1、11、关于物质波的波函数 回顾前面关于德布罗意物质波的概念,任何物质粒子都具有波粒二象性。我们把描述微观粒子概率波的数学函数式称作波函数，是时空函数（x,y,z.t)波函数常用表示。一、波函数物质波不同于经典概念的波,不代表实在的物理量的波动，它反映的是物质粒子运动的一种统计规律，故也称为概率波。2三维情形为：rkrtcosEt,E0 波函数形式为：rkrtieEtE0,由欧拉公式sincosieikxtcosEt,xE02k式中波面x0电场强度用 E 表示，光的经典平面简谐波动方程为 在经典物理学中我们只用了其中的实数部分。（1）光的经典(电磁波)波函数 2、光子的波函数3Pr波面（2）光子
2、的平面波波函数 于是光子的平面波波函数为rptiet0,rhknph利用基本关系式将上述各量代入：rkrtieEtE0,/0,rrp ptieEtE得4（3）光子波函数与光的经典波函数的区别 物理上的区别：在光学中，E 表示光的电矢量,E2 表示光波的强度。在光子（物质波）中，波函数本身并无直接的物理意义，但vdt,rt,r*表示t时刻，在空间 r 处的体积元 dv 中发现光子的概率。(r,t)描述的波称为概率波。波函数代表的量变量光的经典波函数E(电矢量)，k光子波函数（无直接意义），p函数形式上的区别：光的概率波不象经典电磁波那样描述某一物理量(电矢量)的波动！53、物质波的波函数 对于一
3、个不受外力作用的沿 X 方向运动的单能(由 E hv 可知其相当于单色)自由粒子，与其运动状态相对应的单色物质波波函数，可表示为)(0)(pxEtietx*2)(0).(rptEietr 假如这个单能粒子不是沿 X 轴运动，而是在三维空间沿矢径 r 方向传播，那么这时的波函数为:波函数是复数，模的平方可表示为64、波函数的统计解释:(1)概率密度:玻恩假定：概率波的波函数，模的平方t,rt,r|t,r|*2代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：dVdV*2rdxdydzdV o说明：代表粒子的概率分
4、布的不是波函数本身，而是波函数模的平方。波函数无直接的物理意义。波函数不是一个物理量。7(2)波函数的标准条件 则在体积v内出现的概率dVpv2体积dv内粒子出现的概率dVdp2 由于在一般的原子现象中，可以不考虑粒子的产生与湮灭现象，故在整个空间范围内去搜寻它，是一定能够找到的，也就是说,粒子在整个空间范围内出现的概率等于 1，上式称作波函数的归一化条件，可见波函数也是归一化函数。12dV全波函数必须同时满足标准条件和归一化条件。统计诠释要求，波函数应满足:标准条件：单值、有限和连续；归一化条件：12dV全8 5、波函数的叠加原理 为了使我们对波函数的统计解释理解得全面些,我们简单地介绍一下
5、波函数的叠加原理-波函数的叠加原理是:波函数可线性叠加以电子束的双缝干涉(如图所示)为例w若1和2是描述粒子可能状态的波函数,那么,这两个函数的线性叠加 C1 1+C2 2 也是一个波函数,它所描述的状态是该粒子的另一个可能的状态。9假设只开缝1,电子束到达屏上的波函数 1 在屏上形成单缝衍射的概率分布为 1 2。只开缝2,电子束到达屏上的波函数 2 在屏上形成单缝衍射的概率分布为 2 2。*212*12221*2*1212)()(p 可见两缝同时打开的概率分布不是两缝分别打开时的概率之和而是多了干涉项。1*22*1 从宏观来看即出现了干涉，1和2是电子束的两种可能运动 状态，C11 C22则
6、是另一种可能运动状态。如果双缝同时开放,则到达屏上的波函数为 C11 C22，其在屏上形成的概率分布为(此处由于对称，权重=1）10二、薛定谔方程由于微观粒子具有波粒二象性，对于微观粒子的动力学问题，牛顿方程已不再适用，因此，必须另新建一套处理微观粒子问题的方法。1926 年，奥地利物理学家薛定谔在德布罗意波假说的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程。薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。1、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这个波函数应该是适用于微观粒子的波动方程的一个解。11phhE,必须是
7、线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理(因为物质波能够干涉)。titzyxUm,222 薛定谔提出了波函数(x,y,z,t)所适用的（在非相对论）动力学方程：（）式中2222222zyx称之为拉普拉斯算符，必须能满足德布罗意波公式的要求，12（）tzyxU,表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数，（）m 是微观粒子的质量。引入哈密顿量算符tUmH,222r哈密顿量代表粒子的总能量(注意 t)tHtti,rr用哈密顿量表示的薛定谔方程为13处于定态的微观粒子的波函数称为定态波函数（或称为能量本征函数），一般用小写的表示，即zyx,定态波函数所满足的薛定谔方程称为定态薛定
8、谔方程，即为式中是粒子的总能量，又称为能量本征值。、定态的薛定谔方程 如果微观粒子受到的作用势能不随时间变化，亦即 U=U(x,y,z),此时系统的能量不随时间变化，系统的这种状态 称之为定态。143、薛定谔方程的意义一维定态薛定谔方程设微观粒子在外势场中作一维运动，这时该方程为薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典物理中的地位相当。薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有什么更基本的原理可以证明它的正确性。从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。15例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在空间的分布概率将 (A)增大倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。解：选 D。因为整个场中各点波振幅同时增大 D 倍,对于概率分布无影响。
