1、2022年北京大中学生数学科学夏令营试题2022年北京大中学生数学科学夏令营试题2022.08.06-08.07第一天1.n 是一个正整数，在 1,2,n 中等可能的随机选取一个数，甲乙轮流由甲开始当面猜出所选的这个数.若猜的数不为选出的数，则双方可得知选出的数与猜测的数的大小关系.在双方均采取最优策略（使自己猜出的概率最大）的情况下，求甲先猜出的概率.2.数列 fnn=满足只有 f1,f2,f2022可能不为 0.令M(n)=maxr,s0(n+si=nr|fi|)/(r+s+1).求证：2023n=1|M(n)M(n 1)|2023n=1|fn fn1|.3.对三维欧式空间里的任意一点 P
2、 及正实数 r，Br(P)表示以 P 为球心，r 为半径的球及其内部.证明：存在正整数 n 使得不存在满足如下三个条件的 n 个集合 Bri(Pi)，1 i n：(a)ri 1,1 i n；(b)Bri(Pi)B1(O)=，1 i n，其中 O=(0,0,0)表示原点；(c)当 i=j 时，Pi/Brj(Pj).4.小坤生活在 2022 维空间中，有一次他得到了一个由 32022个各边长为 1 的2022 维小立方体沿格线拼成的，各边长为 3 的 2022 维大立方体.对每个在1,2,2021 中的正整数 m，他想要知道如果他沿格线不重叠地从大立方体中切下由 2m个小立方体构成的，边长为 2
3、或 1 的长方体，那么他能切下的长方体的最大可能数量 f(m).我们虽然不知道他有没有实现他的想法，但想必聪明如你至少知道是否有一个m 满足 f(m)806f(m+1).你能说说到底有没有这个 m 1,2,2020，以及为什么吗？1第二天1.已知实数 c 满足对任意正整数 n，nc是整数.求证：c 是整数.2.设 aij(1 i,j 2022)是绝对值不超过 2022 的整数，求证：2022i=1(2022j=1a2ij)(2022j=12022i=1aij)2,并求出使等号成立的数组 aij的个数.3.三角形 ABC 的外接圆为，外心是 O.D,E 是 的一对对径点，在 D 处的切线分别交直线 BC，AB 于 J,L，在 E 处的切线分别交直线 BC,AC 于K,M.三角形 ADJ,AEK 的外接圆交于两点 A,F，三角形 ADL,AEM的外接圆交于两点 A,N.求证：若点 N 在直线 AO 上，则 F 也在.4.设 p 是奇素数，非负整数 d pd.（不等式左边|表示集合中的元素个数.）2
