1、1福安一中福安一中 20232023 届高三第一次检测届高三第一次检测数数学学试试卷卷第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 2|1Ax x ，|1By y，则AB（）AB1,1C 1,)D 1,1)2已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：其回归直线ybxa过点3,7的一个充要条件是（）A5mnB6mnC11mnD5m，6n 3每年的 6 月 6 日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有 45%的学生近视，而该校大约有 2
2、0%的学生每天操作电子产品超过 1h，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过 1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A716B38C516D144如图，点 P 在正方体1111ABCDABC D的面对角线1BC上运动（P 点异于B，1C点），则下列四个结论：三棱锥1AD PC的体积不变；1AP平面1ACD；1DPBC；平面1PDB 平面1ACD.其中正确结论的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个52021 年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数(1,2,3,4)iX i（单位：辆）均服从正态分布2600,N，若1500700(1,2,3,
3、4)3iPXi，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于 700 辆小汽车通过的概率为（）A89B827C1627D65816如图，在正三棱柱111ABCABC中，若122ABBB，则 C 到直线1AB的距离为（）x12345y4m9n112A155B105C153D3037设24ln41,ln 2eeabc，则,a b c的大小关系为（）AabcBbacCacbDcab8设函数 1eexfxx，1xg xeax，其中aR若对20,x，都1xR，使得不等式 12f xg x成立，则a的最大值为（）A0B1eC1De二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
4、。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列叙述中不正确的是（）A若,Ra b，则22bab aaba bB若,Ra b c，则“22abcb”的充要条件是“ac”C“1a”是“11a”的充分不必要条件D命题“000(0,),ln1xxx”的否定是“(0,),ln1xxx”10一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 4 个白球，6 个黑球，现从中任取 4 个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，随机变量Z为取出 4 个球的总得分
5、，则下列结论中正确的是（）A112P X B4XYC E XE YD 285E Z 11如图，四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，SA平面,ABCD SAAB，O，P 分别是,AC SC的中点，M 是棱 SD 上的动点，则下列选项正确的是（）AOMPAB存在点 M，使/OM平面 SBCC存在点 M，使直线 OM 与 AB 所成的角为 30D点 M 到平面 ABCD 与平面 SAB 的距离和为定值12已知函数 e1xfxx，1 lng xxx，若 120f xg x，则21xx可取（）A1B 2CeD2e3第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
6、。13若命题“xR，23210 xax”是真命题，则实数a的取值范围是_14甲乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中 1 次，则乙命中目标的概率为_.15已知正四面体 ABCD 的棱长均为 2，则1122ABBCBD _16 已知1,0()ln,0 xxf xxexxm x，若()f x图象上存在关于原点对称的点，则 m 的取值范围是_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17本题 10 分已知集合U为全体实数集，|1Mx x 或6x，131Nx axa.(1)若3a，求()UMN；
7、(2)若NM，求实数a的取值范围.18本题 12 分根据统计，某蔬菜亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量 x（千克）之间对应数据的散点图如图所示.(1)求相关系数 r（精确到 0.001）；(2)建立 y 关于 x 的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为 9 千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克？参考公式：对于一组数据(,)(1,2,3,)iix yin，相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，线性回归方程ybxa中，121niiiniixxyybxx，aybx；参考数据：51()()4,52.236.iiixxyy419本
8、题 12 分设函数322()2f xxaxa x，aR.（）讨论函数()f x的单调性；（）若函数()f x在1x 处有极值且0a，当函数()()5g xf xk恰有三个零点时，求实数k的取值范围.20本题 12 分如图，C 是以AB为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，平面PAC 平面,ABCPAC为正三角形，E，F 分别是,PC PB上的动点.(1)求证：BCAE；(2)若 E，F 分别是,PC PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为32，记平面AEF与平面ABC的交线为直线 l，点 Q为直线 l 上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.21本题 12 分为落实立德树人根本
9、任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的 12 名队员来自 3 个不同校区，三个校区的队员人数分别是 3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行 11 场比赛（每场比赛都采取 5 局 3 胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积 3 分，失败的队员积 0 分；而在比赛中以3:2取胜的队员积 2 分，失败的队员的队员积 1 分.已知第 10 轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为01pp.（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第 10 轮比赛中，记张三3
10、:1取胜的概率为 fp.求出 fp的最大值点0p；若以0p作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望.22本题 12 分已知函数()elnxxf xaa(1)当1a 时，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)若对任意的,()0 x，总有()0f x 成立，试求正数a的最小值1福安一中福安一中 20232023 届高三第一次检测数学届高三第一次检测数学参参考考答答案案一、单选题一、单选题1B2C3A4C5D6D7D8C7、【详解】设ln()(0)xf xxx，则221ln1 ln()xxxxfxxx，当(0,e)x时，()0fx，则()f x为单调递增函数，当(e
11、,)x时，()0fx，则()f x为单调递减函数，所以max1()(e)ef xf，又222222eln4ln42(lnee2eee22ln2)af，1(e)ebf，1ln 2ln2(2)2cf，又2ln4ln2ln2(4)(2)442ff，2ee42，且()f x在(e,)上单调递减，所以2e(2)(4)2fff，所以bac.故选：D二、多选题二、多选题9AB10BD11ABD12CD10、【详解】由条件可知，袋子中有 6 黑 4 白，又共取出 4 个球，所以4XY，故 B 正确；X的取值为01,2,3,4，0446410C C150C210P X，1103464C C81C2180210P
12、 X，2246410C C902C210P X，3146410C C243C210P X，4046410C C14C210P X，可知 A 错；Y的取值为01,2,3,4，且04P YP X，13P YP X，22P YP X，31P YP X，40P YP X，则8018072482105E X，2401802460122105E Y，所以 E XE Y，故 C 错；Z的取值为4,5 6,7,8，且40P ZP X，51P ZP X，62P ZP X，73P ZP X，84P ZP X，所以 15 48 590 624 71 81176282102105E Z ，故 D 正确；故选：BD.1
13、1【详解】以A为坐标原点，,AB AD AS所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系（如图），设2SAAB，则0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,1,1,0,1,1,1ACBDSOP，由 M 是棱 SD 上的动点，设 0,2,02M，1,1,1,1,1,2APOM ，11 20AP OM ，APOM，故 A 正确；当M为SD的中点时，OM是SBD的中2位线，所以/OMSB，又OM 平面SBC，SB 平面SBC，所以/OM平面SBC，故 B 正确；2,0,0,1,1,2ABOM ，若存在点 M，使直线 OM 与 AB 所成的角为 30，则2213cos302112
14、AB OMABOM ，化简得23970，方程无解，故 C 错误；点 M 到平面 ABCD 的距离12d，点 M 与平面 SAB 的距离222AM ADdAD ，所以点 M 到平面 ABCD 与平面 SAB 的距离和为1222dd，是定值，故 D 正确；故选：ABD三、填空题三、填空题133,3140.625（也可以写成58）153161,)e四、解答题四、解答题17本题 10 分(1)当3a 时，48Nxx，-1 分而16UMxx，-3 分所以46UMNxx.-5 分(2)当131aa，即1a 时，N ，此时满足NM，-7 分当131aa，即1a 时，N ，则有311a 或16a，即0a 或5
15、a，又1a，所以5a，-9 分所以实数a的取值范围为,15,.-10 分18本题 12 分（1）由已知数据可得2345645x，-1 分2333435y，-2 分所以51()()(2)(1)(1)0001 02 14iiixxyy ，-3 分521()4101410iixx ，-4 分3521()100012iiyy，-5 分所以相关系数51552211()()2 50.894()()5iiiiiiixxyyrxxyy，-7 分(2)由于51521()()40.410()iiiiixxyybxx，-9 分30.441.4aybx，-10 分所以y关于x的线性回归方程为0.41.4yx，-11
16、分当9x 时，5y，所以西红柿亩产量的增加量约为 5 百千克-12 分19本题 12 分解：（）22323fxxaxaxaxa1 分令 0fx，解得3ax 或xa 2 分当0a 时，3aa，当,xa 和(,3a)时，0fx，()f x单调递增，当x(,3aa)时，0fx,()f x单调递减；3 分当0a 时，0fx恒成立，()f x在R上单调递增；4 分当0a 时，3aa，当x(,3a)和(,a)时，0fx，()f x单调递增，当x(,3aa)时，0fx,()f x单调递减；5 分综上所述：当0a 时，f x的单调递增区间为,a 和(,3a)，f x的单调递减区间为(,3aa)；当=0a时，(
17、)f x在R上单调递增，无减区间；当0a 时，f x的单调递增区间为(,3a)和(,a)，f x的单调递减区间为(,3aa)6 分（）因为函数 fx在1x 处有极值且0a 所以 21023000faaaa，解得3a 7 分经检验,3a 符合题意(注注:未检验未检验扣扣 1 分分)则 32392fxxxx，3330fxxx，1x 或3x 8 分由（）得 f x的单调递增区间为,31+和，单调递减区间为3,1所以 325f xf极大值，17f xf 极小值10 分4函数()+5g xf xk的零点恰有三个，等价于方程()=5f xk有三个根数形结合可知，7525k ，即755k 所以k的取值范围为
18、755k 12 分20本题 12 分(1)证明：因为 C 是以AB为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，所以BCAC，1 分又平面PAC 平面ABC，且平面PAC 平面,ABCAC BC平面ABC，所以BC 平面,PAC3 分又因为AE 平面PAC.所以BCAE4 分(2)由 E，F 分别是,PC PB的中点，连结,AE EF，所以BCEF，由（1）知BCAE，所以EFAE，所以在Rt AFE中，AFE就是异面直线AF与BC所成的角.5 分因为异面直线AF与BC所成角的正切值为32，所以3tan2AFE，即32AEEF6 分又EF 平面,AEF BC平面AEF，所以/BC平面AEF，又BC 平
19、面ABC，平面EFA平面ABCl，所以BCl所以在平面ABC中，过点 A 作BC的平行线即为直线 l.7 分以 C 为坐标原点，,CA CB所在直线分别为 x 轴，y 轴，过 C 且垂直于平面ABC的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC.8 分因为PAC为正三角形所以3AE，从而2EF 由已知 E，F 分别是,PC PB的中点，所以24BCEF则(2,0,0),(0,4,0),(1,0,3)ABP，所以1313,0,2,2222EF，所以33,0,(0,2,0)22 EAFE，9 分因为BCl，所以可设(2,0)Qt，平面AEF的一个法向量为(,)mx y z，则3302220 xzA
20、E mEF my ，取3z，得(1,0,3)m，10 分5又(1,3)PQt，则211|cos,|0,2|4 PQ mPQ mPQmt.11 分设直线PQ与平面AEF所成角为，则211sin0,24t.所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0,6.12分21本题 12 分（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是1111113445352124766C CC CC CpC；2 分（2）由题可知 2333131fpC pppp，3 分 2323 311334fpppppp，令 0fp，得34p，当30,4p时，0fp，fp在30,4上单调递增；当3,14p时，0fp，fp在3,14上单调
21、递减.5 分所以 fp的最大值点034p，6 分X的可能取值为 0，1，2，3.7 分333133133331301111444256P XpC ppC；3322224433()4271115142P XC ppC；22222244333()81211424415P XC pppC；322322333333()()418449 3641125P XppC ppC.10 分所以X的分布列为X0123P13256275128151218925611 分X的期望为13278118913230123256512512256512E X .12 分622本题 12 分(1)当1a 时，1()eln,()
22、exxf xx fxx，1 分则切线的斜率为(1)e 1f，2 分又(1)ef，3 分所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是e(e1)(1)yx，即(e1)10 xy4 分(2)11()eexxafxaxxxa5 分令1()(0,)xh xxexa，则()(1)0(0,)xh xxex，所以函数()h x在区间(0,)上为单调递增函数因为0a，所以1111111(0)0,ee10 aahhaaaaa，所以1(0)0hha，所以在区间(0,)上，存在唯一的实数010,xa，使得00h x，即0001e0 xh xxa 8 分所以当00 xx时，00fx，此时函数()f x单调递减；当0 xx时，00fx，此时函数()f x单调递增，所以函数()elnxxf xaa在0 xx处取得极小值，即最小值，即000min00()elnelnln0 xxxf xfxaaxaa9 分又由得，001exxa，所以001exax，所以00lnlnaxx 则由得，000012ln0fxxxx10 分令1()2lnxxxx，则212()10(0,)xxxx，所以函数()x在区间(0,)上为单调递减函数又1(1)2ln1 101，因此001x，所以001eexxa11 分由于0a，所以1ea，即所求实数 a 的最小值为1e12 分
