1、高考数学第一轮专题复习之线性规划归纳小结【扫除盲点、集聚考点、打牢双基、浓缩精华扫除盲点、集聚考点、打牢双基、浓缩精华】平面区域【满足不等式满足不等式组的点组的点f(x,y)】线性约束区域线性约束区域(一次不等式组构成区域一次不等式组构成区域)非线性约束区域非线性约束区域(二次以上不等式组构成区域二次以上不等式组构成区域)目标函数【与约束区域有关与约束区域有关的的g(x,y)解析式解析式】1、线性目标函数、线性目标函数:2、非线性目标函数、非线性目标函数:2221210 xyxyyx azzaxbyyxbb 注:区域内的点称可行解,整个区域也称之为可行区域几何意义几何意义:Z为过约束区平行斜率
2、为为过约束区平行斜率为-2的直线在的直线在y轴上的截距；注意：轴上的截距；注意：Z前的符号前的符号(1)如如:z=2x+y或或y=z-2x;z=2x-y或或y=2x-z(/):(/)ybaybayb azzzxacxdcxd c (2)(2)如如或或变变形形m(x,y)几几何何意意义义:内内动动点点和和定定点点N N(a a,b b)的的约约束束区区斜斜率率范范围围(a,b)22:,:(,)0axbyczx yaxbycab (3 3)如如几几何何意意义义 区区域域内内动动点点到到直直线线的的距距离离2222:()()()()zxaybzxayb如如或或m(x,y)几几何何意意义义:内内动动点
3、点到到定定点点N(a,b)N(a,b)的的距距离离约约束束区区或或距距离离平平方方一、线性规划“知识点”浓缩图:,yzx(4)(4)如如约约束束区区域域点点到到原原点点斜斜率率范范围围一、线性规划“知识点”浓缩图目标函数与约束区域的区别与联系：目标函数的值取决于约束区域的目标函数的值取决于约束区域的（x,y)x,y)的值的值,这些点这些点(x,y)(x,y)称之为称之为可行解可行解!约束区的约束区的边缘或端点边缘或端点可行解称之为可行解称之为最优解最优解(最值最值)步骤步骤：（1 1）画约束区；（）画约束区；（2 2）标端点（边缘）；（）标端点（边缘）；（3 3）平移或转化计算）平移或转化计算
4、约束区域约束区域是不等式组构成的是不等式组构成的点集合点集合目标函数目标函数是由是由约束区域决定约束区域决定的的值值(可能有无数个可能有无数个)目标函数的可行解与最优解线性规划实际应用(最佳分配、最大利润或最小代价)三步曲:,;(,)x yf x y第第一一步步:(1 1)根根据据题题意意设设基基本本变变化化量量注注意意初初步步变变量量的的取取值值范范围围)(2 2)设设立立目目标标函函数数;建建立立z z=的的函函数数(如如果果不不能能确确定定,在在第第三三步步确确定定),)x y第第二二步步:翻翻译译列列表表法法:(1)(1)将将逐逐句句文文字字翻翻译译为为与与(有有关关的的不不等等式式
5、(2)(2)通通过过列列表表方方式式建建立立不不等等式式组组;(3);(3)注注意意不不要要漏漏列列错错列列及及大大小小关关系系第第三三步步:(根根据据列列表表列列出出目目标标函函数数)根根据据约约束束区区域域求求出出目目标标函函数数的的最最值值!二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)（一）有关约束区域题型（难点是含参数的区域）xyxaxy 101010例例题题:实实数数x,yx,y满满足足?A.;B.;C.;D.5123表表示示的的平平面面区区域域的的面面积积为为2,2,则则a a的的值值为为多多少少画画不不出出 x-y+1=0 x-y+1=0直直线线吗吗?,?,但但它它一一定定过过定定
6、点点(0,1)(0,1)a a求求出出ax-y+1=0ax-y+1=0与与x=1x=1交交点点坐坐标标(1,a+1);(1,a+1);s(a);a 111232（一）有关约束区域题型（难点是含参数的区域和二次曲线区域）二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)221403(xy)(xy)xyx 例例题题:动动点点坐坐标标(x x,y y)满满足足则则的的最最小小值值17510102A.;B.;C.;D.10101404040333(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xxx 或或无无解解,舍舍)画画出出约约束束区区并并标标出出端端点点坐坐标标22zxy;2222目目标标函函数数即即
7、动动点点到到原原点点的的距距离离平平方方,明明显显OA=3+1=10OA=3+1=102203xy?x 如如果果动动点点坐坐标标(x x,y y)满满足足你你会会做做吗吗 因因式式分分解解(x x+y y)(x x-y y)0 0（二）目标函数最值（最优解）题型（高考重点 ）4335251xy:xyx 例例题题 设设2zxy(1)(1)求求的的最最大大值值,最最小小值值;yzx(3 3)求求的的 取取 值值 范范 围围画画出出约约束束区区域域图图并并标标出出端端点点225解解(1)z=2x-yy=2x-z(1)z=2x-yy=2x-z(截截距距最最小小时时Z Z最最大大,截截距距最最大大时时Z
8、 Z最最小小)画画出出L:y=2xL:y=2x的的直直线线;平平移移至至C C点点(5,2)(5,2)时时截截距距最最小小Z Z最最大大z=10-2=8;Bz=10-2=8;B点点(1,)(1,)时时截截距距最最大大时时Z Z最最小小z=-20z=-202zyx (2 2)求求的的最最大大值值,最最小小值值;12yzx (4 4)求求的的 取取 值值 范范 围围22222255155yz,(x,y)xz;z 解解(3 3)表表 示示 区区 域域 点点到到 原原 点点的的 斜斜 率率 范范 围围;12yzx 解解(4 4)表表 示示 区区 域域 点点(x x,y y)到到 点点(2 2,-1 1
9、)斜斜 率率 范范 围围过过(2 2,-1 1)作作 x x轴轴 垂垂 线线 通通 过过 约约 束束 区区,有有 斜斜 率率 不不 存存 在在 的的 情情 况况21152()(C)因因 此此 z z过过 点点斜斜 率率221255解解(2)z=y-2xy=2x+z(2)z=y-2xy=2x+z(截截距距最最大大时时Z Z最最大大,截截距距最最小小时时Z Z最最小小)画画出出L:y=2xL:y=2x的的直直线线;平平移移B B点点(1,)(1,)时时截截距距最最大大时时Z Z最最大大z=z=至至C C点点(5,2)(5,2)时时截截距距最最小小Z Z最最小小z=2-10=-8;z=2-10=-8
10、;11212()(A)或或 z z过过 点点斜斜 率率二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)（二）目标函数最值（最优解）题型（高考重点 ）4335251xy:xyx 例例题题 设设2243z(x)(y)(5)(5)求求的的最最大大值值,最最小小值值;43z(,)解解(5)(5)的的几几何何意意义义是是的的点点到到区区域域距距离离的的最最大大值值与与最最小小值值B由由图图可可知知道道最最大大距距离离为为点点(4,3)(4,3)到到 点点的的距距离离(半半径径)最最小小距距离离为为点点(4,3)(4,3)到到直直线线x-4y+3=0 x-4y+3=0的的距距离离;计计算算(略略)112z|xy
11、|(6 6)求求的的最最小小值值;112z|xy|解解(6 6)的的几几何何意意义义是是区区内内动动点点到到直直线线x x+y y+1 1=0 0的的最最小小距距离离由由图图可可知知A A(1 1,1 1)点点到到直直线线距距离离为为最最小小1 11 113222|*|d d=二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)(三）带参数的目标函数最值（最优解）题型（提升）1103305390 xxyxyD,yaxya 例例题题:不不等等式式组组表表示示的的平平面面区区域域为为的的图图象象上上存存在在区区域域D D上上的的点点,则则实实数数 的的取取值值范范围围:A.(1,3;B.2,3;C.1,2;
12、:A.(1,3;B.2,3;C.1,2;D.3,+D.3,+第第一一步步画画出出约约束束区区并并标标出出端端点点坐坐标标A A(2 2,9 9),B B(3 3,8 8)23xyaaa 过过(2,9)9=(2,9)9=二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)D5x-3y+9=0 x+y-11=03x-y+3=0ABCxyaD 的的图图象象上上存存在在区区域域D D上上的的点点说说明明图图象象经经过过 区区xya 函函数数与与经经过过D D区区说说明明a a 1 1xxDya 经经过过B B点点不不能能确确定定是是否否为为最最小小a a 1 1时时y y=a a 均均通通过过 区区当当函函数数
13、与与经经过过A A点点时时a a取取得得最最大大值值，比比此此值值大大时时不不通通过过D D区区13a xyxyx,y 22084000例例题题:实实数数x,yx,y满满足足zabxy,(a,b)ab 0目目标标函函数数取取得得最最大大值值为为8 8时时,的的最最小小值值为为多多少少?08maxabxz,(ab),;zabx目目标标函函数数y=-8y=-y=-8y=-y=-abx+Z 的直线系的直线系,斜率为斜率为-ab084184zabx,ab*ab 当当 取取最最大大时时直直线线y=-y=-一一定定过过点点(1,4)(1,4)(因因为为k0,k0,过过(1,4)(1,4)点点直直线线在在y
14、 y轴轴上上的的截截距距为为最最大大)=-=-ababab*2 242ab 因因此此的的最最小小值值为为4 4(四）目标函数最值与其它知识综合运用(提升)二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)(四）目标函数最值与其它知识综合运用(提升)212x yxyx,OA OMy 高高考考真真题题:O:O为为原原点点坐坐标标,点点A(-1,1),M(,)A(-1,1),M(,)为为平平面面区区域域上上的的一一动动点点 则则的的取取值值范范围围是是_A.-1,0;B.0,1;C.0,2;d.-1,212121 1aOA,(,);bOM(x,y);a bxxyyxy 提提示示:坐坐标标坐坐标标:Zxyyx
15、z;:即即 目目标标函函数数第第一一步步 画画出出约约束束区区yx 直直线线经经过过区区域域最最底底点点时时时时截截距距最最小小z=0z=0经经过过最最高高点点时时截截距距最最大大z=2,z0,2z=2,z0,2二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)212yyx,zx 思思考考题题1 1:实实数数x x,y y满满足足求求的的最最大大值值与与最最小小值值两道思考题212xyxy 思思考考题题3 3:表表示示区区域域为为A A,B B区区域域关关于于直直线线3 3x x-4 4y y-9 9=0 0对对称称A A区区域域任任一一动动点点M M与与B
16、B区区域域任任一一动动点点B B,|A AB B|的的最最小小值值为为28124255A.;B.;C.;D.;B结结果果20330010 xyxy;zaxy(a)y 思思考考题题2 2:实实数数x x,y y满满足足仅仅在在(3 3,0 0)处处有有最最大大值值,则则a a的的取取值值范范围围是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _303,结结果果12a 结结果果 20102010广东真题广东真题：某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.
17、另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？（五）实际应用及解题方法(高考重点 )第一步（1）设定变量：分设x,y个单位的午餐、晚餐;x 0,y 0 (2)设定目标函数：花费为目标，午餐和晚餐为变量；求z=2.5x+4y的最小值第二步第二步 (1)逐句翻译：一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C翻译：翻译：x x单位午餐有单位午餐有：12x碳水化合物,6 x个单位蛋白质
18、+6 x个单位维生素C)一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.翻译：翻译：y y单位晚餐有单位晚餐有：8y碳水化合物,6 y个单位蛋白质+10 y个单位维生素C)该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C翻译翻译:碳水化合物:12x+8y64;蛋白质:6x+6y42;维生素C:6x+8y 54二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)第二步第二步 (2)列表构建不等式组午餐晚餐翻译结果属 性x0y 0 x 0且y 0化合物12x8y12x+8y64蛋白质6x6y6x+6y42维生素C6x10y6x+10
19、y54第三步第三步 根据约束区域（不等式组）求出目标函数最值128646642685400 xyxyxyxy 画画出出约约束束区区域域图图(略略)并并标标明明端端点点坐坐标标(2,5),(4,3)(2,5),(4,3)554284zzxyyx 平平行行于于目目标标函函数数并并过过约约束束区区域域端端点点截截距距为为最最小小的的即即为为最最优优解解(4,3);(4,3);此此时时z=22z=22元元即即x=4,y=3.x=4,y=3.（五）实际应用及解题方法(高考重点 )高考真题高考真题：某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有8吨。现按7吨，8吨和5吨的数量分别调运给甲、乙、丙三个商店。从A库
20、动货到甲、乙、丙店的运费分别为8元、6元、9元，从B库动货到甲、乙、丙店的运费分别为3元、4元、5元。问如何安排调运方案才能合两个仓库动货到到三个商店的总费用最少？分析分析：如何设变量(不明显但很重要）！设A库给甲商店x吨，给乙店y吨翻译：现按7吨，8吨和5吨的数量分别调运给甲、乙、丙三个商店A甲店x(费用8x),A乙店y(费用6y),A丙店12-x-y(费用9(12-x-y)B甲店7-x(费用3(7-X),B乙店(8-y)(费用4(8-y),B丙店(5-(12-x-y)(费用5(x+y-7)甲店收货费用乙店收货费用丙店收货费用A库发x8xy6y12-x-y9(12-x-y)B库发7-x3(7
21、-x)8-y4(8-y)5-(12-x-y)5(5-(12-x-y)目标函数目标函数：Z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(5-(12-x-y)=x-2y+126二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)（五）实际应用及解题方法(高考重点 )建立约束区不等式组；如果没有大小关系怎么办？建立约束区不等式组；如果没有大小关系怎么办？应用中变量和表达式应用中变量和表达式00,0071200870780125(12)0 xyxxyyxxyyxyxy画出约束区，标出端点画出约束区，标出端点目标函数目标函数：Z=x-2y+126112622zyx12yxA当直线平移至 点时,
22、截距最大,此时z最小(也可算出所有截距比较）z=110,(x=0,y=8);文字答案略。二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)（五）实际应用及解题方法(高考重点)二、线性规划经典题型(数形结合及转化思想)思考题思考题：有一批同规格的钢条,有两种切割方式:切成长度a的2根,长度b的3根;或者切成长度a的3根,长度b的1根.(1)现需要2根a长度与1根b长度的配成一套,按照两种切割方式进行切割应满足比例多少?(2)如果长度为a的至少需要50根,长度b的至少需要45根,问如何切割钢条最省?(取整数)提示提示：如何设x,y(第一种方式需x条钢条;第二种方式需y条钢条)结果结果:(1)1:4 (2)x12;y9
