1、雅安雅安学校学校高一入学摸底考试数学试题高一入学摸底考试数学试题及及答案答案 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题选择题（每小题 5 分，共 60 分）1若 m 个数的平均数 x，另 n 个数的平均数 y，则 m+n 个数的平均数是（）A2yx+Bnmyx+Cnmnymx+Dyxnymx+2已知 sincos，那么锐角 的取值范围是（）A3045 B045 C4560 D090 3.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）A B C D 4.下列命题中的假命题是（）A过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B平行于同一直线的两条直线平行 C直线 y2x1 与直
2、线 y2x+3 一定互相平行 D如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 5.若 m，n 满足 m2+3m50，n2+3n50，且 mn则的值为（）A B C D 6.如果 ab，那么下列不等式中一定成立的是（）Aa2ab Babb2 Ca2b2 Da2bb 7.函数aaxy+=与xay=（0a）在同一坐标系中的图象可能是（）A B C D 8已知实数a满足|2021a|+2022a=a，那么a20212值是（）A2022 B2021 C2020 D2019 9.若关于 x 的方程0122=+xax只有一个实根，则a的值为（）A0 B.1 C1 D0 或 1 10.如图 1，在平面内选一定点
3、 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 M 的位置可由MOx 的度数 与 OM 的长度 m 确定，有序数对（，m）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（）A（60，4）B（45，4）C（60，2）D（50，2）11.如图，一张三角形纸片 ABC，其中C90，AC6，BC8某同学将纸片做两次折叠：第一次使点 A 落在 C 处，折痕记为 m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点 A 落在B 处，折痕记为 n则 m、n 的长度分别是（）A
4、4，B4，3 C4，D3，5 12已知二次函数cbxaxy+=2（0a）的图象如图所示，有下列 5 个结论：0abc；cab+cba；2c3b；)(bammba+（m1 的实数）其中正确的结论有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题填空题（每小题 5 分，共 20 分）13设443322104)12(xaxaxaxaax+=+,则=+43210aaaaa_.14如图，由点 P（14，1），A（a，0），B（0，a）（0a14）确定的PAB 的面积为 18，则 a 的值为 阅读下面材料，并解答第阅读下面材料，并解答第 15，16 题：题：在形如 abN 的式子中，我们已经研究过两
5、种情况：已知 a 和 b，求 N，这是乘方运算；已知 b 和 N，求 a，这是开方运算 现在我们研究第三种情况：已知 a 和 N，求 b，我们把这种运算叫作对数运算 定义：如果 abN（a0a1，N0），则 b 叫作以 a 为底的 N 的对数，记作 blogaN 例如：因为 238，所以 log283；因为3128=，所以21log38=我们可以根据对数的定义得到对数的性质：loga（MN）logaM+logaN logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0）15根据对数的定义，那么对数函数2logyx=的图像大致为_ 16根据对数的性质计算：3321log 6log 2log4+=_
6、.三、解答题解答题（17 题 10 分，其余每小题 12 分）17.1)计算（5 分）：+（）0+sin45（2019）0 2）（5 分）先化简，再求值：（x1+122+xx）12+xxx，其中 x 的值是从2x3 的整数值中选取 18.（12 分）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜 如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 y（）与时间 x（h）之间的函数关系，其中线段 AB、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度 y 与时间 x（0 x24）的函数关系式；（2）求恒
7、温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于 10时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？19（12 分）如图，直线 AB 经过O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB，O 交直线 OB 于 E，D，连接 EC，CD（1）求证：直线 AB 是O 的切线；（2）试猜想 BC，BD，BE 三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若 tanCED=，O 的半径为 3，求 OA 的长 20（12 分）阅读以下材料：对于三个实数 a、b、c，用 Mcba,表示这三个数的平均数，用 mincba,表示这三个数中最小的数 例如：M1，2，3=；min1，2，3=
8、1；min1，2，a=a（1a）；min1，2，a=1（1a）解决下列问题：（1）填空：minsin30，cos45，tan30=，如果 min2，22+x，x24=2，则 x 的取值范围为 ；（2）如果 M2，1+x，x2=min2，1+x，x2，求x=_ 根据，你发现了结论“如果 Ma，b，c=mina，b，c，那么_（填a，b，c 的大小关系）”运用的结论，若 M2x+y+2，x+2y，2xy=min2x+y+2，x+2y，2xy，则 x+y=；（3）在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数1+=xy，2)1(=xy，xy=2的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min1
9、+x，2)1(x，xy=2的最大值为 21（12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2（1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 22（12 分）已知开口向上的抛物线cbxaxy+=2与 x 轴交于 A（3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点，ACB 不小于 90（1）求点 C 的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求系数a的取值范围；（3）设抛物线的顶点为 D，求BCD 中 CD 边上的高 h 的最大值（4）设 E，当ACB=90，在
10、线段 AC 上是否存在点 F，使得直线 EF将ABC 的面积平分？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由 高一入学摸底考试数学试题答案高一入学摸底考试数学试题答案 一选择题一选择题 1.解：m+n 个数的平均数=，故选 C 2.解：cos=sin（90），sincos=sin（90）又正弦值随着角的增大而增大，得 90，45又 是锐角，则 的取值范围是 045 度故选 B 3.由三视图可知选 A.4.答案选择 D,还可以互补。5.由题意可得 m，n 满足 x2+3x50 方程的两根，由韦达定理可得答案 A 6.解：ab，a2bb2b，即 a2bb，故选：D 7.由一次函数、反比例函数性
11、质可知选 A.8解：已知实数a满足|2021a|+2022a=a，可得2022a；故原式化简为：a2008+2022a=a，即2022a=2021，平方可得：a2022=20212；整理得，a20212=2022故选 A 9.选 D 10.解：如图，设正六边形的中心为 D，连接 AD，ADO360660，ODAD，AOD 是等边三角形，ODOA2，AOD60，OC2OD224，正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（60，4）故选：A 11.解：如图所示：由折叠的性质得：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DE 是ABC 的中位线，mDEBC4；C90，AC6，BC8，AB10，由折叠的性质得：AD
12、BDAB5，BDF90，BB，BDFBCA，即，解得：DF，即 n，故选：A 12.解：开口向下，a0；对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，则 b0；抛物线与y 轴的交点在 x 轴的上方，c0，则 abc0，所以不正确；当 x=1 时图象在 x 轴下方，则 y=ab+c=0，即 a+c=b，所以不正确；对称轴为直线 x=1，则 x=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c0，所以正确；x=1，则 a=b，而 ab+c=0，则bb+c=0，2c=3b，所以不正确；开口向下，当 x=1，y 有最大值 a+b+c；当 x=m（m1）时，y=am2+bm+c，则 a+b+cam2+bm+c，
13、即 a+bm（am+b）（m1），所以正确 故选：A 二填空 13）.1 14）.3 或 12 15）.D 16）.-1 三解答题 17.1）解：原式3+1+1 4+11 (3 分）4 (5 分）2）解：原式 (3 分）已知2x3 的整数有1，0，1，2，分母 x0，x+10，x10，x0，且 x1，且 x1，x2 （4 分）当 x2 时，原式（5 分）18.1）+=2410,200105,2050,102xxxxxy 2）恒温系统设定的恒定温度：200 3）y=10 代入xy200=，解得20=x，所以 20-10=10 恒温系统最多可以关闭 10 小时，才能使蔬菜避免受到伤害.19.（1）
14、证明：如图，连接 OC，（1 分）OA=OB，CA=CB，OCAB，（2 分）AB 是O 的切线（3 分）（2）解：BC2=BDBE（4 分）证明：ED 是直径，ECD=90，E+EDC=90 又BCD+OCD=90，OCD=ODC（OC=OD），BCD=E（5 分）又CBD=EBC，BCDBEC（6 分）BC2=BDBE（7 分）（3）解：tanCED=，BCDBEC，（9 分）设 BD=x，则 BC=2x，BC2=BDBE，（2x）2=x（x+6）（10 分）x1=0，x2=2BD=x0，BD=2 OA=OB=BD+OD=3+2=5（12 分）20.解：（1）minsin30，cos45，
15、tan30=，如果 min2，2x+2，42x=2，则 x 的取值范围为 0 x1；（2）M2，x+1，2x=x+1 法一：2x（x+1）=x1当 x1 时，则 min2，x+1，2x=2，则 x+1=2，x=1当 x1 时，则 min2，x+1，2x=2x，则 x+1=2x，x=1（舍去）综上所述：x=1 法二：M2，x+1，2x=x+1 x+1=min2，x+1，2x，x=1 a=b=c4；（3）作出图象最大值是 1 21（1）证明：菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，ABD 和BCD 都为正三角形，BDE=BCF=60，BD=BC，AE+DE=AD=2，而 AE+CF=2，DE=CF
16、，BDEBCF；（2）解：BEF 为正三角形 理由：BDEBCF，DBE=CBF，BE=BF，DBC=DBF+CBF=60，DBF+DBE=60即EBF=60，BEF 为正三角形；（3）解：设 BE=BF=EF=x，则 S=xxsin60=x2，当 BEAD 时，x 最小=2sin60=，S最小=，当 BE 与 AB 重合时，x 最大=2，S最大=22=，22.解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），消去 b，得 c=3a点 C 的坐标为（0，3a），（2）当ACB=90时，AOC=BOC=90，OBC+BCO=90，ACO+BCO=90，ACO=OBC，AO
17、CCOB，即 OC2=AOOB，AO=3，OB=1，OC=，ACB 不小于 90，OC，即c，由（1）得 3a，a，又a0，a 的取值范围为 0a，（3）作 DGy 轴于点 G，延长 DC 交 x 轴于点 H，如图 抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（3，0），B（1，0）抛物线的对称轴为 x=1即=1，所以 b=2a 又由（1）有 c=3a抛物线方程为 y=ax2+2ax3a，D 点坐标为（1，4a）于是 CO=3a，GC=a，DG=1DGOH，DCGHCO，即，得 OH=3，表明直线 DC 过定点 H（3，0）过 B 作 BMDH，垂足为 M，即 BM=h，h=HB sinOH
18、C=2 sinOHC 0CO，0OHC30，0sinOHC 0h1，即 h 的最大值为 1，答：BCD 中 CD 边上的高 h 的最大值是 1 （4）由（1）、（2）可知，当ACB=90时，设 AB 的中点为 N，连接 CN，则 N（1，0），CN 将ABC 的面积平分，连接 CE，过点 N 作 NPCE 交 y 轴于 P，显然点 P 在 OC 的延长线上，从而 NP必与 AC 相交，设其交点为 F，连接 EF，因为 NPCE，所以 SCEF=SCEN，由已知可得 NO=1，而 NPCE，得，设过 N、P 两点的一次函数是 y=kx+b，则，解得：，即，同理可得过 A、C 两点的一次函数为，解由组成的方程组得，故在线段 AC 上存在点满足要求 答：当ACB=90，在线段 AC 上存在点 F，使得直线 EF 将ABC 的面积平分，点 F 的坐标是（，）
