1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九节 实际问题的函数建模 考纲传真 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 .2.了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 (对应学生用书第 27 页 ) 基础知识填充 1常见的几种函数模型 (1)一次函数模型： y kx b(k0) (2)反比例函数模型： y kx b(k， b 为常数且 k0) (3)二次函数模型： y ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0) (4)指数函数模型： y a bx c(a， b
2、， c 为常数， b 0， b1 ， a0) (5)对数函数模型： y mlogax n(m， n， a 为常数， a 0， a1 ， m0) (6)幂函数模型： y a xn b(a0) 2三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y ax(a 1) y logax(a 1) y xn(n 0) 在 (0， ) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴 平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴 平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 x x0时，有 logax xn ax 3.
3、解函数应用问题的步骤 (四步八字 ) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = 知识拓展 “ 对勾 ” 函数 形如 f(x) x ax(a 0)的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： (1)该函数在 ( ， a和 a， ) 上单调递增，在 a， 0)和 (0， a上单调递减 (2)当 x 0 时， x a时取最小值 2 a，
4、当 x 0 时， x a时取最大值 2 a. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y 2x的函数值比 y x2的函数值大 ( ) (2)幂函数增长比直线增长更快 ( ) (3)不存在 x0，使 ax0 xn0 logax0.( ) (4)f(x) x2， g(x) 2x， h(x) log2x，当 x (4， ) 时，恒有 h(x) f(x) g(x) ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知某种动物繁殖量 y(只 )与时间 x(年 )的关系为 y alog3(x 1)，设这种动物第 2 年有100 只，到第 8 年
5、它们发展到 ( ) A 100 只 B 200 只 C 300 只 D 400 只 B 由题意知 100 alog3(2 1)， a 100， y 100log3(x 1)，当 x 8 时， y 100log3 9 200. 3 (教材改编 )在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A y 2x B y log2x C y 12(x2 1) D y 2.61cos x B 由表格知当 x 3
6、时， y 1.59，而 A 中 y 23 8，不合要求， B 中 y log23 (1,2)，=【 ;精品教育资源文库 】 = C 中 y 12(32 1) 4，不合要求， D 中 y 2.61cos 3 0，不合要求，故选 B 4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图像表示为 ( ) B 由题意 h 20 5t,0 t 4.结合图像知应选 B 5某市生产总值连续两年持续增加第一年的 增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 _. 【导学号： 00090054】 p q 1 设年平均增长
7、率为 x，则 (1 x)2 (1 p)(1 q)， x p q 1. (对应学生用书第 28 页 ) 用函数图像刻画变化过程 (1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年 )的函数关系图像正确的是 ( ) A B C D (2)已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动设点 P 运动的路程为 x， ABP 的面积为 S，则函数 S f(x)的图像是 ( ) A B C D (1)A (2)D (1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，
8、说明呈高速增长，只有 A、 C 图像符合要求，而后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选 A (2)依题意知当 0 x4 时， f(x) 2x；当 40)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地 用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为 ( ) D y 为 “ 小王从出发到返回原地所经过的路程 ” 而不是位移，故排除 A， C又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D 应用所给函数模型解决实际问题 某企业生产 A， B 两种产品，根据市场调查与预测， A 产
9、品的利润与投资成正比，其关系如图 291 ； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 291 .(注：利润和投资单位：万元 ) 图 291 (1)分别将 A， B 两种产 品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， B 两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【导学号： 00090055】 解 (1)f(x) 0.25x(x0) ， g(x) 2 x(x0). 3 分 (2) 由 (1)得 f(9) 2.25， g(
10、9) 2 9 6， 所以总利润 y 8.25 万元 . 5 分 设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入 (18 x)万元，该企业可获总利润为 y 万元 =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y 14(18 x) 2 x， 0 x18. 7 分 令 x t， t 0,3 2， 则 y 14( t2 8t 18) 14(t 4)2 172. 所以当 t 4 时， ymax 172 8.5， 9 分 此时 x 16,18 x 2. 所以当 A， B 两种产品分别投入 2 万元、 16 万 元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5万元 . 12 分 规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
11、： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 易错警示： 解决实际问题时要注意自变量的取值范围 变式训练 2 (2018 德州模拟 )某实验员在培养皿中滴入了含有 10个某种真菌的实验液，约 1 小时后培养真菌数目繁殖为原来的 2 倍经测量知该真菌的繁殖规律为 y 10et ，其中 为常数， t 表示时间 (单位：小 时 )， y 表示真菌个数经过 8 小时培养，真菌能达到的个数为 ( ) A 640 B 1 280 C 2 560 D 5 120 C 原来的细菌数为 10， 由题意可得，在函数 y 10et
12、 中，当 t 1 时， y 20， 20 10e ，即 e 2， y 10et 102 t. 若 t 8，则可得此时的细菌数为 y 102 8 2 560，故选 C 构建函数模型解决实际问题 (1)(2016 四川高考 )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015 年全年投入研发资金 130 万元，在 此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据： lg 1.120.05 ， lg 1.30.11 ， lg 20.30)( ) A 2018 年 B 2019 年 C 2020 年 D 2021 年 (2
13、)某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价收费 )；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一 次出租车=【 ;精品教育资源文库 】 = 付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 _km. (1)B (2)9 (1)设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元由130(1 12%)n200，得 1.12n2013，两边取常用对数，得 nlg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0
14、.110.05 195 ， n4 ， 从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元 (2)设出租车行驶了 x km，付费 y 元， 由 题意得 y? 9， 0 x3 ，8 x 1， 3 x8 ，8 2.155 x 1， x 8.当 x 8 时， y 19.75 22.6， 因此由 8 2.155 2.85( x 8) 1 22.6， 得 x 9. 规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解 (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法 (3)构建 f(x) x ax(a 0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解 易错警示： 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制 变式训练 3 (2016 宁波模拟 )某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q) 40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是 _万元 2 500 L(Q) 40Q 120Q2 10Q 2 000 120Q2 30Q 2 000 120(Q 300)2 2 500. 当 Q 300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元
