1、第四章 正弦电流电路4.1 4.1 正弦量正弦量内容提要内容提要1.正弦量的相量表示法；2.两类约束的相量形式；3.正弦电流电路的分析计算；4.正弦电流电路的功率。时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。一一 时变的电压和电流时变的电压和电流 第四章 正弦电流电路瞬时值瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 表示。)(tu()i t周期量周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的时变电压和电流。交流量交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。tiO周期量周期量tiO交流量交流量tuO时变电压时变电压第四章 正弦电流电路二二 正弦量的三要素正弦量的三要素 设正弦电流幅值、角频率、
2、初相位称为正弦量的三要素三要素。2 it O TI Im m 正弦量：按正弦规律变化的交流量。初相位 决定正弦量起始位置角频率 决定正弦量变化快慢 幅值 决定正弦量的大小)sin(mtIi第四章 正弦电流电路 幅值：交流电的最大瞬时值称为幅值或最大值，如Im。t t mITi幅值必须大写,下标加 m。周期周期 T：变化一周所需的时间。单位：秒(s)决定正弦量变化快慢的三种描述：频率频率 f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)角频率角频率：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)第四章 正弦电流电路无线通信频率：30 kHz 30GMHz电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz
3、 1fTfT22 三者间的关系：相位和初相位 初初相位相位 ：t=0 时的相位。三三 相位差相位差 相位相位：正弦波的 。)(t 规定规定：初相位的绝对值不超过。第四章 正弦电流电路 相位差相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位之差。iuui tiu sin sintIitUumm iuiu tt如：则相位差为：第四章 正弦电流电路两个正弦量的相位关系两个正弦量的相位关系u,iouit,0iu若称 u 超前 i 角；,0iu若称 u 滞后 i 角；u,iouit第四章 正弦电流电路,0iu若称 u 与 i 同相；,180iu若称 u 与 i 反相；u,iouitu,iouitu,io
4、uit，2iu若称 u 与 i 正交。两个正弦量的相位关系两个正弦量的相位关系第四章 正弦电流电路 不同频率的正弦量比较无意义。注意注意:ti2i1iO 两个同频率正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。相位差的绝对值规定不超过。有效值有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R,在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电阻 R 消耗的能量 ,则I 定义为 i 的有效值。则有周期电流周期电流直流直流dtRiT20RTI2 TtiTI02d1有效值必须大写有效值必须大写 四四 周期量和正弦量的有效值周期量和正弦量的有效值 第四章 正弦电流电路第四章 正弦电流电路正弦
5、量的有效值与最大值关系正弦量的有效值与最大值关系则当 时，)sin(mtIi2d)(sin1d1m022m02IttITtiTITT即mm707.02III同理mm707.02UUU交流电压、电流表测量的数据均为有效值注意注意交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值第四章 正弦电流电路解析式：一一 正弦量的表示方法正弦量的表示方法波形图：it O由于前两种不便于运算，故引出相量表示法。4.2 4.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法必须小写重点重点)sin(mtIi相量：II第四章 正弦电流电路有向线段与横轴夹角=初相位+1+1b bat1t0 0iIm0 0t1A AB Bj jmI二二
6、旋转矢量与正弦量旋转矢量与正弦量设正弦量:)sin(mtIi则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段以速度 按逆时针方向旋转若：有向线段长度 =电流最大值 mI第四章 正弦电流电路相量：表示正弦量的复数称为相量。相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。即：相量 （或 ）mII模用最大值表示时，为最大值相量，即IImm模用有效值表示时，为有效值相量，即II mI()I1j 相量图：把相量表示在复平面的图形。三三 用相量表示正弦量用相量表示正弦量第四章 正弦电流电路注意注意 相量与正弦量是对应关系，而
7、并不是等于正弦量。只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。msin()iItII 相量（有效值相量）的表示形式jjIIIeI cosI sin “j”的数学意义和物理意义j90sinjcos9090jej90e旋转因子：90第四章 正弦电流电路例 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。150 2sin(100)A6it 1100 2sin(100)V3ut 112=50A6=100V32=100-V3IUU相量图 0 02U32631U1I22=100 2sin(100)V3ut 解：第四章 正弦电流电路四四 用相量求正弦量的和与差用相量求正弦量
8、的和与差例：设有正弦电流：A)30sin(24.42)(A)45sin(27.70)(21ttitti试求：两电流的和及差。解：用相量表示两正弦电流为A304.42A457.7021II其相量图如图所示-30 45 0 01I2I2I12III12III将两相量相加，得A4.1891.4)A304.42457.70(21III第四章 正弦电流电路A4.794.27)A304.42457.70(21III 上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上，可采用三角形法则作图。如下图所示。A)4.18sin(24.91)()()(21ttititi其瞬时值表达式：将两相量相减，得其瞬时值表
9、达式：A)4.79sin(24.72)()()(21ttititi0 01I2I12III两相量相加2I12III0 01I两相量相减第四章 正弦电流电路4.3 4.3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式一一 基尔霍夫电流定律（基尔霍夫电流定律（KCLKCL）瞬时值形式：0i相量形式（同频率的正弦量）：0I二二 基尔霍夫电压定律（基尔霍夫电压定律（KVLKVL）瞬时值形式：0u 相量形式（同频率的正弦量）：0U 第四章 正弦电流电路4.4 4.4 正弦电流电路中的电阻正弦电流电路中的电阻 在正弦电流电路中，无源元件除电阻外，还有电感和电容。从这里开始分别介绍它们在正弦电路中的情况。一
10、一 电压和电流的关系电压和电流的关系iu 关联参考方向下，电阻元件VCR为Riu 则电阻元件的电压为：()2 sin()ii tIt设电阻元件的正弦电流为：()()=2sin()=2 sin()iuu tRi tRItUt可得：iuRIU,iIIuUU第四章 正弦电流电路相量图IU于是可写成相量形式：iuRIUIRU或 及IGU波形及相量如图所示iutu i0 02T2T波形图iu电压、电流关联参考方向UI第四章 正弦电流电路二二 功率（平均功率、有功功率）功率（平均功率、有功功率）结论 相位频率相同；大小关系：；URI 相位关系：同相位。u i、URI 平均平均功率功率：瞬时功率在一个周期内
11、的平均值。瞬时功率：)sin(2)sin(2)()()(tItUtitutp)2cos1(tUI第四章 正弦电流电路注意注意：通常铭牌数据或测量的功率均指平均功率。平均功率平均功率：大写大写ttUITttpTPd)2cos1(1d)(1T0T0222GURURIUI单位:瓦（W）ppiutu,i0 0 P=UI2T2TP第四章 正弦电流电路4.5 4.5 电感元件电感元件 正弦电流电路中的电感正弦电流电路中的电感一一 线性电感元件线性电感元件电感元件：描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场 能量的性质。物理意义物理意义：iNiL线圈电感：线圈电感：电流通过一匝线圈产生 (磁通)电流通过 匝线圈产
12、生 (磁链)N N磁链单位：韦伯（Wb）电流单位：安培（A）电感单位：亨利（H）u+-i第四章 正弦电流电路线性电感线性电感：L为常数；非线性电感：L不为常数二二 电感元件的电压电流关系电感元件的电压电流关系 根据电磁感应定律，感应电动势的量值等于磁链的变化率，即 uiLetiLtedddd u+-ie+-由感应电动势得电压，当取电压参考方向与磁链参考方向符合右螺旋法则时，即 和 参考方向均相同，如图所示，则有 eu、itiLudd电感两端的电压与通过该电感中电流的变化率成正比。第四章 正弦电流电路三三 电感元件的磁场能量电感元件的磁场能量 在电压和电流关联参考方向下，电感元件吸收功率为 dd
13、ipuiLit当电流由0增大到 时，电感元件储存的磁场能量为 i2021dddLittiLiWi能量单位：焦耳（J）电流单位：安培（A）电感单位：亨利（H）结论：电感元件是一种储能元件，同时又是一种无源元件。磁场能量只与最终电流值有关，与电流建立过程无关。绝对值增加时，电感元件吸收为磁场能量。绝对值减小时，电感元件释放磁场能量。ii第四章 正弦电流电路四四 电压和电流的相量关系电压和电流的相量关系 关联参考方向下，电感元件电压电流关系为则电感元件的电压为：()2 sin()ii tIt设电感元件的正弦电流为：比较上述式子，可得：,90uiULI iIIuUUtiLudd)90sin(2)sin
14、(2dd)(iitLItItLtu)sin(2utU)90(iLIU第四章 正弦电流电路于是可写成相量形式：(90)uLiUX IjjLULIX I或 电压超前电流90电感电感L L 具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路短路。感抗感抗：IUfLLXL2SI单位：欧姆（）讨论讨论fLXL 2交流：fXL第四章 正弦电流电路相量图IU波形及相量如图所示电压、电流关联参考方向uiLIULj五五 功率功率设：)90sin(2)sin(2tUutIi 波形图0 0iuu i2T2T t4T 第四章 正弦电流电路 平均平均功率功率 瞬时功率()()()sin(90)s
15、in()p tu t i t2Ut2Itsin(2)UItL是非耗能元件TT0011()dsin(2)d0Pp t tUIt tTT 分析分析：瞬时功率设：)90sin(2)sin(2tUutIi()()()sin(2)p tu t i tUIt则：第四章 正弦电流电路结论结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。电感元件是储能元件。可逆的能量可逆的能量转换过程转换过程储能 放能 储能放能p 0p 0iu+-i+-uu+-ii+-up 00 0iu t ppiu,4T第四章 正弦电流电路无功功率反映了电感元件与外部交换能量的规模。无功功率 ：瞬时功率的最大值，即QLLXUXI
16、UIQ22SI单位：乏（var）例：一个0.8H的电感元件接到电压为V)120314sin(2220)(ttu的电源上，（1）求电感中的电流和无功功率；（2）电源频率改为150HZ，电压有效值不变，电感电流和无功功率各为多少？解：（1）电压相量，感抗分别为 第四章 正弦电流电路(314 0.8)251LXLV120220U故电流为 及 A1500.876A251j120220jLXUI（2）电源频率改变为原来的3倍，因此，有 无功功率为 var7.192var)876.0220(UIQ3753LXL故电流为 及 10.876 150=0.292 150 A3I 无功功率为 64.2varQ 可
17、见，电感元件具有通低频阻高频的特性可见，电感元件具有通低频阻高频的特性)A150314sin(2876.0)(tti()0.292 2sin(942150 A)i tt第四章 正弦电流电路4.6 4.6 电容元件电容元件 正线电流电路中的电容正线电流电路中的电容一一 线性电容元件线性电容元件电容器：将两块金属极板用绝缘介质隔开，形成一个电容器。电容元件描述在这种两金属极板间的介质中所产生的电场和储存电场能量的性质。qCu电容定义为：电容定义为：电荷单位为库仑（C）电压单位为伏特（V）电容单位为法拉（F）i+-+q-quCC线性电容线性电容：C为常数；非线性电容：C不为常数第四章 正弦电流电路二
18、二 电容元件的串并联电容元件的串并联串联+-Cu1Cu2Cu2C1Cqqqq+-CuCqq 设电容 、相串联，如图。由于电荷守恒，有 2C1C2211,CquCquCC根据KVL，得 CqqCCuuuCCC)11(2121于是，可得 21111CCC 个电容串联等效电容一般式：nnkkCC111第四章 正弦电流电路并联+-CuCqq+-Cu2C1C1q1q2q2q 设电容 、相并联，如图。由电容定义可得 2C1C1212CqquCC而 12CquqqqC及于是，可得 个电容并联等效电容一般式：n1nkkCC212121CCuuCuCuqquqCCCCCC第四章 正弦电流电路三三 电容元件的电压
19、电流关系电容元件的电压电流关系 当电容器极板间电压变化时，极板上电荷随着改变，于是电容器电路中出现电流。如图参考方向下，电流为 注意注意：当电压、电流取关联参考方向下，上式成立；当电压、电流取非关联参考方向时，上式右边加负号。通过电容的电流与电容两极板间电压的变化率成正比。+-CuCqqituCtqiCdddd第四章 正弦电流电路四四 电容元件的电场能量电容元件的电场能量 在电压和电流关联参考方向下，电容元件吸收功率为 ddCCCupu iCut当电压由0增大到 时，电容元件储存的电场能量为 Cu20d1dd2CuCCCuWCutCut能量单位：焦耳（J）电压单位：伏特（V）电容单位：法拉（F
20、）结论：电容元件是一种储能元件，同时又是一种无源元件。电场能量只与最终电压值有关，与充电过程无关。绝对值增加时，电容元件吸收为电场能量。绝对值减小时，电容元件释放电场能量。CuCu第四章 正弦电流电路五五 电压和电流的相量关系电压和电流的相量关系 关联参考方向下，电容元件电压电流关系为则电容元件的电流为：()2sin()CCuutUt设电容元件的正弦电压为：比较上述式子，可得：,90CiuICUCCuUUddCuiCtd()2sin()2sin(90)dCuCCi tCUtCUtt2 sin()iIt(90)CuICUiII第四章 正弦电流电路于是可写成相量形式：电流超前电压90电容电容C 具
21、有隔直通交的作用具有隔直通交的作用直流：f=0,XC，电容C视为开路开路。容抗容抗：11CCXUIC2 fCSI单位：欧姆（）讨论讨论1CX2 fC交流：fXC1(90)iCuCIUX1jjCCCICUUX或 第四章 正弦电流电路波形及相量如图所示六六 功率功率设：2sin()2 sin(90)CCuUtiItICU相量图CiCu电压、电流关联参考方向1-jCICU波形图0 0i2T2T tiuC,Cu 4T第四章 正弦电流电路 平均平均功率功率 瞬时功率()()()2sin()2 sin(90)CCp tu t i tUtItsin(2)CU ItC是非耗能元件TT0011()dsin(2)
22、d0CPp t tU It tTT 分析分析：瞬时功率()()()sin(2)CCp tut i tU It则：设：2sin()2 sin(90)CCuUtiIt第四章 正弦电流电路结论结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。电容元件是储能元件。可逆的能量可逆的能量转换过程转换过程p 0p 0p 0iCu+-i+-CuCu+-i+-Cuip,Cui p0 0i tCu4T储能 放能 储能 放能第四章 正弦电流电路无功功率反映了电容元件与外部交换能量的规模。无功功率 ：瞬时功率的最大值，即Q22CCCCUQU II XXSI单位：乏（var）解解：选电压电流关联参考方向。电源
23、电压、容抗分别为 例：已知加在 电容两端的电压为10V，初相为 ，角频率为 。求流过电容的电流。当频率是原来的2倍，其它参数不变时，重求电容中电流。F260rad/s106V6010U6-6110.5102 10CXC 第四章 正弦电流电路根据电容电压、电流相量关系，得 A15020A60105.01j1jUXIC瞬时值表达式为 6o20 2sin(10150)Ait 可见，电容元件随着频率的增加，容抗减小。瞬时值表达式为 640 2sin(2 10150)Ait 当频率为原来的2倍时，容抗为原来的 ，即 2125.0CXA40I ，电流为原来的2倍，即 。第四章 正弦电流电路单一元件的电压电
24、流关系一览表单一元件的电压电流关系一览表u R iddiuLtddCuiCt相量关系U=LIU=RI有效值关系瞬时值关系CLR元件IRUjULI 1jCUIC 1CUIC第四章 正弦电流电路 UIUIUIiutu、i同相同相i超前超前 u 90uit单一元件电压电流的波形图和相量图单一元件电压电流的波形图和相量图相量图相量图波形图波形图RLCu超前超前i 90iut第四章 正弦电流电路单一元件的功率单一元件的功率CLR无功功率平均功率或有功功率瞬时功率元件tUIUIuip2costUIuip2sinsin2CCpu iU It22CCCCCUQU II XXLLLXUXIUIQ22RURIUI
25、P22第四章 正弦电流电路4.7 4.7 电阻、电感、电容串联电路电阻、电感、电容串联电路一一 电压和电流的关系电压和电流的关系RLCu+_i+_+_+_CuRuLu+_+_+_+_RURUILUCULj1jC设：)sin(2itIi根据KVL，电路电压瞬时值方程为 CLRuuuu 因电压均为与电流同频率的正弦量，故可用相量表示，即 CLRUUUU相量电路图第四章 正弦电流电路因为所以复阻抗 +_+_+_+_RURUILUCULj1jCIXICUIXILUIRUCLRCLjj1jjICILIRUj1jIZICLR)1j(欧姆定律相量形式（电压电流相量关系）)1j(CLRZ即IZU 称 为复阻抗
26、（）Z第四章 正弦电流电路二二 复阻抗复阻抗一方面：阻抗用电路参数表示 其中：另一方面：用端口电压电流表示 ZXRXXRCLRZCj)j()1j(LCLXXX电抗 电阻)arctan()arctan()(2222RXXRXXXRXRZCLCL ：阻抗角ZIUIUZiu)(其中：,uiZU I ：阻抗模Z =电压与电流有效值之比Z =电压与电流的相位差角第四章 正弦电流电路 结论)(jCLXXRIUZ22)(CLXXRIUZ)arctan(RXXCLiu 阻抗三角形 ZRCLXXXsincos)arctan(22ZXZRRXXRZ 阻抗 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。第四章 正弦电流电
27、路当XLXC时，0 表示 u 超前 i 电路呈感性当XLXC时，0 感性感性)CUCLUULU RU(0 容性容性)LILIICCIRILICIRIIU(=0 阻性阻性)LILIICCI(BL时，0 表示i 超前u 电路呈容性当BC BL时，C时，u超前i，当LC时，u滞后i，这样分析对吗？第四章 正弦电流电路4.11 4.11 一般正弦电流电路的计算一般正弦电流电路的计算相量法：用相量分析正弦电流电路的方法。归纳为：1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)。3、用相量法或相量图求解电路。4、将结果变换成要求的形式。IiUuXCXLRRCLjj 2、利用相量模型，根据两类约束的相量形式列
28、电路方程。分析直流电路的各种定理和计算方法完全适用于此。第四章 正弦电流电路例：图示电路电压源 ；阻抗V20220V,022021UU12j20,j10,Z=40ZZ 。试分别用网孔法和结点法求各支路电流并核算电路的复功率平衡情况。2I1I解：用网孔法求解，列方程为22211211)()(UIZZIZUIZIZZ代入数据并解得网孔电流A12922.1A2.1531.421II按图中参考方向，得各支路电流为12124.31-15.2 A1.2251 A,5.3522.8 AabcIIIIIII 第四章 正弦电流电路两个电压源产生的复功率分别为VA)j138230(VA5122.120220VA)
29、248j915(VA2.1531.40220*22*11baIUSIUS三个阻抗吸收的复功率分别为VA1145VA35.5045VA1 jVA22.101 j71VA3 jVA4.3102 j22222221cbbaaZISIZSIZS代入验算，可得12abSSSSS故电路的复功率平衡。2I1I第四章 正弦电流电路 用结点法求解，列结点d的方程为2I1IV8.22213.8V40110j120j110j2022020j0220111212211ZZZZUZUUd各支路电流分别为A8.2235.5A5122.1A2.1531.42211ZUIZUUIZUUIdcdbda第四章 正弦电流电路解：(
30、1)用电源等效变换求解，作等效变换如图(b)所示。例：图（a）所示电路中，已知1250 0 V,10 30 A,5,LUIX3CX ，求电压 。CU由图（b）电路可得：CUCU1150 0=1090 Ajj5LUIX其中：12(j/j)()CLCUXXII(j/j)(109010 30)A=75120 A53等效变换第四章 正弦电流电路150 0(j)(j3)V75Vjjj5j3CCLCUUXXX CU（2）用叠加定理求解 单独作用时1U 单独作用时2I2j(j)j5(j3)10 30 V7560 Vjjj5j3LCCLCXXUIXX 所以，两电源同时作用时75 7560 V75120 VCC
31、CUUU第四章 正弦电流电路12j(50 0j5 10 30)V50 60 VOCLUUX I将电容看作外电路，则等效阻抗为（3）用戴维宁定理求解CU0j=j5LZX开路电压为得等效电路图（c），故得电容电压0jj3 50 60=V75120 Vjj5j3COCCCX UUZXCU等效变换第四章 正弦电流电路（4）用诺顿定理求解CUCU1250 0(10 30)A 1030 Ajj5SCLUIIX等效阻抗为0j=j5LZX短路电流为得等效电路图（d），故得电容电压00(j)j5(j3)1030=V75120 Vjj5j3CSCCCZXIUZX 等效变换第四章 正弦电流电路解：负载吸收的功率为例
32、：图示电路中，电源内阻抗 ，负载阻抗为 000jXRZXRZj ，并且 和 均可调。试求 及 为何值时，负载获得最大功率？最大功率为多少？RXRX222200=(+)()OCRUPRIRRXX固定 不变，调节 ，由上式知当 时，值最大为RX0XXP2max20(+)OCRUPRR上式中 为变量，可知当 时，达到最大值为R0RRmaxP2max04OCUPR负载与电源匹配第四章 正弦电流电路结论：负载获得最大功率负载与电源间的共轭匹配例：一未知线圈 与已知电阻 串联接到115V电源上，如图所示，且知 ，试求线圈的电阻和电抗。1255.4V,80VUU132R 22jRX*000jZZRX条件：2
33、max04OCUPR最大功率：解：设 ，画相量图。根据相量图，并利用余弦定理得到：0 AII 第四章 正弦电流电路222222121211555.480cos=0.42422 55.4 80UUUUU2RU arccos0.42464.92280 64.9(19.6+j41.8)1.73 0UZI所以1155.40=0 A=1.73 0 A32UIR由于280 64.9 VU 线圈电阻为 ，电抗为 。2=19.6R241.8X 第四章 正弦电流电路解：电桥平衡时有：例：图示电路是一种测量线圈电阻和电感的交流电桥电路，设 、和 为已知，试求电桥平衡时的 和 。1R2R3R3L4R4L21II43
34、II33311)j(ILRIR44422)j(ILRIR故得144233(j)(j)R RLR RL相等的两个复数的实部相等，虚部相等，即1423R RR R1423RLRL所以4231RR RR4231LR LR第四章 正弦电流电路解：根据KCL和KVL列方程122III11 122UZ IZ I11122()UZZZI可解得即11122(1)(10j50)400j1000UZZZI要使 和 的相位差为 ，必须使上式复数实部为零，即 2I901U例：图示电路中，已知：，如果要求 和 的相位差为 ，试求实数 的值。12(10j50),(400j1000)ZZ2I901U10(1)4000所以41
