1、考研数学全程规划考研数学全程规划张乃岳张乃岳20132013年年1111月月5 5日日第1页，共73页。送给所有考生的两句话送给所有考生的两句话 一个人成功与否，不是看他付出了多少。而一个人成功与否，不是看他付出了多少。而是看他做对了多少。是看他做对了多少。(To do right things is more important than to do things right.)考研是一件非常确定的事情，半点偶然性都考研是一件非常确定的事情，半点偶然性都没有！没有！第2页，共73页。数学复习的三大层次 第一层次：昨夜西风凋碧树。独上高第一层次：昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。楼，望尽天
2、涯路。第二层次：衣带渐宽终不悔，为伊消第二层次：衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。得人憔悴。第三层次：众里寻他千百度，蓦然回第三层次：众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。首，那人却在，灯火阑珊处。第3页，共73页。数学复习的四大阶段 第一阶段（第一阶段（3月到月到6月）：系统学习数学，形成完月）：系统学习数学，形成完整的知识体系，做完书后习题。整的知识体系，做完书后习题。第二阶段（第二阶段（7月到月到10月）：研究笔记和真题，提月）：研究笔记和真题，提高数学解题速度和技巧高数学解题速度和技巧。第三阶段（第三阶段（11月到月到12月）：全真模拟月）：全真模拟。第四阶段（第四阶段（1月）
3、：最后冲刺。月）：最后冲刺。第4页，共73页。一、考研数学简介一、考研数学简介第5页，共73页。数学是部分理科、所有工科和经管类专业考研必考科目。考研数学满分150分，考试时间为180分钟。根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三。第6页，共73页。使用数学一的招生专业有：力学、物理、采矿、电气、机械、土木、测绘、电子科学与技术、信息与通信工程、计算机科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物
4、医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。第7页，共73页。使用数学二的招生专业有：轻工技术与工程、农业工程、林业工程、仪器科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。由招生单位自定用数学一或数学二的招生专业有：材料、化工、地质、环境等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业选用数学一，对数学要求较低的选用数学二。第8页，共73页。使用数学三的招生专业有：经济学门类的各一级学科，管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科，授管理学学位的管理科学与工程一级学科。数学一试卷内容及结构为：高等数学56%(82分)，线性代数22%(34分)，概率论与数理统计22%(34分)。数学二试卷内容
5、及结构为：高等数学78%(116分)，线性代数22%(34分)。第9页，共73页。数学三试卷内容及结构为：微积分56%(82分)，线性代数22%(34分)，概率论与数理统计22%(34分)。试卷题型结构为：单项选择题8小题，每题4分，共32分；填空题6小题，每题4分，共24分；解答题(包括证明题)9小题，共94分。第10页，共73页。数一和数三考查的内容广，而数二内容较少(不考三重积分、线面积分、级数、概率统计)。难度方面,2009年以前，数一 数三数二；2010年以后，数一 数二数三。近年来，数一数二数三共用题的比例较高，2013年达48分，其中绝大部分为线性代数。第11页，共73页。二、考
6、研数学试题的特点二、考研数学试题的特点第12页，共73页。考研数学要考查四种能力。一是基础知识,包括基本概念、基本理论、基本运算;二是简单的分析综合能力;三是考查数学理论在经济和理工学科中的运用;四是考查考生解题速度和解题的熟练程度。第13页，共73页。考研数学试题的出题原则和特点是：不偏不怪；注重基础；强调综合；突出能力。下面以一些试题为例简要介绍考研数学的特点。第14页，共73页。1.注重基本概念、基本方法和基本原理注重基本概念、基本方法和基本原理 考研数学中约有三分之一的试题直接考查考生对基本概念、基本方法和基本原理的掌握程度，主要分布在填空和选择题中。考研数学中的基本题有：第15页，共
7、73页。例例1 曲线 渐近线的条数为()例例2 设 为正整数，则 ()例例3 已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则满足()221xxyx 2111,xxnxf xeeen 0f 111sinnnnn211nnn第16页，共73页。例例4 设 为任意常数，则线性相关的向量组为()例例5 将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()123123400110,1,1,1cccc 123,c cc第17页，共73页。例例6 求极限 例例7 设函数y=y(x)由方程 确定，则 ()例例8 积分 ()例例9 由曲线 及直线y=x,y=4x在第一象限中所围图形面积为()1cossin4li
8、m tanxxxx21yxye 220 xd ydx2202xxx dx4yx第18页，共73页。2.强调题目的综合性强调题目的综合性 衡量一份试卷质量高低的标准之一就是其对主要知识点的覆盖率。考研数学比较强调知识点间的相互联系，一些题目具有较强的综合性。例例10(1)证明方程 为整数)在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为xn，证明 存在，并求此极限。11(nnxxxnlimnnx1第19页，共73页。3.突出能力的考查突出能力的考查 考研大纲明确指出考研数学要注意考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。第
9、20页，共73页。例例11(10分)证明不等式 例例12(10分)计算二重积分 其中D是由 及y轴所围区域。例11可根据单调性和极值证明，例12是常规的二重积分计算，从方法上讲并无太大难度。21lncos11112xxxxxx xDxye dxdy1,yxyx第21页，共73页。三、考研数学的复习三、考研数学的复习第22页，共73页。复习资料的选择复习资料的选择 (1)教材同济的高数(6版)、线代(5版)、浙大的概率(4版)的确是考研数学的黄金组合。另外，特别建议考数三的同学最好不要用“微积分”教材而改看同济的高数。第23页，共73页。(2)辅导全书有的书偏重技巧，有的书侧重基础。尽量选择选择
10、真题比较多的，对真题的解析比较充分的复习书来复习。真题为根！第24页，共73页。许多学生极易出现下列问题：不能持之以恒；眼高手低。第25页，共73页。四、一些解题技巧四、一些解题技巧第26页，共73页。技巧一览 利用无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第27页，共73页。技巧一览 利用无穷小量脱去极限的符号利用无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第28页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号
11、已知某个极限的值，求另外与之相关的值。已知条件中有一个较为复杂的极限 问题中求于这个极限中某些部分相关的函数或参数的值 一般不涉及无穷小量的阶比较的问题 一般在同一个极限过程中第29页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号 基本公式 00lim(),lim0 xxxxf xAf xA第30页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号 例1 3020sin6lim0,6limxxxxf xxf xx已知求的值第31页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号解：3033sin6lim0sin60sin6xxxf xxxxf xxxxf xx第32页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号 22300320
12、022066sin6limlim6 1 cos66sin6limlim31662lim363xxxxxf xxxxxxxxxxxx第33页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号例22lim10,xxxaxba b 已知，求常数的值。第34页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号解：2221lim011limxxxxaxbxxbaxxxxxbaxxx 且第35页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号222221111limlim11lim1lim1111lim21111xxxxxxxxxxxxxbxxxxxxxxxxx 第36页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号例3 3020sin6tanl
13、im06limxxxx fxxfxx已知，求第37页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号解：330323003333330sin6tansin6,lim0tansin666tansin6tanlimlim11666633!lim2386xxxxxx f xxxf xxxxxxxxxxxxo xxxo xx则原式=第38页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号例4 20()0sinlim20 xf xxfxxxxf设函数在点处连续，且满足，求。第39页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号解：20000sinlimsinlim2sinlim0lim101xxxxf xxxxxf xxxxf x
14、xf xf ，极限存在第40页，共73页。利用无穷小量脱去极限的符号 0020202002000lim01limsinlim2sin2,lim0sin211sin0limlim 2sin02lim2xxxxxxxf xffxf xxf xxxxf xxxxxf xxxxf xxfxxxxxfx第41页，共73页。技巧一览 利用无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第42页，共73页。Stolze定理的应用 Stolze定理 1、型的Stolze公式 1111xlimlimlimlimn
15、nnnnnnnnnnnnnnnyaRyyxxyyyxxx 设严格单调递增，且，若则第43页，共73页。Stolze定理的应用 Stolze定理 2、型的Stolze公式 001111x0lim0limlimlimnnnnnnnnnnnnnnnnyaRyyxxyyyxxx 设严格单调递减至，且，若则第44页，共73页。Stolze定理的应用例1 12lim0,limnnnnnaaAaaan如果数列有极限，求的值。第45页，共73页。Stolze定理的应用解：1212121limlim(1)limnnnnnnnaaanaaaaaannaA第46页，共73页。Stolze定理的应用例2111123l
16、imnnn求极限的值。第47页，共73页。Stolze定理的应用解：111123lim1111111123231lim(1)1lim0nnnnnnnnnn第48页，共73页。Stolze定理的应用例3101,1,1,2,lim1nnnnnnxxxxnnx设证明：第49页，共73页。Stolze定理的应用证明：21-1-111-1 1010 lim1-0-1limlimlim1111limlim 1-1111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxlllllnnnnxxxxxxxx 因为：严格单调递减有下界，因此收敛。令第50页，共73页。讲座纲要 利用无穷小量脱
17、去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第51页，共73页。Stirling公式的应用 极限中存在n!项时可以采用Stirling公式 Stirling公式12!2 01 ln!ln1nnnnnnnneennnn 特 别 地：第52页，共73页。Stirling公式的应用例1!limnnnn求极限的值第53页，共73页。Stirling公式的应用解：11ln(!)(ln1)(ln1)!limlimlim1limlimnnnnnnnnnnnnnneennneenne第54页，共73页。技巧一览 利用
18、无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法的处理方法 变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第55页，共73页。x的处理方法 x函数 ,13.23 4.64 772.53f xxnnxnnxx 当时表示不超过 的最大整数，如，第56页，共73页。x的处理方法 遇到x时的处理方法 00112 lim0;lim1xxxxxxx 第57页，共73页。x的处理方法例102limxxx 求极限第58页，共73页。x的处理方法解：021)022222122)0222lim2xxxxxxxxxxxxxx 利用两边夹定理，得第59页，共73页。技巧一览
19、利用无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式变限积分的完整公式 利用导数的定义解函数方程问题第60页，共73页。变限积分的完整公式 变限积分的简化公式 xxfxxxdf t dtfxxfxxdx如果连续，和可导，则有结论第61页，共73页。变限积分的完整公式例122001limsin1xxtdtxxt求极限的值第62页，共73页。变限积分的完整公式解：2222000222011limlimsin1 cos1lim22xxxxtxdttxxxxxxx第63页，共73页。变限积分的完整公式例22030sinlimxxtxtdtIx
20、求极限的值第64页，共73页。变限积分的完整公式 变限积分的完整公式 ,xxxxfx txxdfx t dtdxfx tdtfxxxfxxxx如果连续，和可导，则有结论第65页，共73页。变限积分的完整公式例2的解：2030202000sinsinlimsinsin2 sin2lim3sin2sin2sin2sin24 coslim62sin4 cos12lim1633xxxxxxxxxxxttdttxtdtIxtdttdtxxxxxxxxxxxxxx第66页，共73页。技巧一览 利用无穷小量脱去极限的符号 Stolze定理的应用 Stirling公式的应用 x的处理方法 变限积分的完整公式
21、利用导数的定义解函数方程问题利用导数的定义解函数方程问题第67页，共73页。利用导数的定义解函数方程问题 题目中要求未知函数，而且条件中有函数的连续性或可导性之类的说法时，可以考虑使用导数的定义来解决此类函数方程问题 导数的定义（简介）0000()()()limxf xxf xfxx 第68页，共73页。利用导数的定义解函数方程问题导数的定义（简介）0000()()limxxf xf xfxxx第69页，共73页。利用导数的定义解函数方程问题例1 0,f xfx yf xyf x fyf x 设实函数在，上连续，存在，且对任意的有，求函数第70页，共73页。利用导数的定义解函数方程问题解：0010,00,00001,xyfff xfxff xff xxf x fx令或如果那么如果那么第71页，共73页。利用导数的定义解函数方程问题解：00010limlim0 xxfxf xxf xf x fxf xf xxf xfxf xxxf xxf xfxff xxxfxf x ff xe 第72页，共73页。谢谢！Thanks！Contact Information Email: 第73页，共73页。
