1、复数的四则运算复数的四则运算 本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸讲课人：邢启强2已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)(a+bi)(a+bi)(c+di)=_.(c+di)=_.对任意对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CCz z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z
2、2 2+z+z3 3)交换律：交换律：结合律：结合律：(a(ac)+(bc)+(bd)id)i即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是就是 实部与实部实部与实部,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加(减减).).复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强3已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)设设OZOZ1 1，OZOZ2 2分别与复数分别与复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di对应对应.x xo oy yZ Z1 1(a(a，b)b)Z Z2 2(c(c，d)d)Z Z向量向量OZO
3、Z1 1+OZ+OZ2 2z z1 1+z+z2 2o ox xy yZ Z2 2(c(c，d)d)Z Z1 1(a(a，b)b)向量向量OZOZ1 1-OZ-OZ2 2z z1 1-z-z2 2复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强4已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)Z Z1 1(a(a，b)b)o ox xy yZ Z2 2(c(c，d)d)|z|z1 1-z-z2 2|表示：表示：_.复平面中点复平面中点Z Z1 1与点与点Z Z2 2间的距离间的距离.特别地，特别地，|z|z|表示：表示：_.复平面中点
4、复平面中点Z Z与原点间与原点间的距离的距离.如：如：|z+(1+2i)|z+(1+2i)|表示：表示：_._.点点(-1(-1，-2)-2)的距离的距离.点点Z(Z(对应复数对应复数z)z)到到复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强51.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（(2)(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并.说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数；i2(3)(3)易知
5、复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1,z2 ,z3 C,有有,()(),().12211231231231213zzzzzzzzzzz zzz zz z()()abi cdi学习新知学习新知 讲课人：邢启强6例例1.计算计算(2i)(32i)(1+3i)复数的乘法与多项式的复数的乘法与多项式的乘法是类似的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开乘法公式可迅速展开,运算运算,类似地类似地,复数的乘法也可大胆复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算运用乘法公式来展开运算.一步到位一步到位!例例2
6、.计算计算(a+bi)(a-bi)典型例题典型例题 讲课人：邢启强7注意注意 a+bi 与与 a-bi 两复数的特点两复数的特点.思考：设思考：设z=a+bi(a,bR),R),那么那么定义定义:实部相等实部相等,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个的两个复数叫做互为复数叫做互为共轭复数共轭复数.复数复数 z=a+bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz?zz说明说明：二、共轭复数：二、共轭复数：|ZZZZ1121212122ZZZZZZZZ,zzabi即即学习新知学习新知 讲课人：邢启强8口答：口答：说出下列复数的共轭复数说出下列复数的共轭复数z z=2+3i=2+3iz z=3 3z z=-
7、6i=-6iz=2-3i=2-3iz=6i=6iz=3=3注意：注意：当虚部不为当虚部不为0 0时的共轭复数称为时的共轭复数称为共轭虚数共轭虚数实数实数的共轭复数是它本身的共轭复数是它本身巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强9解：解：作图作图得出结论：得出结论：在复平面内，在复平面内，共轭复数共轭复数z z1 1,z,z2 2所对应的点所对应的点关于关于实轴实轴对称。对称。若若z z1 1,z,z2 2是共轭复数，是共轭复数，那么那么在复平面内，它们所对应的在复平面内，它们所对应的点点有怎有怎的位置关系？的位置关系？z z1 1z z2 2是一个怎样的数？是一个怎样的数？令令z1=a+bi,则则z
8、2=a-bi则则z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-bi2 =a2+b2=|z|2结论：结论：任意两个互为共轭任意两个互为共轭复数的乘积是一个复数的乘积是一个实数实数.yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o学习新知学习新知 讲课人：邢启强10 定义定义:把满足把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0)的的复复 数数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数 c+di 的的商商,其中其中a,b,c,d,x,y都是实数都是实数,记为记为()().abiabicdicdi 或或学习新知
9、学习新知 讲课人：邢启强117.7.复数的除法法则复数的除法法则探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则究复数除法的法则.()()(0).()()cdi xyiabi cdixyiabicdiabiabicdicdi满足的复数叫做复数除以复数的商记作：或()()()()c di xyia bicx dydx cy ia bi 22cx dyac x cdyacdx cybd x cdybd2222acbdxcdbcadycd2222()()(0)ac bd bc ada bic dii c dicdcd 学习新知学习新知 讲课人
10、：邢启强12222222()()()()()()()abi cdicdi cdiabiabicdicdiacbdbcad iacbdbcadicdcdcd 由刚才的求商过程可以形式上写成由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程体会其中的过程):):分母实数化分母实数化学习新知学习新知 讲课人：邢启强13先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式化简成代数形式就得结果就得结果.然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子一般分子分母同时乘以分母的分母同时乘以分母的共轭复数共轭复数)典型例题典型例题 讲课人：邢启强14例例4.4.设设 ，求证：求证：(1）；（；（2）i2321
11、 012 .13 证明：证明：（1）22)2321()2321(11ii ;0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 典型例题典型例题 讲课人：邢启强1512125(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ例、下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数 的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)(2)12121212121212126()0,()0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ例、下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D D典型例题典型例题 讲课人：邢启强16整体整体代入妙代入妙!巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强17(1)(1)复数乘法的运算法则、运算规律复数乘法的运算法则、运算规律.(2)(2)共轭复数概念共轭复数概念.(3)(3)复数除法运算法则复数除法运算法则课堂小结课堂小结
