1、Ch4 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 齐次线性方程组齐次线性方程组 非齐次线性方程组非齐次线性方程组1 齐次线性方程组齐次线性方程组设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21.Ax0 02211 nnxxx 一解的性质一解的性质（1 1）若若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解.证证明明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）
2、若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的解空间的解空间0 Ax基础解系的定义基础解系的定义如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0,21 Axth hh hh h;0,)1(21的解的解的一组线性无关的一组线性无关是
3、是 Axth hh hh h.,0)2(21出出线性表线性表的任一解都可由的任一解都可由tAxh hh hh h 二解的结构二解的结构ttkkkxh hh hh h 2211:通通解解基础解系就是解空间的一组基基础解系就是解空间的一组基.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk-线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 -00001001,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1,111 -nrnrrrnxxxbbb
4、b -nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn-nrrxxx21.,100,010,001 -nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入依次得依次得 rxx1,bbr -0011111,0102122 -rbb.bbrn,rrn,rn -1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn-.bb,rn,rrn,-1,bbr -212,bbr -111,下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn,-21 100,010,001由
5、于由于 个个 维向量维向量rn-rn-线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn-nrn,-21.,)1(21线性无关线性无关证明证明n rnnrr-h h2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn,-210 Axh h0 Ax,.,2)(21线性线性表示表示可由可由证明解空间的任一解都证明解空间的任一解都rn-.11方程组的一个解方程组的一个解为上述为上述设设Tnrrx ,rn的线性组合的线性组合再作再作-21.h h 下面来证明下面来证明 -0011111rrbb -0102122rrbb -1001rn,rrn,nbb rnnrr-
6、h h2211 nrrrcc 211,Ax的解的解都是方程都是方程与与由于由于0 h h 又等价于又等价于而而0 Ax -nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111 nrrrcc h h211 nrrr 211由由.c,crr 11方程组方程组,都是此方程组的解都是此方程组的解与与所以所以h h.h h 故故.rnnrr-2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.rn,-1说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基础解系解空间的基又称为方程组的基础解系.kkkxrnrn-2211若若 是是 的基础解系
7、，则的基础解系，则其通解为其通解为 rn,-210 Ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk-的全体解所的全体解所定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm-的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合元齐次线性方程组元齐次线性方程组,)(方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR,)(1221121kkkkkxrnnrARrnrnrnrn -为任意实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组求
8、齐次线性方程组 -0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 -A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换作初等行变换,变为行最简矩变为行最简矩阵，有阵，有A,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx .7475,7372432431xxxxxx 便得便得122 73 75 74 7,1001即 得 基 解 系础121212342 73 75 74 7,(,).1001Rxxccc cxx并由此得到通解 例例1515证证).()(ARAART 证
9、证明明.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA;0)(,0)(,0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 .0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组）（1 .21s2222212111212111 snsnsnnnnnnbxxxbxxxbxxx 112111saaa 222212saaa snnnaaa211 nbbb21 112111saaa 222212saaa snnnaaa
10、211 nbbbb21bxxxnn 2211线线性性表表示示可可由由向向量量向向量量）有有解解线线性性方方程程组组（nb ,121bAx )()(bArArbAx 有有解解 1.增广矩阵增广矩阵的的导导出出组组称称为为bAxAx 0是是则则的的解解是是若若2121,(1)h hh hh hh h-bAx的的解解0 Ax:2.解的性质解的性质是是则则的的解解是是的的解解是是若若h h h h ,0,(2)AxbAx的的解解bAx .11-h h rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnr
11、nkk-11 h h3 3解的结构解的结构非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=bAx=b的通解为的通解为例例 求解方程组求解方程组 -.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B -2132111311101111B,00000212100211011 -并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见,2)()(BRAR .212,2143421xxxxx ,042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 h h取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421
12、 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx 齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 -000010011111rn,rrrn,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A小结小结 -nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn-,bbr -0011111,bbr -0102122.bb,rn,rrn,rn -1001 故故,bb,bb,bbxxrn,rrn,rrr -12121111得得为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.nBRAR nBRAR .有无穷多解有无穷多解bAx BRAR.无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 非线性方程组解的情况非线性方程组解的情况
