1、1 第一型线积分和面积分第一型线积分和面积分 Line Integrals with Respect to Arc Length Surface Integralswith Respect to Surface Area2w 第一型曲线积分是对弧长的线积分，第一型曲线积分是对弧长的线积分，C是是 平面或空间的可求长曲线段平面或空间的可求长曲线段,ds是弧微元；是弧微元；一、第一型线积分一、第一型线积分1.概念和记法概念和记法knkkCsMfdsMf 10)(lim)(AA 0BAnkMksC w 积分积分“区域区域”：平面或空间的曲线；：平面或空间的曲线；4 第一型线积分和面积分第一型线积分和
2、面积分3w 第一型线积分可求曲线长：第一型线积分可求曲线长：；Cdssw物理意义之一：质量非均匀分布的曲线物理意义之一：质量非均匀分布的曲线 C 的质量；的质量；w第一型线积分是通过化为定积分而进行计第一型线积分是通过化为定积分而进行计算的。算的。2.第一型曲线积分的计算法第一型曲线积分的计算法w 被积函数被积函数),(),(zyxfyxf定义定义在在 C 上上；4 若曲线若曲线 C 给参数方程给参数方程).(),(),(),(:ttztyytxxC可以证明，可以证明，222dzdydxds 222dtzdtydtxttt dtzyxdsttt222 这种情况下一型曲线积分的计算式：这种情况下
3、一型曲线积分的计算式：Cdszyxf),(即即dtzyxtztytxfttt222)(),(),(5例例1计算计算 CdsxyzI设设 C 是曲线：是曲线：221,232,tzttytx 的一段弧。的一段弧。解解 CdsxyzIdttttttt222)2/3(210221322121232 dtttt2102/92132 dttt)1(32102/9 143216 10 t上上对对应应6例例2计算计算 CdsyxI)(设设 C 为连接为连接)0,0(O),0,1(A)1,1(B三点的折线段。三点的折线段。)1,1(B)0,1(Aoxydxdsxyxx2 dydsyyx 1dxdsyxx ,0,
4、解解三直线段的参数式三直线段的参数式如图所示，故如图所示，故 CdsyxI)(OAABOBdsyx)(10)0(dxx 10)1(dyy 10)2)(dxxx22321 22 若曲线若曲线C给交面式方程给交面式方程,0),(0),(zyxGzyxF若存在若存在,),(),(bxaxzzxyy 隐隐函函数数则则 C 的的参数方程：参数方程：)(,)(xzzbxaxyyxx 于是于是 Cdszyxf),(dxzyxzxyxfxxba221)(),(,(平面上的问题通常只是少一个变量平面上的问题通常只是少一个变量!)8 当当 C 为平面曲线为平面曲线,给极坐标方程给极坐标方程 ,)(rr22)()(
5、drrdds drr22)(dsdrrdr Cdsyxf),(drrrrfba22)sin)(,cos)(例例3解解1 (用直角坐标用直角坐标)计算计算,CdsyI设设 C 为右半个单位圆为右半个单位圆:.0,122 xyx.10,1:2 xxyC9dxydsx2)(1 dxxx22)1(1 21xdx 利用对称性：利用对称性：CdsyI 10221112dxxx2 解解2 (用参数方程用参数方程).22,sin,cos:ttytxC CdsyI 2/022)(cos)sin(sin2 dtttt10解解3 (用极坐标用极坐标)2/0sin2 tdt2 C:22,1 r CdsyI Cds s
6、in 2/02201sin2 d2 例例4(求柱面的侧面积求柱面的侧面积)设椭圆柱面设椭圆柱面19522 yx挂挂限限所所截截，求求位位于于第第一一、二二与与被被0 zyz内所截下部分的侧面积内所截下部分的侧面积 A。解解用微元法用微元法.dAzds tytxCydssin3cos5:dtttt 022)cos3()sin5(sin3)(cos)(cos9)(sin53022tdtt )(coscos45302tdt ut cos25ln4159 Aduu 222523-20201230123-2020123yz dsyds 22225ln255223 uuuu12iiiniiSSoSfdSz
7、yxfdSMf ),(lim),()(1 二、第一型曲面积分二、第一型曲面积分1.概念和记法概念和记法 w 积分区域：积分区域：中的一曲面中的一曲面R3;S 是是 中的曲面中的曲面,为曲面面积元；为曲面面积元；R3dSSw 被积函数被积函数 定义定义在曲面在曲面 上；上；S),(zyxfw 第一型曲面积分是对曲面面积的面积分第一型曲面积分是对曲面面积的面积分,13w 第一型面积分可求曲面面积：第一型面积分可求曲面面积：；SdSAw 物理意义举例：质量非均匀分布的曲面物理意义举例：质量非均匀分布的曲面S的质量的质量；SdSzyxm),(轴轴的的转转动动惯惯量量：曲曲板板关关于于 z；SzdSzy
8、xyxI),()(22 w 第一型面积分是通过化为二重积分而进第一型面积分是通过化为二重积分而进 行计算的。行计算的。14 曲面曲面 S 给参数方程给参数方程),(vurr 2),(Rvuuv 用微元法：用微元法：2.第一型曲面积分的计算法第一型曲面积分的计算法)()(vrurSvu 令令 00vu且且),(),(),(vuzvuyvux vurrvu 15,),(),(vuzyA SdSzyxf),(dudvCBAvuzvuyvuxfuv 222),(),(),(于是于是,第一型面积分化成二重积分计算式第一型面积分化成二重积分计算式,),(),(vuxzB ),(),(vuyxC dudv
9、vvvuuuzyxzyxkji dudvCBA222 其中其中dudvrrdSvu 16dxdyzzzzyxyx22210010110 曲面曲面 S 给直角坐标系下的显式方程给直角坐标系下的显式方程2),(),(:RDyxyxzzSxy 由于又可表示成参数式：由于又可表示成参数式：:(,)Srrx y dxdyrrdSyx ,1,0yyzr ,0,1xxzr dxdyzzyx22)()(1 dxdyzzyx221 BCCAB,(,)xyz x y A17 曲面曲面 S 给一般方程：给一般方程：.),(,0),(:3RSzyxzyxFS ,),(),(:2RDyxyxzzSxy dxdyzzyx
10、zyxfdSzyxfyxDSxy221),(,(),(于是化为二重积分的计算式：于是化为二重积分的计算式：当满足当满足,0 zF则马上可转化为则马上可转化为 的情况。的情况。),(yxzz 存在隐函数存在隐函数18例例5求半径为求半径为 的球面面积。的球面面积。a解解 球面的参数方程为：球面的参数方程为：),(:rrS cos,sinsin,cossin aaa D),(),(),(zyA),(),(xzB0cossinsinsincos aaa cossin22a sinsin0coscossinaaa sinsin22a 19),(),(yxC cossinsinsinsincoscosc
11、osaaaa cossin2a 经计算经计算 sin2222aCBA 于是得球面积于是得球面积 SdSA DddCBA222 Ddda sin2 0220sindad24a 20例例6计算计算,SzdS其中曲面其中曲面 是圆锥面是圆锥面S22yxz 解解 根据条件，此锥面应定义在平面区域根据条件，此锥面应定义在平面区域,41),(22 yxyxxy 于是用于是用 情况的计算式，情况的计算式，SzdS xydxdyyxyyxxyx 222222221 xydxdyzzzyx 221间间的的部部分分。与与介介于于平平面面21 zz21 xydxdyyx 222 21202rdrrd )18(322
12、 3214 例例7求半径相等的两个求半径相等的两个圆柱面圆柱面正交正交所截立体所截立体的表面积的表面积 A。解解 如图建立坐标系后如图建立坐标系后-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51两柱面的方程分别为两柱面的方程分别为2222xRz .22xRy 和和充分利用图形的对称性充分利用图形的对称性,只只需对定义在需对定义在0,0,:222 yxRyxDxy上的一片柱面上的一片柱面22xRz 作计算，作计算，0,22 yxzxRxz SdSA 116AdS xyDyxdxdyzz2211622xRy 22xRz 23dydxxRR 220016222
13、201 xRx 220016xRRdydx22xRR 216 R 例例8 求质量均匀分布，半径为求质量均匀分布，半径为 R 的球缺面的的球缺面的 质心坐标。质心坐标。球缺面如下给出：球缺面如下给出：cossinsincossinRzRyRx 20430 24-2-1012-2-1012-1012-2-10120),(zyx因曲面对称且质量分布均因曲面对称且质量分布均匀，故匀，故.0 yxmMzxy SSdSdSz00 DDddCBAddCBAR222222cos解解设球缺面的面密度为设球缺面的面密度为25 4/302204/30220sinsincos dRddRRd)211(2)21(212223 RR )22(2 RR15.0 即所求质心为即所求质心为:.)22(2,0,0,Rzyx 26习题习题 6.6P.191.N.1(单单),N.3(2)(3),N.4,N.5,N.9(1),N.10(单单),选选(B)(N.1,N.4.6月月9日作业日作业接上习题课接上习题课
