1、第 7 章位位 移移 法法FpFP12345iBBBB NiFABBiB iisinu选择选择基本基本未知未知量量 iNiiiEAFuliisinusiniNiiiEAFlsinNiiPFF2siniiPiEAFl2sinPiiiFEAl物理条件几何条件平衡条件变形条件7-1 位移法的基本概念位移法的基本概念1、关于位移法的简例、关于位移法的简例NiFB1NF5NFiuiil,Ai 位移法的基本未知量位移法的基本未知量 是结构的独立结点位移（是结构的独立结点位移（B 结点的竖向位移）。结点的竖向位移）。位移法的位移法的基本方程基本方程 是用位移表示的是用位移表示的平衡方程平衡方程（B 结点的竖
2、向投影平衡结点的竖向投影平衡 方程式）。方程式）。第一步，第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。位移法的要点如下位移法的要点如下：240.255NNPFFF0.637PF aEA150.159NNPFFFFp12345Baaaa2a2sinPiiiFEAl2sinsiniiiNiPiiiEAlFFEAl将图中尺寸代入，设各杆将图中尺寸代入，设各杆 EA 相同，可得相同，可得30.319NPFF 建立基本方程的过程分两步：建立基本方程的过程分两步：第二步，第二步，再再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。把杆件集合
3、成结构，进行整体分析，得出基本方程。杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。iABM用位移法计算刚架，结点位移仍用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。是处于关键地位的未知量。AABCAB2、位移法计算刚架的基本思路、位移法计算刚架的基本思路位移法的基本作法：位移法的基本作法：先拆散，后组装。先拆散，后组装。FPqqAABMACFPA 把结构拆成杆件，进行杆件分析杆件在巳知端点位移和巳知荷载把结构拆成杆件，进行杆件分析杆件在巳知端点位移和巳知荷载作用下的计算。作用下的计算。把杆件组装成刚架，进行整体
4、分析利用刚架平衡条件，建立位移把杆件组装成刚架，进行整体分析利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量。法基本方程，解方程求出基本未知量。7-2 等截面杆件的刚度方程等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩一、由杆端位移求杆端弯矩 由杆端弯矩由杆端弯矩 MAB 和和 MBA 引起的引起的 A和和B。AMABMBA 如图示等截面杆件如图示等截面杆件AB，EI=常数。常数。已知端点已知端点A和和B的角位移分别的角位移分别A,B，两，两端垂直杆轴的相对位移为端垂直杆轴的相对位移为。拟求拟求杆端弯矩杆端弯矩MAB 和和MBA。BBMABMBAEIlAAB杆端力和杆端位移的正负规定：
5、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角杆端转角A,B，以顺时针为正。，以顺时针为正。杆端弯矩杆端弯矩 MAB 和和 MBA，对杆端以顺时对杆端以顺时针方向为正，对结点或支座以逆时针方针方向为正，对结点或支座以逆时针方向为正。向为正。FQABFFQBAF利用单位荷载法可求得利用单位荷载法可求得11212331136AABBAABBAlMMEIlMMEIMBA1MAB12133ABBAMMBMABMBAEIlAB以上两过程的叠加以上两过程的叠加lMiMiBAABA6131lMiMiBAABB3161 要要由杆端位移求杆端力由杆端位移求杆端力，变换，变换上面的式子可得：上面的式子可得：A1MBA利用单
6、位荷载法利用单位荷载法同理同理可求得可求得1136AABBAlMMEI设:ilEI1136AABBAMMii1163BABBAMMii 由于相对线位移由于相对线位移 引起的引起的 A和和 BABl)1(642624liiiMliiiMBABABAABMAB1ABBAQABMMFl)1(642624liiiMliiiMBABABAAB由平衡条件求杆端剪力由平衡条件求杆端剪力F FQAB QAB 和和F FQBA QBA：BMABMBAEIlAFQABFFQBAF26612ABiiilll 0,0BQABABBAMFlMM26612(2)QABQBAABiiiFFlll将上式写成将上式写成矩阵形式
7、：矩阵形式：26426246612ABABABQABiMiiliMiiliiiFlll(77)弯曲杆件刚度矩阵 刚度矩阵中的系数称为刚度矩阵中的系数称为刚度系数刚度系数，刚，刚度系数是只与杆件尺寸和材料性质有度系数是只与杆件尺寸和材料性质有关的常数，又称为关的常数，又称为形常数。形常数。AB用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11BCACXXXX22221211212111221133221EIllEI211263121EIllEICCl21BAlXEIlXEIllXEIlXEIl21213663lEIi liiiXliiiXBABA6426
8、2421AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程 远端为固定支座远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得 远端为固定铰支座远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得426(1)246ABABBAABMiiilMiiilMAB 远端为滑动支座远端为滑动支座因0,0BQABQBAFF代入（2）式可得Al2133(79)ABAMiillEIlEIMBAlEI4626ABABAAMiilMiil(78)(710)ABABAAMiMi A26612(2)QABQBAABiiiFFlll单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAFQAB=FQBA4i2i=1ABAB
9、1212lili 6li 6li6AB10li 3AB=13i023liAB=1i-i0li3单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。二、由荷载求固端弯矩和剪力二、由荷载求固端弯矩和剪力 单跨超静定杆在单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为称为固端弯矩和固端剪力固端弯矩和固端剪力，因为它们是只与常数有关的常数，又称为因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数载常数。P230表表7-1。qAB212qlABABlABABFP2lqFP2lq单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABFMBAFFQAB FFQB
10、A F212ql2ql2ql8PF l8PF l2PF2PF28ql058ql38ql316PF l01116PF516PF23ql26qlql026612FQABABQABiiiFFlll 642624FABABABFBAABBAiMiiMliMiiMl三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：AQABFQBAFEIlMBAMABqBMBAAQABFQBAFFQABFFQBAFqEIFABMFBAMEIMAB426(1)246ABABBAABMiiilMiiil26612(2)QABQBAABiiiFFlll将两过程的叠加将两
11、过程的叠加引用前述的刚度方程：引用前述的刚度方程：0FFFABBAQABQABMMFFl B（转角位移方程）（转角位移方程）两端为固定的杆件两端为固定的杆件233FQABAQABiiFFll 33FABAABiMiMl 一端固定另一端铰支的杆件：一端固定另一端铰支的杆件：QABF增加荷载增加荷载共同作用共同作用，叠加可得：，叠加可得：引用前述的刚度方程：引用前述的刚度方程：0FFABQABQABMFFl lEIAqMABQBAF33(79)ABAMiil233QABQBAAiiFFll 一端固定另一端滑动支承的杆件：一端固定另一端滑动支承的杆件：lEIAQABFqMBAMABFABAABFBA
12、ABAMiMMiM 如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。称为无侧移刚架。MBAMAB1、基本未知量基本未知量B2、固端弯矩固端弯矩2061588FPBAF lMkN m15FABMkN m 298FBCqlMkN m 3、列杆端转角位移方程列杆端转角位移方程152BABiM154BBAiM93BBCiM6EIi 设设:4、位移法基本方程（平衡条件）位移法基本方程（平衡条件）33FBCBBCiMiMl FP=20kNq=2kN/mC3m3m6mABEIEI qBFPEIBMBCBBMBAMBC0B
13、M0BABCMM415390BBii67Bi 3.21mkNiiMAB72.1615762mkNiiMBA57.1115764mkNiiMBC57.1197635 5、各杆端弯矩及弯矩图、各杆端弯矩及弯矩图M图（图（kN m）位移法的基本作法：先拆散，后组装。位移法的基本作法：先拆散，后组装。组装的原则：组装的原则：在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。16.72 15.853011.579例例7-1、试用位移法分析图示刚架。试用位移法分析图示刚架。
14、（1）基本未知量基本未知量 B、C（2）杆端弯矩杆端弯矩Mi j2220 44088FBAqlMkNm241.712FBCqlMkNm 41.7FCBMkNm计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI 0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43,1,1CFBECDBCiiii3340FBAABBBABMiM7.4124CBBCM7.4124BCCBMCCDM34m4m5m4 m2 mABCDFE4I05I04I03I03I0q=20 kN/mBBBEM3434BBEBM5.1432CCCFM2214CCFCM21233403 1.154043.54241.74 1.1524.8941.7
15、46.9BAABBBABBCBCMimkN mMkN m (4)解方程解方程1.154.89BC(相对值相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图杆端弯矩及弯矩图343.454149.82BEBCFCMkN mMkN m AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图图(kNm)(3)(3)位移法方程位移法方程0000CFCDCBCBEBCBABMMMMMMMM07.419207.1210CBCB小小 结结1 1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3
16、 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。外力矩。ABCDqqPMMMCBMCD1、基本未知量的选取、基本未知量的选取7-4 有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算 基本未知量中，包括结点线位移（基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移座的侧移不作为基本未知量）。不作为基本未知量）。杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。刚
17、架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。计算的思路与无计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容：结构独立线位移：结构独立线位移：为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：结点角位移数：结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。忽略轴向力产生的轴向变形忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；变形后的曲杆与原直杆等长；变形后的曲杆长度与其弦等长。变形后
18、的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。ABCD如何确定结构的独立线位移如何确定结构的独立线位移?用观察的方法判定：用观察的方法判定：用几何构造分析的方法确定：用几何构造分析的方法确定：CD21 将结构中所有将结构中所有刚结点和固定支座刚结点和固定支座，代之以，代之以铰结点和铰支座铰结点和铰支座，分析新体系，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，联系的几何不变体系，所需增加的链杆数所需增加的链杆
19、数，即为原结构位移法计算时的，即为原结构位移法计算时的线位线位移数移数。2、基本方程的建立、基本方程的建立用位移法分析图示刚架：用位移法分析图示刚架：解：解：基本未知量基本未知量 B、。单元分析：单元分析：由转角位移方程由转角位移方程263 4221.54412ABBBiMiii 3(2)6BCBBMii263 4441.54412BABBiMiii30.754DCiMi q=3kN/mBBq=3kN/m8m4mii2iABCDBBCMBCFQABFQBAMBAMABFQCDFQDCMDC642FABABABiMiiMlB0BM0(1)BABCMMa101.540(1)Bii 位移法方程：位移
20、法方程：MBCMBAFQBAFQCDBC0 xF0(2)QBAQCDFFa 63.75240(2)Bii 如何求杆端剪力如何求杆端剪力?q=3kN/mFQABFQBAMBAMAB0ABBAQABQABMMFFl 求剪力的通用公式：求剪力的通用公式：63341.50.75642BQBABiiFii 21.54ABBMii 41.54BABMii 0.75DCMi 0.750.18754QCDiFi 1.50.93756(0)QBAQCDBFFii qQABFQBAFMBAMABEIl0QABQABQABFFFMBAMABq简支杆上荷载作用的剪力简支杆上荷载作用的剪力0QABF0QBAFQABFQ
21、BAF杆端弯矩作用的剪力杆端弯矩作用的剪力0ABBAQABMMFl 63.75240(2)Bii 解位移法方程：解位移法方程：101.540(1)BiiiiB58.7737.0 求杆端弯矩，作弯矩图。求杆端弯矩，作弯矩图。=-13.896 kNmMBA=-4.422 kNmMBC=4.422 kNmMDC=-5.685 kNmABCD13.8964.4224.4225.685M图（图（kNm）ABCD1.420.553FQ图（图（kN）21.54ABBMii0.7377.5821.54iiii0ABBAQABQABMMFFl 求杆端剪力，作剪力图。求杆端剪力，作剪力图。13.94.423442
22、 4.5861.42QBAFkN 4.58610.58kN5.68501.424QCDFkN 10.581.421.4201.50QBAQDCxFFqh23QDCiFh2631.508iqhqhh 3516qhi 2338QBAiFqhh 3223351716816FABABiiqhqhqhMMhhi 231516CDiqhMh 练习练习1 1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。单元分析：单元分析：33FABAABiMiMl 2338FABABiiqhMMhh 3CDiMh 位移法方程及求解：位移法方程及求解：BDFQBAFQDCF=1.5qhqF=
23、1.5qh0ABBAQABQABMMFFl 求剪力的通用公式：求剪力的通用公式：ABCD1iiih 求杆端弯矩，作弯矩图。求杆端弯矩，作弯矩图。AC21716qh21516qh解：解：基本未知量：基本未知量：例例7-27-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。各柱的杆端弯矩和剪力：各柱的杆端弯矩和剪力：312222212333()PPFFiiiihhhh FPFQABFQCDFQEF 位移法方程位移法方程12300PQQQxFFFF解：解：基本未知量：基本未知量：111EIih222EIih333EIih113,BAMih 各柱的线刚度：223,DC
24、Mih 333FEMih 1213,QABFih 2223,QCDFih 3233QEFFih 3122221233()0PiiiFhhh ACEh1h2h3I1I2I3ACEBDFF P23PFih 结点荷载结点荷载FP 作为各柱总剪力，按各柱作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各柱，得各的侧移刚度的比例分配给各柱，得各柱剪力，即可作出弯矩图。柱剪力，即可作出弯矩图。杆端弯矩和剪力：杆端弯矩和剪力：112,PBAiFhMih 222,PDCiFhMih 332PFEiFhMih 113,BAMih 1212,PQABiFhFih 2222,PQCDiFhFih 3232PQEFiFh
25、Fih 1213,QABFih 根据杆端弯矩作根据杆端弯矩作M图。图。讨论：讨论：FPM图图 各柱柱顶剪力 与 (称为排架柱的侧移刚度)成正比。根据这一性质，可用下述方法求此排架的内力：2hQF剪力分配法剪力分配法MBAMDCMFE322410248iqhqhhi 00QBAQDCxFF212QDCiFh21212QBAiFqhh 练习练习2 2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。单元分析：单元分析：426FABABABMiiiMl2612ABqhMih 6CDDCMiMh 位移法方程及求解：位移法方程及求解：FQBAFQDC0ABBAQABQABMMFFl
26、 求剪力的通用公式：求剪力的通用公式：解：解：基本未知量：基本未知量：ABCD1iiihqBD2612BAqhMih 25624ABABMiMqhh 21624BABAMiMqhh 求杆端弯矩，作弯矩图。求杆端弯矩，作弯矩图。ABCD2524qh218qh218qh2124qh218qh例例7-3.7-3.用位移法分析图示刚架用位移法分析图示刚架思路思路MBAMBCMCB0BM0CM基本未知量为：基本未知量为：ABCDEFqB()()C()BqBqBCCMCDMFCMCFMEBMBEBCC0BABCBEMMM0CBCDCFMMM0 xFQBEFQCF0QBEQCFFF基本未知量为：基本未知量为
27、：FQCAFQCECC()C(),FPABCDEFqCFQCEFQCAFQDBMCDMCECqCCMCAMACFQDBMBD0CM0CBCDCFMMM0 x0QCAQDBQCEFFF练习练习3 3：用位移法分析图示刚架。：用位移法分析图示刚架。(思路思路)FP7-5 位移法的基本体系位移法的基本体系超静定结构计算的总原则超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系，然欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。构完全一样。力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量 多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系
28、 静定结构；静定结构；基本方程基本方程 位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件）位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法试用位移法试用位移法的基本体系的基本体系分析图示刚架：分析图示刚架：解：解：基本未知量基本未知量 、。Bq=3kN/m8m4mii2iABCD位移法位移法的基本体系的基本体系ii2iABCDq=3kN/m122基本结构基本结构ii2iABCD 位移法位移法的基本
29、体系：的基本体系：在在刚结点刚结点B上附加约束上附加约束 控制结控制结点的转角，在点的转角，在结点结点 C上附加水平支杆上附加水平支杆约束约束 控制结点控制结点C的水平位移。的水平位移。基本体系增加了与基本未知量相基本体系增加了与基本未知量相应的人为应的人为约束，约束，从而使基本未知量由从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的位移。被动的位移变成受人工控制的位移。建立基本方程建立基本方程 基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁。加了人工控制的基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁。加了人工控制的约束之后约束之后原原结构被分隔成若干杆件结构被分隔成若干杆件(这些杆件各自单独变形，且已知其转角位移
30、方程这些杆件各自单独变形，且已知其转角位移方程)。基本体系基本体系ii2iABCDq=3kN/m122实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成：控制控制附加约束附加约束，使结点位移，使结点位移1 和和2 全部为零，这时基本结构处于锁住状全部为零，这时基本结构处于锁住状态，施加荷载后，可求出基本结构中的内力，同时附加约束上产生态，施加荷载后，可求出基本结构中的内力，同时附加约束上产生附加约束附加约束力力F1P 和和F2P。再控制再控制附加约束附加约束，使基本结构发生结点位移，使基本结构发生结点位移1 和和2，这时附加约束中的，这时附加约束中的约束力约束力F 1 和和F 2 将随之改变。
31、将随之改变。如果控制结点位移如果控制结点位移1 和和2 与原结构的实际结点与原结构的实际结点位移值相等，则约束力位移值相等，则约束力F 1 和和F 2。基本体系转化为原结构的条件基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载及结点位移基本结构在给定荷载及结点位移1 和和2 共同作用下，在附加约束中共同作用下，在附加约束中产生的总约束力产生的总约束力F 1 和和F 2 应等于零。应等于零。即建立位移法基本方程的条件：即建立位移法基本方程的条件：F1=0F2=0(7 15)F1PABCDABCDF11F12F11+F12+F1P=0 (1a)F21+F22+F2P=0 (2a)q=3kN/m基本体
32、系基本体系ii2iABCDq=3kN/m122利用利用叠加原理，把基本体系中的总约束力叠加原理，把基本体系中的总约束力F 1 和和F 2 分解为几种情况分别计算：分解为几种情况分别计算：F212F22F2P荷载单独作用荷载单独作用1=1单独作用单独作用2=1单独作用单独作用 叠加原理以上结果，则基本叠加原理以上结果，则基本体系中的总约束力体系中的总约束力F 1 和和F 2 为：为：ABCD12i4iili5.161.5iili75.033(2i)F11+F12+F1P=0 (1a)F21+F22+F2P=0 (2a)1iABCDi2i=1k11k21=1k12k22k2161.54ii04i6
33、ik111.5ik12k2243i163ik11=10ik21=-1.5ik12=-1.5iik161522F11F21ABCD2F12F22111122121122220(717)0PPkkkk 0M1M2F1PF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4 kNmF2P=-6 kN位移法方程：位移法方程：1212101.540151.56016iiii 12110.7377.580ii 绘制弯矩图绘制弯矩图4.4213.905.691.4M(kNm)PMMMM2211ABCD 计算结点位移计算结点位移q=3kN/mABCDBAM0.7377.5841.54iiii4.42kN
34、m4.42k11 1+k12 2+k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+k2n n+F2P=0 kn1 1+kn2 2+knn n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211具有具有n个独立结点位移的超静定结构：个独立结点位移的超静定结构：位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。刚度矩阵中的系数称为刚度系数：对称方阵主系数0iik 副系数000ijjikk ijk约束的地点产生反力的原因结构的结构的刚度矩阵刚度矩阵由第六章力法中讨论过的情况可知，作用于对称结构上由第
35、六章力法中讨论过的情况可知，作用于对称结构上的任意荷载，可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别的任意荷载，可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图是正对计算。在对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图是正对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，剪力图称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，剪力图是正对称的，而弯矩图、轴力图及变形图是反对称的。是正对称的，而弯矩图、轴力图及变形图是反对称的。利用这些规则，计算对称连续梁或对称刚架时，我们只利用这些规则，计算对称连续梁或对称刚架时，我们只需计算这些结构的半边结构就可以。这里对第九章讲的需计
36、算这些结构的半边结构就可以。这里对第九章讲的“半半刚架刚架”法做些相应的补充。法做些相应的补充。1、奇数跨、奇数跨图图7-22所示对称结构，在对称荷载所示对称结构，在对称荷载(图图a)和反对称荷载和反对称荷载(图图c)作用下，可取图作用下，可取图b、d所示半边结构进行计算。所示半边结构进行计算。(a)qCABDE图图7-22(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位移法计算时，图采用位移法计算时，图b有一个基本未知量，而图有一个基本未知量，而图d有两有两个基本未知量。个基本未知量。2、偶数跨、偶数跨图图7-23a所示对称结构在对称荷载作用下，可取图所示对称结构在对称荷载作用下
37、，可取图b所示所示半边结构进行计算。半边结构进行计算。(a)CDBAEFIq图图7-23(b)CBAq图图7-24a所示对称结构所示对称结构在反对称荷载作用下，在对在反对称荷载作用下，在对称轴上，柱称轴上，柱CD没有轴力和没有轴力和轴向位移，但是有弯矩和弯轴向位移，但是有弯矩和弯曲变形。曲变形。(a)CDBAEFI2P2P图图7-24(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图图7-24故图故图a可简化为图可简化为图b所示的所示的结构，中间两根分柱的抗弯刚结构，中间两根分柱的抗弯刚度为原柱的一半。成为奇数跨度为原柱的一半。成为奇数跨的结构，中间跨的跨度为零。的结构，中间跨的跨度为零。(c
38、)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时的半边结构可如图此时的半边结构可如图c、d所示，有三个基本未知量。所示，有三个基本未知量。中间柱中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和，即的总内力为两根分柱内力之和，即CD柱的总弯矩柱的总弯矩和总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍，总轴力为零。和总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍，总轴力为零。确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。确定下图中对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)CBPP(a)CBP基本未知量基本未知量3个个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量基本未知量3个个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量基
39、本未知量3个个(A、D、A)AD(d)PP(d)PCB基本未知量基本未知量4个个(A、D、A、D)AD(e)PPCB(e)PCB基本未知量基本未知量4个个(A、D、A、D)AD例例7-4 求作图求作图7-25a所示吊桥结构的内力图，吊杆的所示吊桥结构的内力图，吊杆的EA等等2201m于横梁于横梁EI的的。图图7-25(a)D ABCEIq=10kN/m20m20m20m20EIEA 15m解：解：(1)基本未知量基本未知量图图7-25a是一个受对称荷载的对称结构，在对称轴上的截是一个受对称荷载的对称结构，在对称轴上的截面面C没有转角。计算时取半边结构如图没有转角。计算时取半边结构如图7-25b
40、所示。所示。DABCq(b)取结点取结点B的转角的转角 和竖向位移和竖向位移 为基本未知量为基本未知量(参看图参看图7-25c)。DABC(c)C B 图图7-25(2)求固端力求固端力在结点在结点B加约束，固定转角加约束，固定转角 和和位移位移(图图7-25d)。DABCq(d)图图7-25查表查表7-1求出在荷载作用下的固端弯矩和剪力如下：求出在荷载作用下的固端弯矩和剪力如下：33331010322 BCmkNqlm16761010622 CBmkNqlm(3)求杆端力求杆端力先求由位移先求由位移 和和 所产生的杆端力。对有荷载作用的杆，所产生的杆端力。对有荷载作用的杆，再叠加上固端力，即
41、得杆端力如下：再叠加上固端力，即得杆端力如下：AB杆：杆：220620262EIEIliiMABABAB 1001010 BCkNqlQ0 CBQ 220620464EIEIliiMABABBA 322012206EIEIlMMQQBAABBAAB 杆杆BC：33310333 BCEIiM 16710167 CBEIiM 100 BCQ注意：因为注意：因为C端为滑动支承，端为滑动支承，B端有竖向线位移时，并不端有竖向线位移时，并不引起杆端弯矩。引起杆端弯矩。杆杆BD：当：当B端有竖向线位移端有竖向线位移 移至时移至时B 时时(图图7-25e)，杆，杆BD伸长伸长3/5。所以，链杆。所以，链杆B
42、D的轴力为的轴力为DB(e)B 53图图7-25 252053EI )53(2520)53(EIlEANBD(4)列位移法方程列位移法方程考虑结点考虑结点B的平衡的平衡(图图7-25f，其中，其中梁的轴力未画出梁的轴力未画出)：B(f)NBDMBCMBAQBAQBC00，BCBABMMM0，053 BCBABDQQNY将前面求出的杆端力代入上面两式，得将前面求出的杆端力代入上面两式，得01002012206)252053(5332 EIEIEI 0333102062042 EIEIEI 整理后，得整理后，得EI10000222.0015.0 EI333015.03.0 (5)解位移法方程解位移
43、法方程EI79400 EI5080 (6)求杆端力求杆端力将求得将求得、的代回第的代回第3步，得步，得mkNMAB682)79400(206)5080(1012 mkNMBA174)79400(206)5080(2042 kNQQBAAB8.42)79400(2012)5080(2063 mkNMBC174333)5080(101 mkNMCB675167)5080(101 kNQBC100 kNNBD2.95)79400(25003 (7)绘内力图绘内力图(图图7-26)图图7-26(a)DABC682174675174682M 图图(kNm)(b)DABC42.810010042.8Q 图
44、图(kN)超静定结构当支座产生已知位移超静定结构当支座产生已知位移(移动或转动移动或转动)时，结构中时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，以及作题步骤与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，例如由荷载作用产生的固端弯矩变为由已知位移作用产生的例如由荷载作用产生的固端弯矩变为由已知位移作用产生的“固端弯矩固端弯矩”。具体计算通过下面的例题说明。具体计算通过下面的例题说明。例例7-5 求作图求作图7-27a所示连续梁支座所示连续梁支座C下沉下沉 C时的弯矩图，设时的弯矩图
45、，设两杆的两杆的i相等。相等。解：解：(1)基本未知量为基本未知量为 B(2)求杆端弯矩求杆端弯矩(a)lliiABC C图图7-27iMBBA 3 liiMCBBC 33 因为没有荷载作用，只有支座因为没有荷载作用，只有支座C下沉下沉 C，上式中第二项就是，上式中第二项就是由已知下沉由已知下沉 C引起的引起的“固端弯矩固端弯矩”。(3)列位移法方程列位移法方程MMBCBA 0liiiCBB 0333 lCB 2 计算可得：计算可得：(4)计算杆端弯矩计算杆端弯矩lliMCCBA 5i.1)2(3lliliMCCCBC 5i.13)2(3(5)作弯矩图作弯矩图(图图7-27b)(b)ABCCl
46、i 5.1图图7-27温度改变时的计算，与支座产生位移时基本相同。但要温度改变时的计算，与支座产生位移时基本相同。但要注意一点：除了杆件内外温差使杆件弯曲而产生一部分注意一点：除了杆件内外温差使杆件弯曲而产生一部分“固固端弯矩端弯矩”外；杆件的轴向变形也会使结点产生已知位移，从外；杆件的轴向变形也会使结点产生已知位移，从而又产生另一部分而又产生另一部分“固端弯矩固端弯矩”。具体计算通过下面的例题。具体计算通过下面的例题说明。说明。例例7-6 当温度升高当温度升高T时，求图时，求图7-28各排架的弯矩。各横梁各排架的弯矩。各横梁截面尺寸相同，各立柱截面也相同，温度膨胀系数为截面尺寸相同，各立柱截
47、面也相同，温度膨胀系数为。(a)lllllDCH图图7-28(b)C图图7-28llllH解：解：图图7-28a为奇数跨情况，图为奇数跨情况，图7-28b为偶数跨情况。因为偶数跨情况。因为排架对称，荷载为排架对称，荷载(温度变化也是一种广义荷载温度变化也是一种广义荷载)也对称，因也对称，因此在对称轴上的此在对称轴上的C点没有转角和水平位移。温度升高点没有转角和水平位移。温度升高T时的时的变形如图中虚线所示。立柱伸长时，由于不受约束，故不产变形如图中虚线所示。立柱伸长时，由于不受约束，故不产生内力。横梁伸长时，使柱顶各点产生的水平位移为生内力。横梁伸长时，使柱顶各点产生的水平位移为TL 式中式中
48、L为结点到对称轴的距离。为结点到对称轴的距离。根据结点位移，可求柱底端弯矩如下：根据结点位移，可求柱底端弯矩如下：HTLiHiM 313 弯矩图在弯矩图在7-28中的右半部分画出。中的右半部分画出。计算结果表明，排架愈长，温度变化产生的内力也愈大。计算结果表明，排架愈长，温度变化产生的内力也愈大。所以当结构长度过大时，应设置温度缝，将结构分开，以减所以当结构长度过大时，应设置温度缝，将结构分开，以减小温度内力。小温度内力。例例7-7 求图求图7-29a所示刚架由所示刚架由于温度改变而产生的弯矩。于温度改变而产生的弯矩。图中所标温度为温度变化值，图中所标温度为温度变化值，各杆截面尺寸相同。各杆截
49、面尺寸相同。(a)BCFEDAt1=10t1=10t2=-30l=6ml=6mH=4m0.6m0.4m0.4m0.6mt2=-30图图7-29(b)BCDAt2=-30t1=10t2=-30t1=10图图7-29解：解：本题原有三个结点角位移和一个独立的结点线位移。本题原有三个结点角位移和一个独立的结点线位移。由于结构对称，温度也对称，因此可取半边结构计算由于结构对称，温度也对称，因此可取半边结构计算(图图7-29b)。这时只有一个基本未知量。这时只有一个基本未知量 B。在这里因为要考虑轴向。在这里因为要考虑轴向变形的影响，所以图变形的影响，所以图7-29b中中CD杆仍要画出。杆仍要画出。为了
50、求为了求“固端弯矩固端弯矩”，可将温度变化分为两部分：轴线，可将温度变化分为两部分：轴线平均温度变化平均温度变化t0(图图7-29c)和杆两侧温度差变化和杆两侧温度差变化 t(图图7-29d)。(c)BCDAt0=-10t0=-10t0=10 AB BC2210ttt (d)BCDA t=0 t=40 t=40 t=t1-t2杆轴线平均温度变化使杆长发生变化，但变化值为已知杆轴线平均温度变化使杆长发生变化，但变化值为已知值值(图图7-29c)：柱柱AB缩短缩短 t0H=40 柱柱CD伸长伸长 t0H=40 柱柱BC缩短缩短 t0l=60 这些长度变化使各杆端结点产生相对位移：这些长度变化使各杆
