1、 9.2.4总体离散程度的估计导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)3.理解离散程度参数的统计含义【自主学习】知识点1 方差、标准差的定义一组数据x1，x2，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为（），标准差为.知识点2 总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体平均数为，则称S2为总体方差，S为总体标准差如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i1,2，k)
2、，则总体方差为S2.知识点3 样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，yn，样本平均数为，则称为样本方差，s为样本标准差知识点4 方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的但在解决实际问题中，一般多采用标准差【合作探究】探究一 标准差与方差的应用【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方
3、差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定【答案】(1)甲100，乙100.s，s1.(2)乙机床加工零件的质量更稳定.【解析】(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定.归纳总结：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究
4、方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高【练习1】为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？【答案】理科185(分)，方差s31.25；文科284(分)，方差s41.75.理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好【解析
5、】计算理科同学成绩的平均数1(7979818185899294)85(分)，方差s(7985)2(7985)2(8185)2(8185)2(8585)2(8985)2(9285)2(9485)231.25；计算文科同学成绩的平均数2(7380808184909094)84(分)，方差s(7384)2(8084)2(8084)2(8184)2(8484)2(9084)2(9084)2(9484)241.75.因为12，ss，所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好探究二 用样本平均数和样本标准差估计总体【例2】在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机
6、抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出这也就是估计值归纳总结：（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.（2）计算样本平均数、样本方差直接
7、利用公式，注意公式的变形和整体代换【练习2】在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，x8，其平均数记为，方差记为s；把观众代表打分样本记为y1，y2，y12，其平均数为，方差记为s；把总体数据的平均数记为，方差记为s2.则总样本平均数为：47.456.252.68(分)，总样本方差为：s2()8s
8、()212s()283.72(47.452.68)21211.82(56.252.68)2107.6，总样本标准差s10.37.所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.课后作业A组 基础题一、选择题1下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A平均数B中位数C方差D众数【答案】C由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度2对一组样本数据xi(i1,2，n)，如将它们改为xim(i1,2，n)，其中m0，则下面结论正确的是()A平均数与方差都不变B平均数与方差都变了C平均数不变，方差变了D平均数变了，方差不变【答案】D若x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则ax1
9、b，ax2b，axnb(a0)的平均数为ab，方差为a2s2，标准差为，则正确答案应为D3样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()AB C2D【答案】D样本a,0,1,2,3的平均数为1，1，解得a1.则样本的方差s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22，故标准差为.故选D4高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|xy|的值为()A15B16C17D18【答案】D由题意得，108，35.2，由解得或所以|xy|1
10、8.故选D5在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20甲2乙30乙3其中甲乙，则两个班数学成绩的方差为()A3B2 C2.6D2.5【答案】C由题意可知两个班的数学成绩平均数为甲乙，则两个班数学成绩的方差为s22(甲)23(乙)2232.6.二、填空题6甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均数8.58.78.88.0方差s23.53.52.18.7则参加奥运会的最佳人选应为_【答案】丙因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙7五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a_，这五个数的标准差是_【答案】5由3得a5
11、；由s2(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22得，标准差s.8为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为_【答案】200设男、女员工的权重分别为男，女，由题意可知s2男s(男)2女s(女)2，即男502(7060)2(1男)602(5060)2602，解得男，女，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.三、解答题9甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如
12、下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8【答案】甲品种的样本平均数为(9.89.910.11010.2)10，样本方差为(9.810)2(9.910)2(10.110)2(1010)2(10.210)250.02.乙品种的样本平均数为(9.410.310.89.79.8)10，样本方差为(9.410)2(10.310)2(10.810)2(9.710)2(9.810)250.244.因为0.2440.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定10某学校统
13、计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差【答案】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高45，年龄的方差为s3(5845)25(4045)22(3845)273，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为384539.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s22(3839.2)273(4539.2)220.64.11从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)
14、95，105)105，115)115，125频数62638228(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图：(2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方
15、差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定B组 能力提升一、选择题1某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的平均数为()A1.1 B3 C1.5 D2【答案】A解析设数据xi出现的频率为pi(i1,2，n)，则x1，x2，xn的平均数为x1p1x2p2xnpn00.510.220.0530.240.051.1，故选A.2样本a,3,5,7的
16、平均数是b，且a，b是方程x25x40的两根，则这个样本的方差是()A3 B4 C5 D6【答案】C解析x25x40的两根是1,4.当a1时，a,3,5,7的平均数是4；当a4时，a,3,5,7的平均数不是1.a1，b4，则方差s2(14)2(34)2(54)2(74)25.3高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|xy|的值为()A15 B16 C17 D18【答案】D解析由题意得，108，35.2，由解得x99，y117，所以|xy|18.故选D.4(多选题)若样本1x1,1
17、x2,1x3，1xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2x1,2x2，2xn，下列结论正确的是()A平均数是10B平均数是11C方差为2D方差为3【答案】BC若x1，x2，xn的平均数为，方差为s，那么x1a，x2a，xna的平均数为a，方差为s，故选BC5(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为 3小时，方差为s2 2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为12.6，23.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s1，s2，s3，则高三学生每天读书时间
18、的平均数3可能是()A3.2B3.3C2.7D4.5【答案】BC由题意可得20031(32.6)22(33.2)23(33)2，解得33.3或2.7.二、填空题6由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_(从小到大排列)【答案】1,1,3,3不妨设x1x2x3x4且x1，x2，x3，x4为正整数由条件知即又x1，x2，x3，x4为正整数，x1x2x3x42或x11，x2x32，x43或x1x21，x3x43.s1，x1x21，x3x43. 由此可得4个数分别为1,1,3,3.7已知一组数据x1，x2，x10的方差是2，且(x13)2(x
19、23)2(x103)2380，则这组数据的平均数_.答案3或9解析数据x1，x2，x10的方差为2，(x1)2(x2)2(x10)22，即(x1)2(x2)2(x10)220.又(x13)2(x23)2(x103)2380，90102(26)10360，26270，解得3或9.8已知某位同学五次数学考试成绩分别为121,127,123，a,125.若其平均成绩是124，则这组数据的方差为_答案4解析由平均成绩是124，可以求得a124，然后由方差公式得方差为(121124)2(127124)2(123124)2(124124)2(125124)24.三、解答题9我国是世界上严重缺水的国家之一，
20、某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中a的值；(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差【答案】(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0，0.5)内的频率为0.080.50.04，同理，在0.5,1)，1.5, 2)，2, 2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5内的频率分别为0.08,0.21,0.
21、25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)2a0.5，解得a0.30.(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是10.25，20.75，31.25，41.75，52.25，62.75，73.25，83.75，94.25, 这100户居民的月均用水量为0.040.250.080.750.151.250.211.750.252.250.152.750.063.250.043.750.024.252.03，则这100户居民月均用水量的方差为s20.040.3(0.252.03)20.080.3(0.752.03)20.150.3(1.2
22、52.03)20.210.3(1.752.03)20.250.4(2.252.03)20.150.4(2.752.03)20.060.4(3.252.03)20.040.4(3.752.03)20.020.4(4.252.03)21.113 6.10为提倡节能减排，同时减轻居民负担，某市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量(单位：度)0,200(200,400(400，)电价(单位：元/度)0.610.660.91例如：某用户11月用电41
23、0度，采用合表电价收费标准，应交电费4100.65266.5(元)，若采用阶梯电价收费标准，应交电费2000.61(400200)0.66(410400)0.91263.1(元)为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.组别月用电量频数统计频数频率0,100(100,200(200,300(300,400(400,500(500,600合计(1)完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；
24、(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)设某用户11月用电量为x度(xN)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？【答案】(1)频率分布表如下：组别月用电量频数统计频数频率0,10040.04(100,200120.12(200,300240.24(300,400300.30(400,500260.26(500,60040.04合计1001频率分布直方图如图：(2)该100户用户11月的平均用电量500.041500.122500.243500.34500.265500.04324(度)，所以估计全市住户11月的平均用电量为324度(3)y10.65x，y2由y2y1得或或解得x423.1.因为xN，故x的最大值为423.根据频率分布直方图，x423时的频率为0.040.120.240.3230.002 60.759 80.75，故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠
