1、小升初 蝴蝶、鸟头模型及应用内容分析-（） 在小学的学习中几何是一个很重要的部分,每一个几何图形都非常美妙,几何图形的美妙不仅来源于它的外形,更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律,这节课我们就一起来看看几个美妙的几何模型知识结构 内蝴蝶模型蝴蝶、鸟头模型及应用鸟头定理模块一：蝴蝶模型及应用知识精讲模型一:任意四边形中的比例关系(“蝴蝶模型”)：或者；蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.模块二: 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)： （用相似证明
2、面积比等于边长比的平方）；的对应份数为 梯形蝴蝶模型给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。例题解析【例1】如图，已知梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，底边BC长10米，三角形AED的面积是5平方米，求阴影部分面积。【难度】【答案】20平方米【解析】根据梯形的面积公式，AD=4526-10=5（米），根据梯形蝴蝶模型，所以阴影面积为；54=20平方米【总结】梯形中蝴蝶模型应用【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积；（2）AG：GC=？【难度】【答案】
3、（1）6；（2）1：3【解析】（1）根据蝴蝶模型， （2）根据蝴蝶模型：AG：GC=（1+2）：（3+6）=1：3【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【难度】【答案】21公顷【解析】根据蝴蝶模型，所以最大的一个三角形为 BOC，（公顷）【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例4】如图，求梯形面积。【难度】【答案】9【解析】设为份，为份，根据蝴蝶模型，=4=，所以b=2，又因为=2=ab,所以a=1;那么=1，=ab=2，所以梯形面积为+=1+2
4、+4+2=9，或者根据蝴蝶模型，S=9【总结】巧妙设值事半功倍【例5】梯形ABCD的AB/CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB，BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是_平方厘米。 【难度】【答案】144 【解析】根据梯形蝴蝶模型，可得a:b=5:7,再根据梯形蝴蝶模型（平方厘米），那么梯形ABCD的面积为25+35+35+49=144（平方厘米）【总结】梯形蝴蝶模型应用 【例6】如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，三角形AOB的面积为12平方厘米，则梯形ABCD是_平方厘米。 【难度】 【答案】64 【解析】根据梯形蝴蝶模型，所以梯形
5、面积为 【总结】蝴蝶模型应用 【例7】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比. 【难度】 【答案】4:9 【解析】根据梯形蝴蝶模型,可以求出a:b=2:3,再根据梯形蝴蝶模型，【总结】蝴蝶模型应用 【例8】如图所示，在梯形ABCD中，AB/CD，对角线AC、BD相交于点O，已知AB=6，CD=4，梯形ABCD的面积为5，求三角形OBC的面积。 【难度】 【答案】1.2 【解析】根据梯形蝴蝶模型，所以三角形OBC的面积为 【总结】蝴蝶模型应用1、 蝴蝶模型的基本模型有哪些？师生总结模块二：鸟头定
6、理及应用知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 图 图鸟头定理：在ABC中，点E是AB上的n等分点，AE=ABn;点F是AC上的m等分点，AF=ACm,那么例题解析【例9】如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且，已知三角形BDE的面积是15平方厘米，求三角形ABC的面积。【难度】【答案】90平方厘米【解析】根据鸟头定理，所以（平方厘米）【总结】鸟头定理简单应用【例10】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF=
7、2CF,三角形AEF的面积为8平方厘米,平行四边形的面积是多少平方厘米?【难度】【答案】48平方厘米【解析】连接FB,三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍,而三角形AFB面积是AEF面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AEF面积的(32)=6倍,因此,平行四边形的面积为86=48(平方厘米)【总结】鸟头定理在四边形中的应用【例11】如图,三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4，BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?【难度】【答案】5倍【解析】因为BE=3,AE=6,所以,
8、又因为,BD=DC=4,BD=BC,乙的面积是甲的5倍.【总结】鸟头定理简单应用【例12】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?【难度】【答案】15【解析】【总结】鸟头定理【练习13】如图，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG，求.【难度】【答案】【解析】反复运用两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比，【总结】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看
9、作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况。【例14】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5：2，AE：EC=3：2，平方厘米，求ABC的面积。【答案】50平方厘米【解析】连接BE，所以，设=6份，则=25份，=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积就是50平方厘米。【总结】由此我们得到一个重要定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边乘积之比【例15】如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积.【难度】【答案】13.2平方米【解析】连接BD
10、,由共角鸟头定理得同理所以,连接 AC,同理可得,所以,=665=13.2平方米【总结】鸟头定理应用【例16】如图，在ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？【难度】【答案】3.5【解析】在ABC和CFE 中，角ACB与角FCE互补，。又，同理可得，所以【总结】鸟头定理多次应用师生总结1、 鸟头定理的基本模型？随堂检测【练习1】如图，梯形ABCD的面积是225平方厘米，下底20厘米，高15厘米，那么，三角形AOD的面积是（ ）平方厘米【难度】【答案】50【解析】由梯形的面积公式可得上底长为225215-20=10（厘米）
11、，由梯形的蝴蝶模型可得：，所以三角形AOD的面积是（平方厘米）【总结】梯形蝴蝶模型应用【练习2】如下图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC=2BE，那么，图中阴影部分的面积是_平方厘米。 【难度】【答案】12.5【解析】连接DE，在梯形ABED中，BE：AD=1：3，根据梯形蝴蝶模型，所以（平方厘米）【总结】蝴蝶模型简单应用【练习3】在下图的正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于F点，三角形ABF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD的面积是_平方厘米。【难度】【答案】6【解析】连接DE，BE：AD=1：2，根据梯形蝴蝶模型，所以，所以，所以，所以（平方厘米）【总结】四边
12、形中梯形蝴蝶模型的应用【练习4】如图所示，边长为1的正方形ABCD中，点M是边AD的中点，求阴影部分的面积。【难度】【答案】【解析】利用梯形蝴蝶模型，设，所以S=（1-10.52）94=【总结】梯形蝴蝶模型应用【练习5】在四边形ABCD中，已知平方厘米，求三角形BCO 的面积是多少？【难度】【答案】4平方厘米【解析】根据蝴蝶模型，（平方厘米）【总结】蝴蝶模型应用【练习6】如图,长方形的面积是96平方厘米,B、C分别是两边的中点，则ABC的面积是多少？【难度】【答案】36平方厘米【解析】，所以，（平方厘米）【总结】多次利用鸟头定理【练习7】如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三
13、等分点，已知三角形ABF的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。【难度】【答案】54平方厘米【解析】，所以，（平方厘米）【总结】鸟头定理应用【练习8】如下图，在ABC中，D点为AB的中点，F 点为BC的中点，且E点为BF的中点，已知DCF的面积为63平方厘米，试求ABC的面积。【难度】【答案】252平方厘米【解析】，（平方厘米），所以（平方厘米）。【总结】鸟头定理应用【练习9】如图，D是AB的中点，E、F是AC的三等分点，那么阴影部分的面积是BCF面积的几分之几？【难度】【答案】【解析】根据鸟头定理，而AE=EF，所以【总结】鸟头定理应用课后作业【作业1】在四边形ABCD中，已知AO=
14、7厘米，求CO的长度。【难度】【答案】17.5厘米【解析】根据蝴蝶模型，（厘米）【总结】蝴蝶模型应用【作业2】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是12平方厘米，问三角形AOD的面积是多少？【难度】【答案】【解析】根据梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3,所以（平方厘米）【总结】蝴蝶模型应用【作业3】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是_平方厘米。【难度】【答案】12平方厘米【解析】连接DE，根据梯形蝴蝶模型：，所以，（平方厘米），那么（平方厘米）【总结】梯形蝴蝶模型应用【作业4】如图，在三角形
15、ABC中，D、E分别是BC、AB的三等分点，已知三角形BDE的面积是12平方厘米，求三角形ABC的面积。【难度】【答案】54平方厘米【解析】根据鸟头定理，所以（平方厘米）【总结】蝴蝶模型应用【作业5】如图，BD=2 厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是GE的中点，G是AB的中点三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？【难度】【答案】2【解析】，DE=2BD，GF=FE，所以（平方厘米）【总结】鸟头定理应用【作业6】如下图，在ABC中，D点为AB的中点，F 点为BC的中点，且E点为BF的中点，已知DCF的面积为20平方厘米，试求ABC的面积。【难度】【答案】80平方厘米【解析】，（平方厘米），所以（平方厘米）。【总结】鸟头定理应用【作业7】如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点，已知三角形ABF的面积是86平方厘米，求三角形CDE 的面积。【难度】【答案】43平方厘米【解析】，所以，（平方厘米）【总结】鸟头定理应用【作业8】如图，D是AB的中点，E、F是AC的三等分点，已知三角形ABC的面积是36平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【难度】【答案】6平方厘米【解析】根据鸟头定理，而AE=EF，所以（平方厘米）【总结】鸟头定理应用20
