1、1.4.2 充要条件【学习目标】课程标准学科素养1.理解充要条件的意义.（重点）2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点）3.能对充要条件进行证明.（难点）1、数学抽象2、逻辑推理【自主学习】一如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.2 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为 条件.思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？三“”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是
2、s的充要条件【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)符号“”具有传递性()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件()(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件()【经典例题】题型一 充要条件的判断点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性.例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q
3、：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy0，q：x0，y0；（4）p：x=1是一元二次方程ax+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a0).【跟踪训练】1 “x1”是“x22x10”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件题型二 充要条件的证明点拨：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证pq是证明充分性，推证qp是证明必要性.(2)集合思想：记p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x)，若AB，则p与q互为充要条件.例2 已知：圆
4、O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。【跟踪训练】2 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【跟踪训练】3 已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件【当堂达标】1 .已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知A，B是非空集合，命题p：ABB，命题q：AB，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D必要不充分条件3.“x
5、2(y2)20”是“x(y2)0”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.设xR，则“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5.关于x的不等式|x|a的解集为R的充要条件是_6. 求证：一次函数ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是b0.【课堂小结】1.概念充要条件概念的理解.2.充要条件的证明.3.充要条件的应用.【参考答案】【自主学习】pq qp pq 充要 充要思考：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)【经典例题】 例1 解
6、（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以pq，所以p不是q的充要条件。（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。（3）因为x0时，x0,y0不一定成立（为什么），所以pq,所以p不是q的充要条件。（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，pq，所以p是q的充要条件。 【跟踪训练】1 A 解析解x22x10得x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件.例2 证明：设p:d=r，q:直线l与圆O相切.（1）充分性(p q):如图，作OPl于点P，则OP=d.若d=r，则点P在圆O
7、上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在RtOPQ中，OQOP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆 O 的外部，即直线l与圆O 仅有一个公共点P.所以直线l与圆 O 相切.（2）必要性(q p):若直线l与圆 O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆 O 相切的充要条件. 【跟踪训练】2 证明必要性：由于方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根.综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0)，记由p是q的必要不充分条件可得B
8、A解得：m3，又m0所以实数m的取值范围为【跟踪训练】3 解方程x2(2k1)xk20，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：k2.所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k2.【当堂达标】1. A 解析：a3时，A1，3，AB，当AB时，a2或3.2.D 解析：由ABB，得AB或AB；反之，由AB，得ABB，所以p是q的必要不充分条件3.B 解析：x2(y2)20，即x0且y2，x(y2)0.反之，x(y2)0，即x0或y2，x2(y2)20不一定成立4. A 解析：因为x1，而|x|1x1，故“x1”的充分不必要条件5aa恒成立，|x|0，a0.6.证明充分性：如果b0，那么ykx，当x0时，y0，函数图象过原点.必要性：因为ykxb(k0)的图象过原点，所以当x0时，y0，得0k0b，所以b0.综上，一次函数ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是b0.
