1、6.4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器n设计思想：s 平面 z 平面模拟系统 数字系统()()aHsH znH(z)的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆n因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的 H(z)，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法6.5、冲激响应不变法()()at nTh nh t数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应()h n()ah t1、变换原理T抽样周期()H z()aHs根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系1
2、2()aakHsHsjkTT)(tha)(sHa)(tha)(sHa 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换 之间的关系。)(tha)(sHa)(nh)(zH 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()(aaaannznhzH)()(s平面与z平面的映射关系 sTez 以上表明，采用冲激响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系
3、映射到 Z 平面上。STez稳定性：如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左半平 面，即 Resi0,那么变换后H(Z)的极点 也都在单位圆以内，即 ,因此数字滤波器保持稳定。TsieRe()1iisTs Tee12akHsjkTT()()sTaz eH zHsSTez S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。T2jjT2jsrezj,令TerT,则映射关系 ：j0TT3T3T)Im(zj)Re(z0S 平面Z 平面:Z=
4、esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用冲激响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。2、混迭失真12()jakkH eHjTT仅当()02saHjT 1()jaH eHjTT数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 2/T,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭n n实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小/2s n当滤波器的设计
5、指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c3、模拟滤波器的数字化方法1()NkakkAHsss111kNks TkAez()()()()()aaaHsh th nTh nH z11()()()kNs taakkh tLHsA e u t1()()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1()kNns TkkA eu n()()nnH zh n z01kNns TnknkAez110kNns TkknAez n系数相同：kA1()NkakkAHsss11 ()1kNks TkAH zezn极点：s 平面 z 平面kssks Tzen稳定性不变：s 平面 z 平面Re
6、0ks1ks TenS平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。1()jaH eHjTT11()1kNks TkTAH zez当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正()()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT则：aHjT2211()4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131()11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1()NkakkAHsss11()1kNks TkTAH zez1120.318()1 0.41770.01831zH zzz
7、设T=1s，则1120.318()1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、优缺点n优点：n缺点：T n保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器n频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好()ah t6.6、阶跃响应不变法变换原理()()()at nTag ng tg nT()g n()ag t数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应T 抽样周期()()h nH z()1u nzz
8、()()*()()()1g nu nh nzG zH zz()()aah tHs()1u ts()()*()1()()aaaag tu th tG sHss1()()aag tLG s()()G zZT g n1()()()aaaHsG sHss()()ag ng nT1()()zH zG zz1()()aaG sHss()()1zG zH zz()()()at nTag ng tg nT()()sTaz eG zG s12akGsjkTT()211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。6.7、双线性变
9、换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真:,1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Ten为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs2、变换常数c的选择12Tc
10、tg 2cT2）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置1 12Tc3、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上4、优缺点n优点：2c tg 00 避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换00 n缺点：除了零频率附近，与 之间严重非线性11/T 1112 tgc2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常
11、数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变n预畸变给定数字滤波器的截止频率 ，则1112c tg 按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器115、模拟滤波器的数字化方法1111111()()1aazs czzH zHsHcz可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统1111()()1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12()()()()maaaaHsHs HsHs12()()()()mH zH z HzHz12()()()()maaaaHsHsHsHs1
12、2()()()()mH zH zHzHz1111()()1,2,.,iiazs czH zHsim其中：6.8、常用模拟低通滤波器特性n将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器n模拟滤波器n巴特沃斯 Butterworth 滤波器n切比雪夫 Chebyshev 滤波器n椭圆 Ellipse 滤波器n贝塞尔 Bessel 滤波器1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数2*()()()aaaHjHjHj()()aasjHs Hs h(t)是实函数2()aHj()aHs()()aaHjHj 将左半平面的的极点归()aHs将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作
13、为 的零点，虚轴上的零点一半归()aHs()aHs由幅度平方函数得象限对称的s平面函数n将 因式分解，得到各零极点()()aaHs Hsn对比 和 ，确定增益常数()aHj()aHsn由零极点及增益常数，得()aHs2()()aaHjHs由确定的方法2222216(25)()()(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：解：222 222216(25)()()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7,6ss 极点：零点：（二阶）5sj 零点：5sj 7,6ss 的极点：()aHs设增益常数为K020(25)()(7)(6)aKsHsss000()()4asaHs
14、HjK由，得2224(25)4100()(7)(6)1342assHsssss2、Butterworth 低通逼近幅度平方函数：221()1aNcHj当2()1/2acHj时称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽c1(0)20lg3()aacHjdBHjN为滤波器的阶数c为通带截止频率1）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj n 21()1/23caHjdB n 3dB不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小 st 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减2Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()
15、()()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222(1)1,2,.,2kjNNkccsjekN 2）幅度平方特性的极点分布：极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为/N rad 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：1()()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1/ccrrad s 为归一化系统的系统函数()anHs去归一化，得()()crcaanssHsHscrancsH4）滤波器的设计步骤：221()1apNpcHj120.10.1101101spkn根据技术指
16、标求出滤波器阶数N：12psn确定技术指标：120lg()apHj 由120.1110Npc得：220.1110Nsc同理：sspp令lglgspspkN 则：120.10.1101101Npsn求出归一化系统函数：11()()anNkkHsss或者由N，直接查表得()anHs()aancsHsH其中技术指标 给出或由下式求出：c110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中极点：n去归一化阻带指标有富裕210.12101Ncs 或通带指标有富裕 n例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 到 之间的阻
17、带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。0.20.3/0.2 /ppTrad s/0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）1 21221,2,.,6kjNk
18、csek 661()()cakkHsss234561()1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209()2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc)构造系统函数或者b)由N=6，直接查表得c)去归一化4）将 展成部分分式形式:()aHs1()NkakkAHsss11()1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.257
19、0zzz变换成Butterworth数字滤波器：2、用双线性变换法设计20.65/2pptgrad sT 21.019/2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.306spspNk 210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器6N 取b)求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661()()cakkHsssc)构造系统函数234561()1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b)由N=6，直接查表得c)去归一化()aancsHsH112 11()()azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz()aHs4）将 变换成Butterworth数字滤波器：
