1、国王赏麦的故事国王赏麦的故事236312222 国际象棋的棋盘上国际象棋的棋盘上共有共有8行行8列列,构成构成64个个格子格子.国际象棋起源于国际象棋起源于古代印度古代印度,关于国际象关于国际象棋有这样一个传说棋有这样一个传说.引入引入:国王要奖赏国际象棋的发明者国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有问他有什么要求什么要求,发明者说发明者说:“请在棋盘的第请在棋盘的第1个格个格子里放上子里放上1颗麦粒颗麦粒,在第在第2个格子里放上个格子里放上2颗颗麦粒麦粒,在第在第3个格子里放上个格子里放上4颗麦粒颗麦粒,在第在第4个个格子里放上格子里放上8颗麦粒颗麦粒,依此类推依此类推,每个格子里每个格子里放的
2、麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍倍,直到第直到第64个格子个格子,请给我足够的粮食来请给我足够的粮食来实现上述要求实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办国王觉得这并不是很难办到的到的,就欣然同意了他的要求就欣然同意了他的要求.1 2 222324252627?263国王要给国王要给多少多少麦粒？麦粒？让我们来分析一下让我们来分析一下:由于每个格子里的麦粒数都是前一个由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的格子里的麦粒数的2倍倍,且共有且共有64个格子个格子,各个格子里的麦粒数依次是各个格子里的麦粒数依次是,2,2,2,2,16332 于是发明者要
3、求的麦粒总数就是于是发明者要求的麦粒总数就是,222216332 =18,446,744,073,709,551,615等比数列前n项和的公式?222216332求数列求数列：23636412222S 记记引例：引例：两边同乘公比，得两边同乘公比，得.22168422646364S将上面两式列在一起，进行比较将上面两式列在一起，进行比较,284216364S.228426463642S ，得126464S说明：说明：这种求和方法称为这种求和方法称为错位相减法错位相减法q,得得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，得，得,111nnqaaSq等比数列的前n项和nnaaaaS321设
4、等比数列设等比数列,321naaaa它的前它的前n项和是项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即即说明：说明：这种求和方法称为这种求和方法称为错位相减法错位相减法等比数列前等比数列前n项和求和公式项和求和公式 11,(1),(1),(1).1nnnaqSaqqq于是于是当当q1时时，qqaSnn111当当q=1时，时，1naSn等比数列前等比数列前n项和公式的其他推导方法项和公式的其他推导方法用等比定理推导用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为qaaaaaaaann 1342312所以所以qaaaaaaaann 1321432qaSaSnnn 1)1(1)1(1
5、qqqaSnn【例题1】解解:例例1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和.,81,41,218,21,211nqa2112112188S256255 例例2 2：某商场第某商场第1 1年销售计算机年销售计算机50005000台，如果平均台，如果平均每年的销售量比上一年增加每年的销售量比上一年增加10%10%，那么从第，那么从第1 1年起，约年起，约几年内可使总销售量达到几年内可使总销售量达到3000030000台（保留到个位）？台（保留到个位）？解：解：a1=5000,q=1+10%=1.1 sn=300005000(11.1)3000011.1n 于于是是得得到到1.11.6n整整
6、理理后后,得得,lg1.1lg1.6n两两边边取取对对数数 得得lg1.60.205()lg1.10.041n 年年分析分析:拆项后构成两个等比数列的和的问拆项后构成两个等比数列的和的问题题,这样问题就变得容易解决了这样问题就变得容易解决了.例例3.求和求和)1,1,0()1()1()1(22 yxxyxyxyxnn2222:0,1,1,111)()()111()()nnnnxxyxxxyyyxxxyyy解解 当当时时11(1)(1)111nnxxyyxy 1111nnnnxxyxyy 巩固练习1.根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1
7、nqa;21,21,8)2(1naqa.18921)21(366S23121121218ns练习练习2:求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到项到第第10项的和项的和.,2,11qa解：.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和:练习3求和：)0(),()2()1(2anaaaSnn2111nnaaaSnn当22121)111(2nnnnnnnSn1,0aa当1a时时解：)21()(2naaaSnnnS,2111nnaaan,22nn)1(a).1,0(aa1 1、等比数列的前、等比数列的前n n项的公式项的公式 11(1)1naqqnaSn=q1 q=12 2、数列求和的错位相减法及方程思、数列求和的错位相减法及方程思 想、分类讨论思想、整体思想的应用。想、分类讨论思想、整体思想的应用。3 3、对于含有字母的等比数列应注意考、对于含有字母的等比数列应注意考虑其公比是否为虑其公比是否为1 1。思考题：思考题：已知已知nS是等比数列是等比数列 na的的n项和，项和，693,SSS成等差数列，成等差数列，582,aaa成等差数列成等差数列.求证：求证：
