1、第1页，共24页。第十八章 电力系统静态稳定性 18-1 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 18-2 简单电力系统的静态特性 18-3 自动励磁调节器对静态特性的影响 18-4 电力系统静态稳定实际分析计算的概念第2页，共24页。18-1 18-1 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理运动稳定性的基本概念和小扰动法原理一、未受扰运动与受扰运动一、未受扰运动与受扰运动运动方程描述d(),()dttttX XF FX X未受扰运动未受扰运动:如果初值 ，所确定的解 所描述的运动为未受扰运动。()tX X0X X受扰运动：受扰运动：则一切其它的初值 所确定的解 所描述的运动为受扰运动。0X X()t
2、X X平衡状态下，系统状态的变化率为零，即eddt 0XXXXX X平衡状态就是代数方程F(t,Xe)=0 的解。对于线性定常系统，即F(t,X)=AX，若矩阵 A 非奇，系统只有一个平衡状态；若矩阵 A 奇异，则系统将有无限多个平衡状态。对于非线性系统，则可能有一个或多个平衡状态。系统的平衡状态是：静止(相对静止参照系的速度与加速度为零)或做匀速运动(相对匀速运动参照系的速度与加速度为零)平衡状态的讨论：高阶微分方程描述的系统也可以改写成状态方程的形式未受扰运动的稳定性必须通过受扰运动性质来判断，最关心平衡状态的稳定性。第3页，共24页。二、李雅普诺夫运动稳定性定义二、李雅普诺夫运动稳定性定
3、义 设 为系统 的一个平衡状态。以 为圆心，以 为半径的球域可以记为eX X(,)tXFXXFXeX XcecX-XX-X其中2ee1()niiixxX X-X X表示向量差的欧氏长度，亦称欧氏范数。李雅普诺夫稳定性的定义如下：（重点理解文字描述）如果初始状态在平衡点附近，对任意时刻，系统的运动状态都不偏离平衡点一定的范围，则平衡状态 Xe 是稳定的。例如，在平衡点周围等幅振荡回顾：考察系统的静态稳定性就是，系统在某个平衡状态Xe下，受到一个小的干扰，研究其稳定与否，故以下均讨论平衡状态Xe下的稳定性。见15-1节平衡状态平衡状态 Xe 是渐近稳定的是渐近稳定的：（运动向平衡点靠拢）平衡状态平
4、衡状态 Xe 是稳定的是稳定的：（运动不远离平衡点，但也不一定向平衡点靠拢）如果平衡状态 Xe 是稳定的，且t时，X(t)=Xe，则称平衡状态 Xe是渐近稳定的。例如，在平衡点周围衰减振荡平衡状态平衡状态 Xe 是不稳定的：是不稳定的：（运动只要有一个分量远离平衡点）如果初始状态在平衡点附近，系统的运动状态只要有一个分量是不稳定的，则平衡状态 Xe 是不稳定的。例如，有一个分量振荡发散：当物体加速度是不为零的有限值时，但其速度却可能趋于无穷大。第4页，共24页。李雅普诺夫稳定性的定义如下：（数学描述略讲）0e0(,)t X X-X X对于任给实数 ，存在实数 (,t0)，使所有满足 的初值 X
5、0 所确定的运动 X(t)，恒满足e()tX X-X X0tt则称系统的平衡状态 Xe 是稳定稳定的。如果 与 t0 无关，则是一致稳定一致稳定的。如果平衡状态 Xe 是稳定的。而且还有的初值 X0 所确定的运动 X(t)中，只要有一个运动，在 t t0 的某一时刻不满足elim()0ttX X-X X则称平衡状态 Xe 是渐近稳定渐近稳定的。如果对于某个实数，无论 取得多么小，在满足0eX-XX-Xe()tX X-X X则称平衡状态 Xe 是不稳定不稳定的。第5页，共24页。三、非线性系统的线性近似稳定性判断法李雅普诺夫稳定性判断原则李雅普诺夫稳定性判断原则：关于线性化系统与原非线性系统稳定
6、性的对应关系（1）若线性化方程A矩阵的所有特征值的实部均为负值，线性化方程的解是稳定的，则非线性系统也是稳定的。（2）若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正值的特征值，线性化方程的解是不稳定的，则非线性系统也是不稳定的。（3）若线性化方程A矩阵有零值或实部为零的特征值，则非线性系统的稳定性需要计及非线性部分R(X)才能判定。高阶线性常系数微分方程的齐次解形式为：设非线性定常系统dX/dt=F(X)状态方程右边不显含tdX/dt=AX四、用小扰动法分析计算电力系统静态稳定的步骤（1）列写系统的状态方程及相关代数方程。（2）分别对状态方程和代数方程线性化（3）消去方程中的非状态变量，得到线性化状态方
7、程。（4）根据A矩阵特征值分布，判断系统是否具有静态稳定性。由特征方程系数间接判断特征值实部的符号（例如用劳斯法、胡尔维茨法等）。1()eintiix ta 当特征根i全在复平面左半部分时，x()=0；否则，x()=。A实际上是一个雅可比矩阵，即A=dF(X)/dX 在F(Xe)=0处线性化状态方程为将X=Xe+X代入状态方程第6页，共24页。18-2 18-2 简单电力系统的静态稳定性简单电力系统的静态稳定性简单电力系统如图所示：发电机输出功率P0；原动机的功率为PT0=P0。假定：假定：原动机的功率 PT=PT0=P0=常数；发电机为隐极机，不计励磁调节作用和发电机各绕组的电磁暂态过程，即
8、作出发电机的功角特性如图所示。简单电力系统及其功角特性简单电力系统及其功角特性Eq=Eq0=常数qEqdsinE VPX发电机转子运动平衡状态为0N=第7页，共24页。发电机转子运动方程一、不计发电机组的阻尼作用一、不计发电机组的阻尼作用11NEq22J01/d()0/dffSffTF XX发电机电磁功率NNNTeTmJJddd()(sin)dtPPPPtTTq00eEqdsin()E VPPX在平衡点 附近将 PEq 展开成泰勒级数，并略去二次及以上各项得到：EqEq0EqEq0e()()()PPSPP 因为PT=PEq()NNEqNeJJddddtSPtTT 线性化状态方程令0N NNTm
9、0Jdddsin()dtPPtT 则以下解释简略P=PT Pe=Pe=SEq 于是得小扰动方程SEq称为整步功率系数在平衡状态平衡点线性化dX/dt F(Xe)+AX=AX A为雅可比矩阵 dF(X)/dX，即，即12d(,)dd(,)dftft 或第8页，共24页。写成矩阵形式NEqJd01d0ddtSTtNEqJ010STA解得由 特征方程 detAp1=0可得NEq2NEqJJ1det0pSSppTTNEq1,2JSpT 稳定判断SEq0有正实根，不稳定。纯虚根，等幅振荡，如有阻尼则衰减振荡，稳定。NEqeJST振荡频率fe=e ,功角与频率的变化频率远低于同步频率称之为低频振荡（0.2
10、2 Hz）静态稳定判据SEq0模拟传递函数框图模拟传递函数框图1pT0PNJT pPePEqS或者说，反馈环节必须为负反馈，系统稳定作模拟传递函数框图如下：第9页，共24页。D二、计及发电机组的阻尼作用二、计及发电机组的阻尼作用设发电机的阻尼功率 PD=D 阻尼功率的方向：若D0，当 N时，PD与Pe的方向相同（阻尼绕组产生的异步发电功率）。PD=D NNEqNJJddddtSDtTT NEqNJJd01dddtSDTTtNEqNJJ01SDTTANEq2NN1,2JJJ()22SDDpTTT 解得特征根P=PT Pe PD=SEq D 模拟传递函数框图模拟传递函数框图T0P1pNJT pPe
11、PEqS预先设想，两个反馈环节同时为负反馈，系统稳定，否则不稳定。但不能直接推广到更高阶系统第10页，共24页。P稳定条件图解稳定条件图解讨论讨论：阻尼对稳定性的影响 当 D 0时，稳定判据 SEq 0。阻尼系数D只影响受扰后状态量的衰减速度。当 SEq 0时，但 D2 时0，且D2 4 SEqTJ/时(根号内大于零)，特征值为两个负实数，将单调衰减到零，系统是稳定的。通常称之为过阻尼过阻尼。（1）D 0，即发电机组具有正阻尼作用的情况 当 SEq 0 时，特征值为正、负两个实数。系统是不稳定的，并且是非周期地失去稳定。（2）D 0时，是一个振幅不断增大的振荡；当 SEq0，稳定SEq0D0
12、or D Eq Vf/Rf if 表明励磁回路有反电势，则f(Eq)正在增加，即qeVGqeeddEKVETt 磁链增加的时间常数为 。定子电压较大且主要为有功负荷，故近似考虑定子绕组开路。d0TKV=XadKA/Rf为调节器的综合放大系数fAGfeddVKVVTt 即fAGfddeVKVVTt 因为励磁系统简化框图励磁系统简化框图RVe11 T pAKfVrefVGV机端电压励磁电压 Eqe Eq，将Eqe 代换Vf，调节过程中Vf/Rf if 第12页，共24页。以偏差量表示的发电机转子运动方程为NeJddddtPtT 2.发电机的电磁功率方程(及线性化)GqGqEqEqqE qE qqV
13、VGq()()()PPEPPEPPV ，功率方程线性化处理，便可求得电磁功率的增量e（全增量形式）。qq0qq000EqEqEqqEqqEqEq=q;EEEEEPSREPPSREqq0qq000E qE qE qqE qE qE qE q=q;EEEEPSREPPSRE GqGqGqGqGqGqGqGqGq0GqGq000VVVGqVVVVGq;VVVVPSRVPPSRV qeVGqeeqqeqd0ddddEKVETtEEETt 另有考虑强制电势与暂态电势变化，应用励磁调节器1阶加发电机3阶模型，计4阶状态方程。第13页，共24页。因为扰动是微小的，所以假定GqGqqeVqeGqeeqqeqd
14、0d0NeJEqEqqeE qE qqeVVGqed1dd11ddddd000EKEVtTTEEEtTTtPtTSREPSREPSRVP 整理后得GqEqEqVeGGqPPPPVV 第14页，共24页。3.消去代数方程及非状态变量，求状态方程写成矩阵形式GqGqqeVqeeeqqd0d0NJEqEqqE qE qGqVVd100000dd1100000dd0001000d000000dd000010000010000010EKEtTTEEtTTtTtSRERSVSReP消去非状态变量，得到计及励磁调节器的线性化小扰动方程GqGqGqVVE qqeVE qeeVeVqeqE qE qEqqd0d
15、0Eqd0EqNE qNE qJJ()d10dd10dd0001dd00dKSSEK RtTT RT REERSSEtTT RT RtRSTTt 4.用劳斯判据、胡尔维茨判据判断系统是否稳定。(略)第15页，共24页。4.稳定判据及其分析求出矩阵A后，由 f(p)=detAp1=0 求出特征方程。假定发电机为隐极机，计及：可知：于是得特征方程为EqdsinVRXE qdsinVRXGqVTLsinVRXEqdd0E qRTTRGqEqTLVdRXRX432012340pppp方程式的系数为0J e dN1TTT1JedN1T TTTL2JVe dqNd11EXTKTT SXGqTL4EqVVd
16、XSK SX3eEqdEqT ST S第16页，共24页。根据胡尔维茨判别法，所有特征值的实部为负值的条件，即保持系统稳定的条件为（1）特征方程所有的系数均大于零012340,0,0,0,0（2）胡尔维茨行列式及其主子式的值均大于零130244130240000000 13302413000 132020 第17页，共24页。由（1）可得两个与运行参数有关的稳定条件：由（2）得与运行参数相联系的稳定条件：自动励磁调节对静态稳定自动励磁调节对静态稳定条件的影响条件的影响GqTL4EqV Vd0XSK SX3e Eqd Eq0TSTS22312303140 GqGqGq2N eeEqdEqEqEq
17、dJedVVmaxVEqTLVEqedVEq1()()1TTSTSSSXT TTKKSSXSSTTSS将系数代入上式，并解出 ，得到VK式(18-40)、(18-41)、(18-42)三个为保持系统静态稳定必须同时满足的条件。(18-40)(18-41)(18-42)第18页，共24页。二、比例式调节器对静态稳定的影响（2）比例式励磁调节器若维持Eq=常数（3）具有比例式励磁调节器的发电机，不能在 SEq 0 的情况下稳定运行。（4）调节器放大系数的整定值应兼顾维持电压能力和提高稳定性（和扩 大稳定运行范围、增大稳定极限）两个方面。（1）无励磁调节，则Eq=常数a)扩大了稳定运行的范围(即SEq0，D0，D0；(3).SEq0，D0；(4).SEq0。4.简单电力系统系统静态稳定储备系数计算 _。第23页，共24页。第24页，共24页。
