1、3.4 3.4 向量空间向量空间3.4.13.4.1 向量空间的概念3.4.2 3.4.2 基、维数与坐标3.4.3 3.4.3 基变换与坐标变换3.4.13.4.1 向量空间的概念定义3.4.1 3.4.1 设V是数域P上的 n维向维向量的非空集合，如果量的非空集合，如果 V k P满足满足 VkV,则称集合V为数域P P上的上的向量空间。当P为实数域R时,称V为实向量空间,当P为复数域C时,称V为复向量空间。例例3.4.1 3.4.1 实数域R上n维向量的全体Rn是一个向量空间，niRaaaaRinn,2,1,|),(21显然(0,0,0)Rn,所以Rn非空；=(a1,a2,an)，=(b
2、1,b2,bn)Rn及任及任意实数意实数k，有，有 nnnRbababa),(2211nnRkakakak),(21故Rn,是一个向量空间。例例3.4.2 3.4.2 证明 （1）集合 niRaaaVin,3,2,|),0(21是一个向量空间；（2）集合 niRaaaVin,3,2,|),1(22不是一个向量空间。证证 （1）显然集合V1非空，对任意=(0,a2,an),=(0,b2,bn)V1及任意实数k，有122),0(Vbabann12),0(Vkakakn所以V1是一个向量空间。（2 2）因为对于集合V2中的任意两个向量=(1,a2,an),=(1,b2,bn)，+=(2,a2+b2,
3、an+bn)V2，所以V2不是一个向量空间。定义3.4.2 3.4.2 设V1，V2是数域P上的两个向量空间，如果V1V2，则称V1是V2的子空间。例例3.4.23.4.2中的集合V1是你维向量空间Rn的一个子空间；实数域上任何n维向量的集合构成的向量空间都是Rn的子空间。单独由一个零向量构成的集合0也是一个向量空间，称为零空间。在n维向量空间V中，零空间和空间V也是它的子空间，称为它的平凡子空间平凡子空间，除此之外，V的其他子空间称为它的非平非平凡子空间凡子空间。设1,2,m为一组n维向量，容易证明它的线性组合 miRkkkkVimm1,|2211是向量空间，称为由向量1,2,m生成的向量空
4、间，记为L(1,2,m)。例例3.4.3 3.4.3 如果向量组1,2,s与向量组1 2，r等价，则 L(1,2,s)=L(1 2，r)证 L(1,2,s)，则可由1,2,s线性表示出，又可由 1 2，r 线性表示出，所以 可由1 2，r 线性表示出，即 L(1 2，r)，因此L(1,2,s)L(1 2，r)同理可证 L(1 2，r)L(1,2,s)故 L(1,2,s)=L(1 2，r)3.4.2 3.4.2 基、维数与坐标定义3.4.2 3.4.2 设V是数域p上的向量空间，向量1,2,mV，如果 (1)1,2,m线性无关；(2)V中任一向量都能由1,2,m表示出，则称 1,2,m为空间V的
5、一组基（或基底），m称为向量空间V的维数，记dimVm为，并称V是数域p上的 m维向量空间。零空间的维数规定为零。注意，向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念。将向量空间V的基的定义与向量组的极大线性无关组的定义相比较，不难看出，若把向量空间V看作一个向量组，那么它的基就是 V的一个极大线性无关组，dimV就是V的秩。容易证明，若向量空间V的维数是m，那么V中任意 m个线性无关的向量都是V的一组基；对于向量空间V的任一子空间V1，dimV1dimV2。对于向量空间Rn，基本单位向量1,2,n就是它的一组基，有dimRn=n,则称Rn为n维实向量空间。在四维向量空间R4中，向量组1=
6、(0,0,0,1),2=(0,1,0,1),3=(-1,2,0,1),4=(1,0,2,1)线性无关，所以它们也是 R4的一组基。定义3.4.3 3.4.3 设1,2,m为向量空间V的一组基，V有mmxxx2211则称有序数组x1,x2,xm为向量在基1,2,m下的坐标。记为(x1,x2,xm)。由定理3.2.2,向量的表示也是唯一的，因此基下1,2,m下的坐标也是唯一的。例例3.4.4 3.4.4 设 1=(1,0,2),2=(1,0,1),3=(-1,2,0),证明1,2,3是向量空间R3的一组基，并求向量=(2,-3,5)在这组基下的坐标。证明证明 以向量1,2,3为列向量做矩阵 012
7、200111AA的行列式|A|20，所以1,2,3线性无关,因此它们是R3的一组基。把1,2,3代入，比较等式两端向量的对应分量，可得线性方程组 332211xxx设52322213321xxxxxx解之，得 于是向量在基1,2,3下的坐标为 23,4,29321xxx)23429(,3.4.3 3.4.3 基变换与坐标变换我们知道，向量空间V的基不是唯一的，V中向量在不同的基下的坐标一般是不同的。下面讨论V中不同的两组基之间的关系与向量在不同的基下的坐标之间的关系。设1,2,m与1 2，m是向量空间V的两组基,由基的定义，它们可以互相线性表出。用1,2,m表示1 2，m，则有 .,22112
8、222121212121111mmmmmmmmmmppppppppp记mmm2m12m22121m2111pppppppppP由矩阵的乘法 (1 2,m)=(1,2,m)P （3.4.1）称P为由基(1,2,m)到(1,2,m)的过渡矩阵，式(3.4.1)称为由基(1,2,m)到基(1 2,m)的基底变换公式。过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为=(k1,k2,km)T，于是 mmkkk2211)(m21,0)(m21P,这意味着1 2,m线性相关。前面我们已经指出，同一向量在不同基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之间的关系如何呢？定理3.4.13.4.1
9、设 1,2,m与1 2，m是向量空间V的两组基,由1,2,m到1 2，m的过渡矩阵为P，如果V中任意元素在这两组基下的坐标分别为(x1,x2,xm)T与(y1,y2,ym)T，则mmyyyPxxx2121mmxxxPyyy21121（3.4.2）（3.4.2）称为坐标变换公式。证 由题设 mmxxx2211)(m21,mxxx21mmyyy2211)(m21,myyy21由 )(m21,Pm),(21则 nnyyyP2121)(由向量在基1,2,m下坐标的唯一性,得 mmyyyPxxx2121mmxxxPyyy21121或 证毕。例3.4.4 3.4.4 已知R3中的二组基 T)1,2,1(1
10、T)3,3,2(2T)1,7,3(3；T)4,1,3(1T)1,2,5(2T)6,1,1(3。(1)求由基 1,2,3到1 2 3的过渡矩阵及坐标变换公式；(2)求向量21-2-3 在基1,2,3下的坐标；(3)求由基1-22+43在基1 2 3下的坐标。解 （1）取R3中的基 TTT)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321则)(321,)(321,131732321614121153),(),(321321于是614121153131732321)(1321)(3216141211531131255718)(32181249209417127)(32181249209417127P所以，由基 1,2,3到1 2 3的过渡矩阵为 499107263139418119131P由基1 2 3到1,2,3的过渡矩阵为 由此可得坐标变换公式321xxx81249209417127321yyy=（3.4.3）或321yyy49910726313941811913321xxx=(3.4.4)(2)由（3.4.3）式，向量21-2-3 在基1,2,3下的坐标为 321xxx81249209417127112121158(3)由基1-22+43在基1 2 3下的坐标为 321yyy4991072631394181191342186109156=
