1、第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第1页，共31页。一、曲线积分的概念一、曲线积分的概念本章要点本章要点二、第一类曲线积分的计算方法二、第一类曲线积分的计算方法第2页，共31页。1.柱面的面积柱面的面积一、第一类曲线积分的概念一、第一类曲线积分的概念.Ash 设设 是一张母线平行于是一张母线平行于 轴，准线为轴，准线为 平面上曲线平面上曲线的柱面的一部分，高度为的柱面的一部分，高度为求曲面的面积求曲面的面积.zxoyL,h x yx yL 分析分析 若若 是常量，则曲面面是常量，则曲面面积为曲线的长度与积为曲线的长度与 之积之积.即即:h,h x y,iiiM,h x yyOxzBA第
2、3页，共31页。(,),iiiiAhs 由此得到曲面面积的近似值由此得到曲面面积的近似值其中其中:s为曲线的弧长为曲线的弧长.若若 不是常量，则考虑用不是常量，则考虑用分割的方法求之分割的方法求之.,h x y 在曲线在曲线L上插入上插入 个分点个分点 在小弧在小弧段段 上取点上取点 并用并用 作为相应小柱面作为相应小柱面的高度，从而得到小柱面的面积的的高度，从而得到小柱面的面积的近似值近似值1iiMMn121,nM MM,ii,iih,iiiM,h x yyOxzBA第4页，共31页。01lim(,).niiiiAhs 即，曲面的面积可以表达为一个即，曲面的面积可以表达为一个和式的极限和式的
3、极限.1(,).niiiiAhs 以以 表示表示 个小弧段的最大长度，在上式取个小弧段的最大长度，在上式取 时的时的极限，则有极限，则有n0,iiiM,h x yyOxzBA第5页，共31页。2.曲线型构件的质量曲线型构件的质量.Ms 设一曲线型构件，在设一曲线型构件，在 平面上为曲线平面上为曲线 密度函数为密度函数为 求此曲线构件的质量求此曲线构件的质量.xoyL,x y 分析分析 如果如果 为常数，则质量为密度与弧长之为常数，则质量为密度与弧长之积，即积，即:,x y1iiMM若若 为变量，仍然考虑分割：在为变量，仍然考虑分割：在曲线上插入曲线上插入 个分点个分点在小弧段在小弧段 上取点上
4、取点,x yn121,nM MM,ii,ii xy1iMiMBA第6页，共31页。由此得到小弧段质量的近似值由此得到小弧段质量的近似值:1(,),niiiiMs 01lim(,).niiiiMs (,),iiiiMs 由此得到小弧段质量的近似值由此得到小弧段质量的近似值:以以 表示表示 个小弧段的最大长度，在上式取个小弧段的最大长度，在上式取 时的时的极限，则有极限，则有n0第7页，共31页。3.曲线积分的定义曲线积分的定义01,nAMMMB1(,)niiiifs 定义定义 设设 是是 平面内以平面内以 为端点的光滑曲线，函为端点的光滑曲线，函数数 在在 上有界上有界.在在 上任意插入一个点列
5、上任意插入一个点列Lxoy,A B(,)f x yLL把把 分成分成 个小段，设第个小段，设第 个小段的弧长为个小段的弧长为在上任取一点在上任取一点 作和作和1iiMM1iiMMLni,is,1,2,iiin 第8页，共31页。(,).Lf x y ds即：即：01(,)lim(,).niiiLif x y dsfs 记记 如果当如果当 时，和式的极限存在，时，和式的极限存在，则称此极限为数量值函数则称此极限为数量值函数 在曲线在曲线 上的积分，上的积分，记作记作1max,ii ns 0,f x yL第9页，共31页。注：注：1.此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的此类曲线积分又称为第一
6、类曲线积分或对弧长的曲线积分曲线积分:(,).Lf x y ds 4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计算公式得到算公式得到(,).LAh x y ds2.如果如果 是是 上的连续函数，则曲线积分一定存在；上的连续函数，则曲线积分一定存在；(,)f x yL3.若若 是闭曲线，则曲线积分一般表示为是闭曲线，则曲线积分一般表示为L第10页，共31页。而曲线型构件的质量为而曲线型构件的质量为(,)d.LMx ys5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质:(,)(,)dLf x yg x ys 有有
7、,R(,)d(,)d.LLf x ysg x ys第11页，共31页。12(,)d(,)d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys若曲线弧若曲线弧 由曲线弧由曲线弧 和和 连接而成的，则连接而成的，则L1L2L 由此得到，若由此得到，若 是分段光滑曲线，是分段光滑曲线，在在 上连上连续，则曲线积分存在续，则曲线积分存在.L(,)f x yL第12页，共31页。二、第一类曲线积分的计算方法二、第一类曲线积分的计算方法()(),()xx ttyy t(,)dLf x ys 设平面光滑曲线弧设平面光滑曲线弧 由参数方程由参数方程L给出，函数给出，函数 在在 上连续，则上连续，则(,)f
8、x yL22(),()()()df x ty txtytt第13页，共31页。下面给出公式下面给出公式推导过程推导过程:01,nAMMMB该点列对应于一列单调递增的参数值该点列对应于一列单调递增的参数值01.nttt由第一类曲线积分的定义由第一类曲线积分的定义01(,)lim(,).niiiLif x y dsfs 设参数设参数 由由 变至变至 时，时，上的点上的点 依点依点 到点到点在在 上从上从 到到 取点列取点列L,M x yA,BLABt第14页，共31页。122()(),iititsxtyt dt由积分中值定理，得由积分中值定理，得22()(),iiiisxyt其中，其中，11,ii
9、iiiittttt 因因,ii xy1iMiMBA取取 则则 ,iiiixy第15页，共31页。01(,)lim(,)niiiLif x y dsfs 而等式中的最后一式为函数而等式中的最后一式为函数22(),()()()f x ty txtyt在区间在区间 上的定积分上的定积分.而由于被积函数连续，故而由于被积函数连续，故,2201lim(),()()(),niiiiiif xyxyt第16页，共31页。积分存在，因而积分存在，因而(,)Lf x y ds特别地，若曲线由方程特别地，若曲线由方程()yy xaxb给出，则相应的曲线积分为给出，则相应的曲线积分为22(),()()().f x
10、ty txtyt dt2(,),()1.bLaf x y dsf x y xy dx第17页，共31页。若曲线由极坐标形式若曲线由极坐标形式 给出，则给出，则()()2222()cos,()sin,()cos()sin,()sin()cos,()(),xyxyxy 代入积分公式代入积分公式(1)，即有，即有(,)Lf x y ds22()cos,()sin.fd 第18页，共31页。若对空间分段光滑曲线若对空间分段光滑曲线 ,xx tyy ttzz t 是曲线上的连续函数，则是曲线上的连续函数，则,f x y z,f x y z ds222(),(),().f x ty t z txyz dt
11、第19页，共31页。例例1 求求 其中其中22,Lxyds(cossin):02.(sincos)xatttLtyattt 解解 (sinsincos)cos,(coscossin)sin,xattttattyattttatt 222232 ()(1)xyxyatt故，由积分公式，得故，由积分公式，得222332320 2(12).Lxydsattdta第20页，共31页。例例2 求求 其中其中4433,Lxyds33cos:0.2sinxatLtyat 解解 223 cossin,3 sincos,xatt yatt 223 sin cos,xyatt代入相应的积分公式，有代入相应的积分公式
12、，有第21页，共31页。44744333203cossinsin cosLxydsattttdt7775633322006sincossin.attdtata第22页，共31页。解解 由曲线积分的几何意义，得由曲线积分的几何意义，得 其中其中 为平为平面曲线面曲线 为锥面方程为锥面方程函数取函数取 为积分变量，则有为积分变量，则有,LAzds22,xyayLzy221.2adsx dydyayy例例3 求圆柱面求圆柱面 介于平面介于平面 和锥面和锥面 22xyay0z 之间的侧面积之间的侧面积22hzxya0,0.ahxyzO第23页，共31页。2022aLhaAzdsaydyaayy将将 代
13、入积分表达式，再由对称性，得代入积分表达式，再由对称性，得z02.aahdyahay第24页，共31页。解解 由微元素法，得由微元素法，得 ，故，故2dAxds120221LAxdsxx dx例例4 求曲线段求曲线段 绕绕 轴旋转所得曲面的轴旋转所得曲面的面积面积.2012xyx y13220213x22xy 1dAxyzO22 21.3第25页，共31页。例例5 设空间曲线，方程为设空间曲线，方程为cos,sin,(02),xat yat zbtt 质量密度为质量密度为 求曲线的质量求曲线的质量222,xyz解解 由曲线型构件的质量计算公式由曲线型构件的质量计算公式:222 2220(,)(
14、)Mx y z dsab tab dt22222234.3abab第26页，共31页。例例6 求心形线求心形线 的形心的形心(1 cos)(02)a解解 由对称性，得由对称性，得 ，0y 021 coscos 2 sin2yLMxdsaad222042sin(12sin)sin222ad23508(sin2sin)22ad2325a 第27页，共31页。弧长弧长022 sin8,2Lsdsada故，故，由此得到重心坐标：由此得到重心坐标：.4,5xa 4,05a第28页，共31页。例例7 求求 其中其中 为连为连23,xyz ds1,1,0,A 的线段的线段.3,3,4B解解 线段的方向为线段的方向为 故线段的方程为故线段的方程为2,2,4,s 12,12,01,4,xtyttzt 由此得到曲线积分为由此得到曲线积分为10233 182424 6.xyz dstdt第29页，共31页。例例8 求求 为曲线为曲线2221,dsxyzsin,txet 上相应于上相应于 的一段弧的一段弧.cos,ttyet ze02t 解解 由积分公式，得由积分公式，得2221dsxyz22222013cossin1tte dtett第30页，共31页。2220331.22ttedtee第31页，共31页。
