1、6.4.36.4.3正弦定理正弦定理本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强22222cosabcbcA=+-2222cosbacacB=+-余弦定理：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍弦的积的两倍.2222coscababC=+-学习新知学习新知讲课人：邢启强3222cos2bcaAbc+-=222cos2cab
2、Bca+-=222cos2abcCab+-=余弦定理的推论：余弦定理的推论：学习新知学习新知讲课人：邢启强4回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）为直角）sin,sin,sin1abcABCccc CcBbAasinsinsin=222cba 90BAsinaAccosbActanaAb.探究探究3 3：这个关系式对任：这个关系式对任意三角形均成立吗？意三角形均成立吗？CBAabcsinbBcsin1cCc cos0C cosaBc学习新知学习新知讲课人：邢启强5 sinADBcsinADCbBcCbsinsinABCcbaDCcBbsinsinBbAasins
3、inCcBbAasinsinsin 同理：同理：证法一：不妨设证法一：不妨设C C为最大角，为最大角，若若C C为直角，已证得结论成立；为直角，已证得结论成立；若若C C为锐角，过为锐角，过A A点作点作ADAD垂直于垂直于BCBC于于D DsinADbCsinADcB2能否推广到斜三角形？能否推广到斜三角形？学习新知学习新知讲课人：邢启强6若若C为钝角，过为钝角，过A点作点作AD垂直于垂直于BC交交BC的延长线于的延长线于D，此时也有：，此时也有：sinADbC即sinsincBbC同样可得：同样可得：CcBbAasinsinsin 0sin(180)ADCbsinADBcsinADcB即A
4、CBbcaD作高法作高法AbcBacCabSABCsin21sin21sin21学习新知学习新知讲课人：邢启强7在在RtRtABCABC中，中，CC9090，BCBCa a，ACACb b，ABABc c，则，则sinAsinA，sinBsinB，sinCsinC分别等于什么？分别等于什么？C CA AB Ba ab bc c2si nsi nsi nabccRABC=学习新知学习新知讲课人：邢启强8在斜三角形中是否成立？C CA AB Ba ab bcD D2si nsi nsi nabcRABC=2sinsinccADRCD学习新知学习新知D DC CA AB Babc E EREaAaA
5、a2sin)sin(sin讲课人：邢启强9 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等对角的正弦之比相等.2si nsi nsi nabcRABC=在任意三角形中均有：正弦定理正弦定理学习新知学习新知讲课人：邢启强10,sinsinsinsinsinsinabaccbABACCB每个等式中有几个量？每个等式中有几个量？（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角）已知两角及任一边，求其他两边和一角（2 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）对角（从而进一步求出其他的边和角）探究探究1：正弦定理结构的最
6、大特点是什么？正弦定理结构的最大特点是什么？探究探究2：正弦定理里面包含了几个等式？正弦定理里面包含了几个等式？探究探究3 3：它可以解决三角形中那些类型的问题？它可以解决三角形中那些类型的问题？正弦定理：正弦定理：2sinsinsinabcRABC学习新知学习新知讲课人：邢启强11例例1、在在ABC中，已知中，已知A=45，B=60，a=42cm，解三角形，解三角形.题型一已知两角一边，求其它元素.步骤：1、求第三角 2、求另两边典型例题典型例题讲课人：邢启强12 sinsincBbC在在ABC中，已知中，已知10cA=45 C=30,求求b00000105)3045(180)(180CAB
7、解解:sinsinbcBC由正弦定理由正弦定理 得得:0010sin105sin30562562b巩固练习巩固练习讲课人：邢启强13 例例2、在在ABC中，已知中，已知a=2cm，c=cm，A=45，解三角形，解三角形.6题型二已知两边及其中一边的对角,求其它元素.步骤：1、求另一边对角2、求第三角3、求第三边典型例题典型例题讲课人：邢启强14 在在ABC中中,已知a=16,b=，A=30，求角B,C和边c.解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300A
8、BC16316巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15 例例3、在在ABC中中,已知已知b=cm，c=1cm，B=60，解三角形，解三角形.3典型例题典型例题题型二已知两边及其中一边的对角,求其它元素.讲课人：邢启强16已知两边和其中一边对角已知两边和其中一边对角(已知已知a,ba,b和角和角A)A)解斜三角形有两解或一解（见图示）或无解解斜三角形有两解或一解（见图示）或无解 CCCCABAAABBbabbbaaaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 一解a=b 一解absinA 无解baCAB知识小结知识小结讲课人：邢启强17知识小结知识小结讲课人：邢启强18.巩固练习巩固练习讲课人：邢启
9、强1913,30,623,30,1233,60,342 3,30,6oooobBcbBcbBcbBc、，解此三角形、，解此三角形、，解此三角形、，解此三角形巩固练习巩固练习讲课人：邢启强20例题讲解例题讲解例例4 在在ABC中，中，求求ABC的面积的面积S )13(2,60,45 aCBBacCabsin21sin21 Abcsin21 hABCaABCahS21 三角形面积公式三角形面积公式解：解：75)(180CBA由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 讲课人：邢启强21例例5.5.在任一在任一A
10、BCABC中，求证：中，求证：0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 2sin,2sin,2sinaRA BRB cRC代入左边得：代入左边得：等式成立等式成立左边左边)sinsinsinsinsinsinBCACAB 2(sinsinsinsinsinsinRABACBC=右边右边0 例题讲解例题讲解讲课人：邢启强22练习练习C2在在ABC中中,若若a18,b24,A45,则此三角形有则此三角形有()A.无解无解 B.两解两解 C.一解一解 D.解的个数不确定解的个数不确定BB讲课人：邢启强23例题讲解例题讲解讲课人
11、：邢启强24例题讲解例题讲解分析:由2B=A+C 可得B=60.讲课人：邢启强25练习练习讲课人：邢启强262.2.正弦定理的外在形式是公式，正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即它由三个等式组成即 ，每个等式都表示三角形的两个角每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系和它们的对边的关系.si nsi nabAB=sinsinbcBC=sinsinacAC=1.1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角元素求其他元素的过程叫做解三角形形.课堂小结课堂小结讲课人：邢启强273.
12、3.利用正弦定理可以解决两类解三利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形其中一边的对角解三角形.对于第对于第二类问题，要注意确定解的个数二类问题，要注意确定解的个数.课堂小结讲课人：邢启强28回顾小结回顾小结(2)(2)作高法证明正弦定理作高法证明正弦定理.一个定理一个定理sinsinsinabcABC两类应用两类应用（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角）已知两角及任一边，求其他两边和一角（2 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角三种方法三种方法(1)(1)从特殊到一般的方法从特殊到一般的方法这种方法是人们认识客观世界的一种重要的这种方法是人们认识客观世界的一种重要的方法，也是数学发现的重要方法之一，我们方法，也是数学发现的重要方法之一，我们要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学问题，提高我们的创造能力问题，提高我们的创造能力.(3)(3)外接圆证明正弦定理外接圆证明正弦定理正弦定理正弦定理（从而进一步求出其他的边和角）（从而进一步求出其他的边和角）
