1、4.2 弹性力学平面问题弹性力学平面问题的有限元法的有限元法有 限 元 求 解 基 本 原 理弹性力学的有限元分析计算可分为三个步骤:1 结构离散化 这是有限元法的基础，用由有限个方位不同但几何性质及物理性质均相似的单元组成的集合体来代替原来的连续体或结构。每个单元仅在节点处和其他单元及外部有联系。对于不同的问题，根据自身的特点，可选用不同类型的单元。对同一问题也可以分别或同时选用多种单元。4.2 4.2 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法例：一个受载的悬臂梁和用三角形单元离散化的模型真实系统有限元模型离散 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定
2、载荷。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别l单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域l节点：单元与单元间的连接点。l节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。l节点载荷：作用于节点上的外载。l节点自由度(DOFs)：用于描述一个物理场的响应特性。l分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）信息是通过单元之间的公共节点传递的。l具有公共节点的单元之间存在信息传递非法结构离散 不同材料节点不合法典典型型单单元元类类型型单元类型单元类型
3、单元形状单元形状节点数节点数节点自由度节点自由度杆单元杆单元22梁单元梁单元23平面单元平面单元32平面四边形平面四边形42轴对称问题轴对称问题32板壳单元板壳单元43四面体单元四面体单元432.单元分析 主要内容：由节点位移求内部任意点的位移，由节点位移求单元应变，应力和节点力。3.整体分析 (1)由节点平衡方程，建立以整体刚度矩阵K为系数的，整体节点位移d 和外载R的关系式整体平衡方程。(2)考虑几何边界条件，修改总体刚度矩阵，求解全部未知位移分量。a)受拉阶梯杆示意图 u1u2u3E(1),A(1)F3123E(2),A(2)l(1)l(2)R1x二.有 限 元 求 解 基 本 原 理(
4、一维问题)l引例:用有限元法求图1所示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积A(1)=210-4m2，A(2)=110-4m2，各段杆长l(1)=l(2)=0.1m；材料弹性模量E(1)=E(2)=2107Pa，作用于杆端的拉力F3=10N。1.单元划分根据材料力学的平面假设，等截面受拉杆的同一截面可认为具有相同的位移和应力，即位移只与截面的轴向坐标(x)有关，所以可将阶梯杆看作由两个“一维单元”组成，同一个单元内截面面积及材料特性不变。最简单的情况是，每一个单元有两个节点，他们分别位于单元两端。相邻两单元靠公共节点联结。受拉阶梯杆就简化为由两个一维单元和三个节点构成的有限单元模型。图中和是单
5、元号，1,2,3是节点号。取节点位移作为基本未知量，应力由求得的节点位移算出。c)单元图b)有限元模型u1E(1),A(1)Node 1Node2l(1)R1u2u2u3F3Node 3E(2),A(2)l(2)Node 2uiAe EeNode iNode jlePiujPjx图5-61232.确定单元插值函数(形函数)有限元法将整个求解域离散为一系列仅靠公共节点联结的单元，而每一个单元本身却视为光滑连续体。单元内任一点的场变量(如位移)可由本单元的节点值根据场变量在单元中的假定分布规律(插值函数)插值求得。本例中，每单元有两个节点，采用线性插值。图c是一典型单元图，两节点分别为i和j，节点
6、场变量值分别记为ui和uj。设单元中坐标为x处的场变量为u(x)。单元的位移场为u(x)，由两个端点的位移来进行线形插值确定，设u(x)为：(1.a)xaaxu10)(单元节点条件：jlxixuxuuxue)()(0 (1.b)将节点条件(1.b)带入(1.a)，可以求得a0和a1：eijiluuaua10 (1.c)则ejeieeijiqxNulxulxxluuuxu)(1)(其中N(x)叫做形状函数矩阵(shape function matrix),为eelxlxxN)1()(qe叫做节点位移列阵(nodal displacement vector),即Tjieuuq (2)形函数矩阵的分
7、量数目应与单元自由度数目相等3.单元方程(单元节点位移与节点力的关系)l由等截面杆变形与拉力的关系(虎克定律)得到l (3)l式中，Pi和Pj分别为作用于单元e的节点i和节点j的节点力。jijeeeijieeePuulEAPuulEA)()(l式(3)写成矩阵形式为：l (4)l或简记为：ke qe=Pe (5)lke常称为单元刚度矩阵(stiffness matrix of element)，简称单元刚阵:l lP e=Pi PjT 称为单元节点力列阵(nodal force vector)。l式(5)称为单元方程。jijieeePPuulEA1111jjjiijiiekkkkkl到目前为止
8、，单元方程(4)或(5)尚不能求解，因为节点力列阵Pe尚属未知。Pe的分量Pi和Pj为相邻单元作用于单元e的节点i和j的力，即属于单元之间的作用力。只有将具有公共节点的单元“组 集”在一起才能确定上述节点力和节点外载荷之间的关系。4.单元组集l 建立总体方程组为获得总体方程组，必须先将单元方程按照局部自由度(ui和uj)和总体自由度(u1、u2和u3)的对应关系进行扩展。u1E(1),A(1)Node 1Node2l(1)R1u2u2u3F3Node 3E(2),A(2)l(2)Node 2iijjjjjiijiiekkkkk单元1i=1;j=222211211)1(kkkkk单元局部坐标全局
9、坐标jjjiijiiekkkkk单元2i=2;j=333322322)2(kkkkkl (6)l式中，各项上角码表示单元序号；下角码表示自由 度总体序号。l 0000011011)1(2)1(1321)1()1()1(PPuuulEA000000)1(2)1(1321)1(22)1(21)1(12)1(11PPuuukkkk具体来说，单元1的扩展方程为：l (7)l由于相邻两单元公共节点上的基本场变量（位移）相同，所以可将扩展后的各单元方程相加。单元2的扩展方程为：)2(3)2(2321)2()2()2(0110110000PPuuulEA)2(3)2(2321)2(33)2(32)2(23)
10、2(22000000PPuuukkkk)2(3)2(2)1(2)1(1321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(00PPPPuuulEAlEAlEAlEAlEAlEAlEAlEA(8)2(3)2(2)1(2)1(1321)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(1100PPPPuuukkkkkkkk将式(6)和式(7)相加得：l (9)l组集后的结果简记为：Kq=Pl式中，K称为总体特性矩阵(常称为总体刚度矩阵和总刚阵)，P称为总体节点载荷列阵。需指出的
11、是，对单元的一个公共节点而言，除了有相邻单元作用于该节点的力之外，还可能有做用于该节点的外载荷。若一节点上无外载荷作用(如本例中节点2)，则说明各相邻单元作用于该节点的力是平衡的，即该节点的节点合力为零。上述组集过程可记为：11NENEeeeeeK qP有限元模型单元总数l若某节点上有外载荷作用(如节点3)，则各单元作用于该节点的内力和(即方程(8)中第3式左端项的负值)与该节点的外载荷(F3)相平衡，即：l (10)l即，列阵F 各分量的含义是作用于相应自由度(节点位移)上的节点外载荷。将相应数据代入式(8)得：l (11)0)(33)2()2()2(2)2()2()2(FulEAulEA1
12、0011013202210213214Ruuu 上式即为本题的总体线性代数方程组，但不能获得唯一解，因为上式中的矩阵是奇异的。这种奇异性不是因数据巧合造成的，而是有其必然性。原因在于总体方程组式(8)只考虑了力平衡条件，而只根据力平衡不能唯一地确定系统的位移，因为系统在有任意刚性位移的情况下仍可处于力平衡状态。为获得各节点位移的唯一解，必须消除可能产生的刚体位移，即必须计入位移边界条件。l本题的位移边界条件为u1=0,那么，式(11)中只剩下两个待求的自由度u2和u3。也就是说，可从式(11)中消去一个方程。譬如，舍去第一个方程并将u1=0代入后得：l (12)l解得：u2=2.510-4m；
13、u3=7.510-4m。q=u1 u2 u3T=0 2.510-4 7.510-4T m.l这与材料力学求得的结果相同。5.计入边界条件，解方程组1001113102324uu应变的表达l由几何方程得知，1D单元中任一点的应变l (13)l其中 (14)lB(x)称为单元应变矩阵，或称为几何函数矩阵(strain-displacement matrix).6.计算单元应变和应力ejieeeqxBuullxqxNxxux)(11d)(d(d)(d)(eellxNxxB11)(dd)(l (15)l其中 (16)lS(x)叫做应力矩阵(stress-displacement matrix).应力的
14、表达eeeeqxSqxBExEx)()()()(eeeeelElExBExS)()(MPa05.0)()(21)1()1()1()1()1()1()1(uulElEqxSx321)1()1()1()1()1(105.211)()(uullqxBxMPa1.0)()(32)2()2()2()2()2()2()2(uulElEqxSx332)2()2()2()2()2(10511)()(uullqxBxl对于单元1l对于单元27.求支反力求支反力l具体对单元，有l (17)l其中R1为节点1的外力，即为支反力，P2为单元的节点2所受的力，将u1和u2的值带入式(17)，有l 2121)1()1()1(1111PRuulEAN10N1021PR作业作业l用有限元法求图示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积A(1)=410-4m2，A(2)=210-4m2，A(3)=110-4m2各段杆长l(1)=l(2)=l(3)=0.1m；材料弹性模量E(1)=E(2)=E(3)=2107Pa，作用于杆端的拉力F4=10N。建立结构的有限元方程，并求解相应的变形、应变、应力及支反力。u1u2u3E(1),A(1)123E(2),A(2)l(1)l(2)R1u4F44E(3),A(3)l(3)
