1、机械系统动力学机械系统动力学机械系统0sin2xmglxml 02mglxxml 动载荷及其分类动载荷及其分类1.6机械系统动力学的研究内容和任务1.6机械动力学的研究内容和任务第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 2-1 机械系统的动力学特征参数机械系统的动力学特征参数 2-2机械系统动力学模型的建立机械系统动力学模型的建立 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-1 机械系统的动力学特征参数机械系统的动力学特征参数一、一、自由度自由度 描述机械系统运动构件位置的独立运动参
2、数描述机械系统运动构件位置的独立运动参数(或独立坐标或独立坐标)的的数目。数目。动力系统按自由度划分可分为：动力系统按自由度划分可分为：单自由度系统，多自由度系统和连续系统。单自由度系统，多自由度系统和连续系统。单自由度系统：单自由度系统：第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立多由度系统：多由度系统：图2-2 多自由度质量弹簧系统图2-3 两个自由度机械手连续系统：连续系统：图图2-4 2-4 梁的纵向振动和横向振动梁的纵向振动和横向振动第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立二、动力自由度的确定二、动力自由度的确定工程实际中的构件为三维空
3、间的几何体，质量连续分布具有无穷多个自由度。主要简化方法：集中质量法、广义坐标法和有限单元法集中质量法、广义坐标法和有限单元法等。1.集中质量法 集中质量法集中质量法是一种常用的将连续系统离散为有限个自由度系统的简化方法，又称集中参数法。它把构件的分布质量在一些适当的位置集中起来，离散为若干个集中质点，使无限自由度系统转化为有限自由度系统，从而使计算得到简化。简化原则：静力等效原则 使集中后的惯性力力系与原来的惯性力系力互为等效（它们的主矢与主矩彼此相等）。第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立图2-6 安装在简支梁上电动机图2-5 不计轴向变形的均质简支梁第二章第
4、二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2、广义坐标法广义坐标法是一种应用数学中的Tailor级数近似逼近一个连续函数来减少连续系统动力自由度的简化方法。具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级数表示为nkklxkttxy1sin)(),(写成更一般的形式写成更一般的形式nkkktttxy1)()(),()(tk 是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n个函数。动力学仿真软件ADAMS中的弹性构件就是采用“广义坐标法”表述。第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3、有限单元法、有限单元法 可看作广义坐标法的一种特殊应用。把
5、体系的离散可看作广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散化和单元的广义坐标二者结合起来，就构成了有限单元化和单元的广义坐标二者结合起来，就构成了有限单元的概念。具体做法详见弹性连杆机构动力学的相关章节。的概念。具体做法详见弹性连杆机构动力学的相关章节。第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立三、基本动力元件与特性三、基本动力元件与特性1 1、质量和转动惯量、质量和转动惯量构件的质量是构件惯性的一种度量，可用符号构件的质量是构件惯性的一种度量，可用符号m表示表示，转动惯量为构件绕某点或某固定轴转动惯性的度量转动惯量为构件绕某点或某固定轴转动惯性的度量式中：为第i个质点的质
6、量，为第i质点到转动中心c的距离。vm2iicrmJimir式中：为第i个质点的质量，为第i质点到转动中心c的距离。第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立其中 k称为弹簧的刚度系数，为弹簧的伸长量，F为弹簧的作用力。弹簧可分为：线性弹簧和非线性弹簧线性弹簧非线性弹簧21()Fk xxk x 弹性变形是弹性体的一个基本属性，可以抽象为弹簧弹性变形是弹性体的一个基本属性，可以抽象为弹簧符号来表示符号来表示x2、弹簧、弹簧21()Fk xxk x 3xxkF3xxkF第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3、阻尼器、阻尼器阻尼器是动力系统中的能
7、量耗散装置。阻尼是动力系统的又一个重要的特征参数。工程中常见的是粘性阻尼，即阻尼力与相对运动速度成正比 c为粘性阻尼系数或线性阻尼系数)(12xxcFd 第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-2机械系统动力学模型的建立机械系统动力学模型的建立力学模型力学模型 突出其动力学问题的本质特征，用简单的图形和符号表示的,用以代替实际动力学问题，反映实际问题动力学特征的简单图形，称机械系统的动力学计算简图动力学计算简图，又称力学模型力学模型。建立机械系统的动力学计算简图，必须对机械系统进行简化简化原则简化原则 从实际出发，符合实际。即建立的动力学计算简图要反映实际动力学问
8、题的本质和规律。分清主次，略去细节。通过简化得到的动力学计算简图要便于计算。即：即：实际出发、分清主次、存本去末、追求神似实际出发、分清主次、存本去末、追求神似。第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立水塔结构横梁刚度为无穷大的横梁刚度为无穷大的2层框架结构层框架结构第二章第二章 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-1 涉及到基本定理涉及到基本定理2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-1 涉及到基本定理涉及到基本定理2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系
9、统运动微分方程的建立2-3-2 单自由度系统单自由度系统对于图2-13所示的单自由度强迫振动系统，可采用牛顿第2定律建立其运动微分方程。解法步骤如下：2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-2 单自由度系统单自由度系统 图2-14(a)所示的安装在简支梁上的电动机，工作时转动角速度为 ，梁的等效质量和电动机的质量总和为M,若电动机的转子的偏心质量为m,建立系统的运动微分方程。(a)(b)(c)图2-141。单自由度系统，建立坐标系，提出的力学模型如图2-14(b)所示。取电动机为研究对象，画出的受力图如图2-14(c)所示2-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3
10、机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立0)()(sin2gmMyMmkyme 调整静坐标原点，以静平衡位置为坐标原点调整静坐标原点，以静平衡位置为坐标原点tmekyymMsin)(2 2.根据达朗伯原理根据达朗伯原理2-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立图示偏置曲柄滑块机构，已知：曲柄图示偏置曲柄滑块机构，已知：曲柄AB 的长度为的长度为，质量为，质量为m1，对转动中心对转动中心A的转动惯量为的转动惯量为JA,图图2-16连杆连杆BC的杆长为的杆长为,质量为质量为m2，对其质心，对其质心C2的转动惯量为的转动惯量为J2，滑
11、块，滑块C质量为质量为m3,建立运动方程。建立运动方程。解：解：1、单自由度多刚体系统，取广义坐标、单自由度多刚体系统，取广义坐标（曲柄转角）。宜采（曲柄转角）。宜采用动能定理建立系统的运动微分方程。用动能定理建立系统的运动微分方程。2、以整个系统为研究对象，注意约束反力不做功，只画主动力、以整个系统为研究对象，注意约束反力不做功，只画主动力3、分析运动、分析运动曲柄曲柄AB：定轴转动，：定轴转动，角速度角速度 连杆连杆BC：平面运动，可通过运动学分析求质心：平面运动，可通过运动学分析求质心C2的速度的速度Vc2，以，以及转动角速度及转动角速度 滑块滑块C：平动，速度：平动，速度VC3单自由度
12、多刚体系统单自由度多刚体系统2-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立4.根据质点系动能定理单自由度多刚体系统单自由度多刚体系统WdT系统的动能：系统的动能：2121133212221222332222222132121)()()(2121)2121(21eCCACCAJvmvmJJvmvmJJTTTT主动力的功率之和主动力的功率之和31ciFvMN系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：2-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立单自由度多刚体系统单自由度多刚体系统引入等效转动惯量和等效
13、力矩的概念，使表达更简洁。等效原则：等效转动惯量等效前后动力系统的动能相等，等效力矩等效前后动力系统的瞬时功率相等。一般地：即等效转动惯量212221)2121(ejjijJvmJT)()(21211cjijjnjevmJJ等效力矩：等效力矩：pjjjmjjjevFMM11112-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立单自由度多刚体系统单自由度多刚体系统等效模型的物理意义参见图2-17即等效转动惯量等效力矩：等效力矩：121)21(eeMJdtd)()(21211cjijjnjevmJJpjjjmjjjevFMM1111用等效模型表示的系用
14、等效模型表示的系统运动微分方程统运动微分方程2-3-2 单自由度系统单自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立单自由度多刚体系统单自由度多刚体系统等效模型的物理意义等效质量等效力：等效力：用等效模型表示的系用等效模型表示的系统运动微分方程统运动微分方程)()(23231ccjjcjjnjevvmvJmpjcjjmjcjjevvFvMF1313323)21(cecevFvmdtd2-3-2多自由度系统多自由度系统2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立多自由度系统的运动微分方程的建立，相对复杂，其结果常用矩阵形式表示比较方便。常用的方法主要有刚度
15、法、柔度法和Lagrange方程法。前两者基于振动系统的影响系数，只适合应用于线性系统，后者则基于系统的能量，既可应用于线性系统，也可应用于非线性系统。1.刚度法刚度法刚度法引入系统刚度系数的概念，利用达朗贝尔原理和叠加原理，根据每个质点的动力平衡条件建立其动力平衡方程。2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立系统的刚度系数 定义为第j个质点沿其正向产生单位位移，而其余质点位置固定时，在第i个质点沿其正向的作用力。取每个质点为隔离体，其上受到质点的惯性力、激励力和恢复力作用处于动力平衡状态，根据达朗贝尔原理，系统的动力平衡条件：由叠加原理知，恢复力为 可以表示为ijk111
16、12222()0()0rrFm yf tFm yf t1111122-rFk yk y（）2211222-rFk yk y（），2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 系统的运动微分方程系统的运动微分方程111122111211222222-()0-()0k yk ym yf tk yk ym yf t（）（）写成矩阵形式写成矩阵形式11111211222122220()+=0()mykkyf tmykkyf t+KY=F(t)MY简写成：简写成：2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 系统的运动微分方程系统的运动微分方程11112211121122
17、2222-()0-()0k yk ym yf tk yk ym yf t（）（）写成矩阵形式写成矩阵形式11111211222122220()+=0()mykkyf tmykkyf t2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 例1:建立图2-20(a)所示3个自由度系统的运动微分方程解：解：1）计算刚度系数矩阵）计算刚度系数矩阵12222333300k kkKkk kkkk 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 例1:建立图2-20(a)所示3个自由度系统的运动微分方程解：解：2）系统的运动微分方程可表达为1112212222332233333300
18、0000()000()mxkkkxmxkkkkxftmxkkxf t1122233300200002()000()mxkkxmxkkkxf tmxkkxf t 带入数据：带入数据：2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 例2:建立图2-21所示3个自由度系统的运动微分方程。解：解：1）计算刚度系数矩阵2）系统的运动微分方程12222356333400kkkKkkkkkkkkk11122122223563233334300000000000mukkkumukkkkkkumukkku 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立必须指出：1）若引入阻尼系数矩阵
19、的概念，定义系统阻尼系数矩阵中的系数 为使第j个质点沿其正向产生单位速度而其余质点速度均为0时，克服阻尼器的阻尼在第i个质点上作用的力。这样运动微分方程可表示为：2）对于单自由度系统，一般而言，其系统的刚度系数就等于的弹簧刚度系数，系统的阻尼系数就等于阻尼器的阻尼系数。对于多自由度系统，系统的刚度系数和阻尼系数与对应的弹簧刚度系数和阻尼器的阻尼系数其物理概念是不同的，尽管它们之间有一定的联系。3）由于刚度法在计算弹性恢复力时应用了叠加原理，故刚度法只适合线性系统。+CY+KY=F(t)MY2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2.柔度法柔度法 柔度法以系统为研究对象，用静
20、力法计算柔度系数柔度法以系统为研究对象，用静力法计算柔度系数 和和载荷位移载荷位移 ，利用达朗贝尔原理和位移叠加原理，列出，利用达朗贝尔原理和位移叠加原理，列出系统的位移协调条件从而导出系统的运动微分方程。系统的位移协调条件从而导出系统的运动微分方程。ijip1)柔度系数 定义为以系统为研究对象，在第j个质点上沿其正向作用单位力时在第i个质点上产生的位移。2)若求出系统的柔度系数 ，利用达朗贝尔原理和位移叠加原理，第i个质点在任意t时刻的位移应等于惯性力和载荷引起的位移之和。ijij2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2.柔度法柔度法1)柔度系数 定义为以系统为研究对象
21、，在第j个质点上沿其正向作用单位力时在第i个质点上产生的位移。2)若求出系统的柔度系数 ，利用达朗贝尔原理和位移叠加原理，第i个质点在任意t时刻的位移应等于惯性力和载荷引起的位移之和。ijij11111122212211122222()()()()ppym ym yym ym y11111211222122220=-+0ppymyymy写成矩阵形式写成矩阵形式2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2.柔度法柔度法对于自由度系统振动系统，用柔度法建立的运动微分方程写成矩阵形式为：=-PYM Y 12nyyYy111212122212nnnnnn12000000nmmMm12
22、pppnp 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2.柔度法柔度法注意：1）由于柔度法在计算位移时应用了叠加原理，故该法只能适用于线性振动系统。2）根据位移互等定理知，故柔度矩阵也为对称矩阵。3）可以证明，对于同一个振动系统，柔度矩阵与刚度矩阵互逆，即 4）柔度法对于求解载荷不直接作用在质点上的振动系统具有很好的优势=ijji1=K2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 例4 建立图2-24(a)所示结构的运动微分方程解：1）两个自由度系统，取广义坐标如图2-24（a）2)以整个系统为研究对象，计算柔度系数作出单位载荷作用下的弯矩图，应用图乘法231
23、113MldsEIEI31212212M MldsEIEI2322243MldsEIEI3113ppM MldsEIEI3222ppM MldsEIEI，2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 例4 建立图2-24(a)所示结构的运动微分方程3）根据叠加原理可得系统的运动微分方程，1111121 1222122223331 133322sin323sin4232ppxm xFtxm xlllm xEIEIEIFtm xlllEIEIEI 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 3.Lagrange方程法方程法Lagrange方程法是建立多自由度系统运
24、动微分方程的常方程法是建立多自由度系统运动微分方程的常用方法，该法从能量观点出发，引入广义坐标和广义力的用方法，该法从能量观点出发，引入广义坐标和广义力的概念，只要选择恰当的广义坐标，计算出系统的动能和广概念，只要选择恰当的广义坐标，计算出系统的动能和广义力，利用义力，利用Lagrange方程通过求导运算就可以得到系统方程通过求导运算就可以得到系统的运动微分方程。无论是线性系统还是非线性系统，的运动微分方程。无论是线性系统还是非线性系统，Lagrange方程法均可适用。方程法均可适用。，第2类Lagrange方程()1,2,nKkkdTTQkdtqq式中：T-系统的动能。-分别为第k个广义坐标
25、和广义速度 -对应于广义坐标 的广义力,kkq q kQ2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立 3.Lagrange方程法方程法，第2类Lagrange方程()1,2,nKkkdTTQkdtqq式中：T-系统的动能。-分别为第k个广义坐标和广义速度 -对应于广义坐标的广义力,kkq q kQ0,0()(1,2,.,)kjkkqqj kWQknq 为所有主动力（包含有势力和非有势力）在 上所做的虚功之和。Wkq若主动力为有势力，广义力可表达为若主动力为有势力，广义力可表达为kkUQq U为系统的弹性势能2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagr
26、ange方程法方程法，例：应用Lagrange方程法建立图2-20(a)所示3个自由度系统的运动微分方程，其中解：解：1）建立广义坐标）建立广义坐标 2）计算系统的动能和广义力）计算系统的动能和广义力系统的动能 所有主动力虚功之和,1,2,3ikk i,1,2,3imm i，123,x x x2221 12233 3111222Tm xm xm x22332211 1133222123323()()()()()()Wftxf txkxxk xxkxxkxxxkxxx2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagrange方程法方程法，广义力，22332211 11332
27、22123323()()()()()()Wf txf txkxxk xxkxxkxxxkxxx12312211 110,0,0,()xxxWQkxxk xx2132233222120,0,0,()()()xxxWQf tk xxkxxx3123333230,0,0,()()xxxWQf tk xxx2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagrange方程法方程法，3）根据Lagrange方程，()1,2 3KkkdTTQkdtqq，1 12211 1222332221333332()0()()0()()()0()dm xkxxk xdtdm xf tkxxk xxd
28、tdm xf tk xxdt（1 11212222212323323332233)()0)()()m xkkxk xm xk xkkxk xftm xk xk xf t+)即2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagrange方程法方程法例：试用拉格朗日方程法推导图示双摆的运动方程，设双摆的质量 ，通过长 的两无重杆铰接而成。解：解：1）建立广义坐标）建立广义坐标 2）计算系统的动能和广义力）计算系统的动能和广义力系统的动能 12,m m12ll及12 22121122ABTmVm V2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagrange方
29、程法方程法2）计算系统的动能）计算系统的动能系统的动能 22121122ABTmVm V1122?BABAVVVllOAAB 大小：方向：2222211221 212212cos()BVlll l 222212112 222 1 2122111(m)cos()22Tmlm lm l l 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立3.Lagrange方程法方程法3）计算系统势能及广义力系统主动力有势能，故为保守系统，取平衡位置1=2=0作为零势能位置，在任意位置系统势能 11121122U=(1cos)(1cos)(1cos)m glm g ll广义力：广义力：11211122
30、222=(m)sinsinUQm glUQm gl 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立4）由2个自由度系统拉格朗日方程 得：1112221()()TTQdtdTTQdt212112 1 22212 1 2221212 1 2 1221121122 221 1 2 1212 1 2 121212 1 2 122122(m)cos()()sin()msin()(m)sin0mcos()()sin()(sin()sinm lmllmllllm glmlllmllmllm gl 202212112 1 22212 1 22211211222 221 1 2 1212 1 2
31、121222(m)cos()sin()(m)sin0mcos()sin()sin0m lmllmllm glmlllmllm gl即：212112 1 2 2121 121 1 2 12 1222 2()()00mm lmllmm glmLLmLmgl微幅摆动时，忽略不计，有sincos1 22-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-3 连续系统连续系统确定连续系统中无数个质点的运动 需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。对于连续系统，求解计算量大，求解十分困难，只有少数简单问题可以得到解析解。1.园轴的扭转自由振动园轴的扭转自由振动dx取 微段进行
32、受力分析 根据刚体定轴转动运动微分方程根据刚体定轴转动运动微分方程22ttttpTTdxTI dxxtttPTGIx由22222ttctx得：波动方程波动方程2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-3 连续系统连续系统2.梁的横向自由振动梁的横向自由振动dx取 微段进行受力分析 根据达朗贝尔原理忽略高阶小量，上式可得得：0yF 22()=0sssFyFFdxmdxxt0cM 22()=02sMy dxMMdxF dxmdxxt()sMFbx22=()sFymaxt22M=EIyx由：2424=()sFMyEIcxxx4224221=yyEIcxctm其中2-3 机械
33、系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-4 非线性系统非线性系统 建立非线性系统的动力学分析数学模型，方法灵活多建立非线性系统的动力学分析数学模型，方法灵活多样，既可以采用样，既可以采用Newton力学的方法，也可以采用分析力力学的方法，也可以采用分析力学的方法，一般针对问题具体问题分析。学的方法，一般针对问题具体问题分析。例1 建立图2-28所示的单摆的运动微分方程，杆的质量不计。解：取小球为研究对象，进行受力分析画受力图根据动量矩定理得：化简得单摆的运动微分方程()AAMFJ2-sinmglml+sin0gl3sin-6由3+-06gl（）Duffing方程方程2-3 机械
34、系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-4 非线性系统非线性系统例2：图2-29所示的弹簧摆，由质量为 的质点和弹簧组成，弹簧的刚度系数为 、原长为l ,建立其运动微分方程。解：1）取弹簧变形 和摆角 为广义坐标 2）计算系统的动能和势能3）计算广义力因为主动力为有势力，故mk1x2x图2-292221121()2Tm xlxx21121()(1cos)2Ukxmg lxx11212122(1cos)()sinUQkxmgxxUQmg lxxx 2-3 机械系统运动微分方程的建立机械系统运动微分方程的建立2-3-4 非线性系统非线性系统例2：图2-29所示的弹簧摆，由质量为 的
35、质点和弹簧组成，弹簧的刚度系数为 、原长为l ,建立其运动微分方程。解：4）根据Lagrange方程mk图2-291112221()()TTQdtxxdTTQdtxx211212221211+(1cos)()02sin0kxxgxlx xmgxxx xlxlx 第第3章章 机械系统运动微分方程的求解机械系统运动微分方程的求解 3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法 3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数半解析数值法值法3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方
36、程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动1.问题的提法问题的提法工程中大量的动力学问题都可以归结于图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型,其动力学问题的数学模型表示为常微分方程的初值问题图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型控制方程:()mxcxkxF t满足初始条件:00(0),(0)xx xx3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.单自由度振动系统简谐激励作单自由度振动系统简谐激励作用下的响应用下的响应图3-1-1 单自由度振动系统的力学模型运动微分方程:满足初始条件:00(
37、0),(0)xx xx0sinmxcxkxFt根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和,即12()()()x tx tx t 为齐次通解,为特解.1()x t2()x t3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动1）齐次通解齐次通解 将奇次运动微分方程变成标准型:其中固有频率：设方程的解为特征方程：1()x t220nnxxxnkm2m CnCCC阻尼比临界阻尼2CnCmtxAe22(2)0tnnAe 2220nn 222122244(1)2nnnn 特征根：3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程
38、求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动讨论（1）过阻尼过阻尼:根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式过阻尼系统的自由衰减振动过阻尼系统的自由衰减振动12211112()()nnntttx teAeA e2001220022(1)21(1)21nnnnxxAxxA3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动（2）欠阻尼利用欠欠阻尼系统的自由衰减振动阻尼系统的自由衰减振动121,2(1)ni 特征根：特征根：方程的通解方程的通解112()nti dti dtxeAeA e12(cossin)
39、ntddectct 21dn令令0(0)xx0(0)xx,10cx002ndxxc，可得可得00022000(cossin)=()sin()nntndddtnddxxxexttxxext3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动（3）临界阻尼利用临界临界阻尼系统的自由衰减振动阻尼系统的自由衰减振动1特征方程有两个重根即方程的通解方程的通解 0(0)xx0(0)xx,，可得可得12n=112()ntxAA t e1000()ntnxxxx t e3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1
40、 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：固有频率固有频率a)无阻尼自由振动方程的解方程的解,，b)阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大0220000cossin()sin()nnnnnxxxxttxt=nkm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：,，b)阻尼对振幅的影响 阻尼比越大，振幅衰减越大()1nkdn dn ktTTktkAeeAe两边取自然对数，注意到两边取自然对数，注意到2ndddTT11ln2kkAA为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作为阻尼比的计算公式1ln2kk
41、nAnA自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动工程应用：,，c）从图3-1-5可知，时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整为临界阻尼，以达到稳定读数的目的13-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2）特解特解 特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法设特解设特解：2()sin()x tXt代入方程代入方程0sin
42、mxcxkxFt20sin()cos()sin()sinmXtcXtkXtFt作旋转矢量图作旋转矢量图222202()()tankXmXc XFc XkXmX3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2）特解特解 作旋转矢量图作旋转矢量图222202()()tankXmXc XFc XkXmX002222222/()()(1)()arctanFFkXkmcmckkckm可得可得将nkm2ncm0stFXk 代入上式得代入上式得3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振
43、动单自由度系统的振动2）特解特解 位移动力放大系数位移动力放大系数 相位角相位角2 2211()2()stnnXX22()tan1()nn3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动在初始条件为 欠阻尼条件下，方程的定解 上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当 时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运动00(0),(0)xx xx0002 22()(cossin)sin()1()2()ntdddstdnnxxx texttXtt 其工程意义在于：其工程意义在于：a)当频率比 时，振幅最大，当阻尼比 ，位移动力放
44、大系数 ，即发生共振现象。1n 03-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动振动稳定性设计准则振动稳定性设计准则 所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在 范围内 b)发生共振时，振幅最大，且位移响应与激励力之间的相位角相差 位移动力放大系数 。共振法测量阻尼比的理论依据共振法测量阻尼比的理论依据。c)对于振动机械，应将频率比 调整到1附近工作，以利于获得较大的振动振幅。0.75 0.85n1.25n 9012stXX1122stXXnd)动载系数数 的物理意义的物理意义 AK3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运
45、动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动3.单自由度振动任意激励力作用下的响应单自由度振动任意激励力作用下的响应 1）求解基本思路求解基本思路（叠加原理）这里 为任意函数()mxcxkxF t()f t1）t 时刻系统的响应只取决于 t 时刻以前的作用力。在0,t 时间段的任意激励力 可视为一系列元冲量 组成，如图(a)所示。b)元冲量 引起的系统的动力响应为 c)根据叠加原理，t 时刻系统的动力响应 等于 t时刻以前的元冲量 引起的系统的动力响应 的和()f t()fd()fd(,)dxt()fd(,)dxt3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求
46、解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 振动系统受元冲量振动系统受元冲量 作用的过程是一个碰撞作用的过程是一个碰撞过程，碰撞过程的研究要点是抓住碰撞前、后两个过程，碰撞过程的研究要点是抓住碰撞前、后两个状态和碰撞过程即时间段状态和碰撞过程即时间段 。设碰撞前系统静止，。设碰撞前系统静止，碰撞后系统获得一定的速度后作自由振动，而碰撞碰撞后系统获得一定的速度后作自由振动，而碰撞过程中系统的运动规律可以用冲量定理描述。过程中系统的运动规律可以用冲量定理描述。d()fd3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程
47、求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 d(0)fd首先研究作用于坐标原点的元冲量 引起的系统系统 时刻的响应的响应碰撞前：系统静止即初位移和初速度均为0碰撞后：系统的位移为 ，速度为 碰撞过程:(,)dxt0 x0 x 00(0)mxfd元冲量 作用后质点的速度(0)fd3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2)元冲量元冲量 引起的系统的动力响应引起的系统的动力响应 d(0)fd元冲量 作用后到 时刻的时间段 ，t ，系统作自
48、由振动,由元冲量 作用后质点的速度(0)fd01(0)xfdm0011 1(0)022xx dfddm000(cossin)ntndddxxxextt元冲量 引起的引起的 时刻的位移响应0(0)(0,)sinsinnnttddddxfddxtetetm可得可得()fd()()(,)sin()ntddfddxtetm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法3-1-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动3）任意激励力任意激励力 作用下系统的响应作用下系统的响应 即即根据叠加原理，任意激励力任意激励力 作用下系统的响应作用下系统的响应等于 时刻以前的元冲量 引起的系统的
49、动力响应应用Duhamel积分可以很方便的求出在任意激励力作用下单自由度振动系统的稳态响应该式即为Duhamel积分。一个令人满意的完美结果积分。一个令人满意的完美结果0()(,)tx tdxt(0)()n()sintddtftetdmx3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为00()00Ftf tt0000,0mxcxkxFxx()()000()sin()sin()nntttddtddfetdmFetmx td0221(cossin)1ntddnFe
50、ttm若阻尼比0，则系统的响应 02()1cosnnFx ttm3-1机械系统运动方程求解方法机械系统运动方程求解方法-解析法解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力 作用下系统的响应。根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为00()00Ftf tt0000,0mxcxkxFxx()()000()sin()sin()nntttddtddfetdmFetmx td0221(cossin)1ntddnFettm若阻尼比0，则系统的响应 02()1cosnnFx ttm对于激励力为比较复杂的函数，其Duhamel积分的解析表达式无法得到，但可以用数值积分的方法计算Duhamel
