1、6.2.4向量数量积向量数量积本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强2sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的的作用下产生的位移位移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样所做的功应当怎样计算？计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量.|s|F|Wcos新课引入新课引入讲课人：邢启强3向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，aOA
2、a OBb 则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.babOabAB当当=0时，时，与与 同向；同向；ab当当=180时，时，与与 反向；反向；ab当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。ababababab学习新知学习新知讲课人：邢启强4平面向量的数量积：平面向量的数量积：已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定|cosa bababa b|cosa ba bBB1OAab规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。强调强
3、调：两个向量的数量积是数量，：两个向量的数量积是数量，只与两向量的长度及夹角有关只与两向量的长度及夹角有关|a|cos（|b|cos）叫做向）叫做向量量a在在b方向上（向量方向上（向量b在在a方方向上）的向上）的投影投影。学习新知学习新知讲课人：邢启强5例例1.已知已知 ，的夹角的夹角=120=120，求求 。|5,|4abab 与与a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4()210=a ba b 典型例题典型例题讲课人：邢启强6例例2.已知已知 求求 的夹角的夹角。|12,|9,54 2,aba b ab与解：解：54 22cos12 92|a ba b=典型例题典型例题|cos
4、a ba b 由得因为0,所以34讲课人：邢启强7学习新知学习新知如图(1),设 是两个非零向量,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1.我们称上述变换为向量a向向量b投影(project),A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.,a b,ABa CDb 如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b.过点M作直线ON 的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.讲课人：邢启强8学习新知学习新知如图,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,那么OM1与e,a,之间有怎样的关系?显然.OM1与
5、e共线,于是OM1=e.下面我们探究入与a,的关系,进而给出OM1的明确表达式.我们分 为锐角、直角,钝角以及 =0,=等情况进行讨论.讲课人：邢启强9学习新知学习新知当 为锐角(图1)时,OM1与e方向相同,=|OM1|=|a|cos ,所以OM1=|OM1|e=|a|cos e;当 为直角(图2)时,=0,所以OM1=0=|a|cos e当 为钝角(图3)时,OM1 与e方向相反,所以 =-|OM1|=-|a|cosMOM1 =-|a|cos()=|a|cos ,即OM1=|a|cos e.2讲课人：邢启强10学习新知学习新知当 =0时,OM1与e方向相同,=|a|所以OM1=|a|e=|
6、a|cos0e,当 =时,OM1与e方向相反,=-|a|所以OM1=-|a|e=|a|cose,由上讨论可知,对于任意的0,OM1=|a|cos e.讲课人：邢启强11设设ba、是非零向量是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|)1(aeaae0)2(baba|;|)3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa|或2a|cos)4(baba|)5(babaOAB abB1|c co os sa ab ba ab b学习新知学习新知讲课人：邢启强12_._.(3)|_|.()aba ba baba
7、baba aa ba b ；反；若与 同向,若与 同向,若与向,若与向,填或填或(1)(1)(2)(2)由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：注：常记注：常记 为为 。a a 2a|aa a 0|a b|a b2|a22()|aa 证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据学习新知学习新知讲课人：邢启强13数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2()1(其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacba学习新知学习新知讲课人：邢启强14 11AABOabCc2 1B2B1|cos|cos
8、OBOBab 11|cosOAa1122|cosABABb 如图可知：如图可知：111112|cos|cos|cosOBOAABabab 12()|cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c 学习新知学习新知讲课人：邢启强15例例3.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有,a bR22222()2,()().abaabbab abab对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？,a b22222()2;()().abaa bbab abab(1 1)(2 2)33223(3)()()3()3()(
9、)abaababb 典型例题典型例题讲课人：邢启强16例例4.已知已知 ，的夹角的夹角6060，求求 .|6,|4abab 与与(2)(3)abab典型例题典型例题讲课人：邢启强17例例5.已知已知 ，且，且 与与 不共线，不共线，k为何值时，为何值时，向量向量 与与 互相垂直。互相垂直。|3,|4abaakbbakb典型例题典型例题讲课人：邢启强18练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有
10、一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 讲课人：邢启强193、用向量方法证明：直径所对的圆周、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ，由此可得：由此可得：,A AO Oa a O OC Cb b ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2|a ab ba ab b 22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC
