当x1时，f (x)取得极小值3 (，1)(2，)f (x)3x26ax3(a2)，函数f (x)既有极大值又有极小值，方程f (x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.4 2ln 2f (x)，故f (e)，解得f (e)，所以f (x)2ln x，f (x).由f (x)0得0x2e，f (x)0得x2e.所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，)单调递减，故f (x)的极大值为f (2e)2ln 2e22ln 2.故f (x)的极大值为f (2e)2ln 2e22ln 2.
