1、2022年中考数学真题分类练习：最值问题一、选择题1.（2022广东）点，在反比例函数图象上，则，中最小的是（ ）A. B. C. D. 2.（2022贺州）已知二次函数y=2x24x1在0xa时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.（2022安徽）已知点O是边长为6的等边ABC的中心，点P在ABC外，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别记为，若，则线段OP长的最小值是（ ）A. B. C. D. 4.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）A. B. 若实数，则C. D. 当时，5.（2022北京）下
2、面的三个问题中都有两个变量：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A. B. C. D. 6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 最小值为二、填空题7.（2022甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空
3、气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_s8.（2022贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为_三、解答题9.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围10.（2022广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，点P为线段上的动点，过P作交于点Q（1）求该抛物线的解析式；（2）求面积的最大值，并求
4、此时P点坐标11.（2022福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线的解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由12.（2022海南）如图1，矩形中，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E（1）当点P是的中点时，求证：；（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F证明，并求出在（1）条件下的值；连接，求周长的最小值；如图2，交
5、于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由13.（2022贵港）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若轴交于点E，求的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标14.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，当
6、时，求的最小值15.（2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运
7、动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则_（填“”“=”或“0，开口向上，在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，当0xa时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，当x=a时，y=15，2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4故选：D3.（2022安徽）已知点O是边长为6的等边ABC的中心，点P在ABC外，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别记为，若，则线段OP长的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：如图，= = =，设ABC中AB边上的高为，PAB中AB边上的高为，则，ABC是等边三角形， ，点P在平行于AB，
8、且到AB的距离等于的直线上，当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OEBC于E，O是等边ABC的中心，OEBCOCE=30，CE= OC=2OE，解得OE=，OC=，OP=CP-OC=故选B4.（2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）A. B. 若实数，则C. D. 当时，【答案】解：抛物线的对称轴是，抛物线开口向上，故A说法正确，不符合题意；抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，当x=-1时，当实数，则，当实数时，故B说法正确，不符合题意；当时，a+2a-20，即3a-20，故C说法错误，符合题意；，直线l与抛物线的两个交点分
9、别在y轴的两侧，故D说法正确，不符合题意；故选C5.（2022北京）下面的三个问题中都有两个变量：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故可以利用该图象表示；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故可以利用该图象表示；设绳子的长为L，一边长x，则另一边
10、长为，则矩形的面积为：，故不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：，故选：A6.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形中，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 最小值为【答案】解：四边形ABCD是菱形，AB=AD=BC=CD，BAC=DAC=BAD=，BAFDAFCBE，ABC是等边三角形，DF=CE，故A项答案正确，ABF=BCE，ABC=ABF+CBF=60，GCB+GBC=60，BGC=180-60=180-（GCB+GBC）=120，故B项答案正确，ABF=BCE，BEG=CEB，BEGCEB
11、， ，故C项答案正确，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，当点G在等边ABC的内心处时，AG取最小值，如下图， ABC是等边三角形，BC=1，AF=AC=，GAF=30，AG=2GF，AG2=GF2+AF2， 解得AG=，故D项错误，故应选：D二、填空题7.（2022甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_s【答案】解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-50，当t=2时，h取最大值20，故答案为：2
12、8.（2022贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为_【答案】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FKCD于点K，在矩形ABCD中，A=ADC=90，AD=BC=6，CD=AB=8，DEH为等腰直角三角形，DG平分ADC，DG垂直平分EH，PE=PH，的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EFFH+EF，当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，E，F分别是AD，AB的中点，AE=DE=DH=3，AF=4，EF=5，FKCD，DKF=A=ADC=90，四边形AD
13、KF为矩形，DK=AF=4，FK=AD=6，HK=1，FH+EF=，即的周长最小为故答案为：三、解答题9.（2022北京）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围【答案】（1）（0，2）；2 （2）的取值范围为，的取值范围为【解析】【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情
14、况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解（1）解：当时，当x=0时，y=2，抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；，点关于对称轴为对称，；（2）解：当x=0时，y=c，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，13，2t3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，此时点到对称轴距离大于点到对称轴的距离，解得：，13，2t3，即，
15、对称轴为， ，解得：，的取值范围为，的取值范围为10.（2022广东）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，点P为线段上的动点，过P作交于点Q（1）求该抛物线的解析式；（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标【答案】（1）解：点A（1，0），AB=4，点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：，解得：b=2，c=-3，抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点式为：，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析
16、式为：y=2x-2，PQBC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，由解得：，P在线段AB上，n的取值范围为-6n2，则当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为211.（2022福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方（1）求抛物线的解析式；（2）若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以抛物
17、线的解析式为（2）设直线AB的解析式为，将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以直线AB的解析式为过点P作PMx轴，垂足为M，PM交AB于点N过点B作BEPM，垂足为E所以因为A（4，0），B（1，4），所以因为OAB的面积是PAB面积的2倍，所以，设，则所以，即，解得，所以点P的坐标为或（3，4）（3）记CDP，CPB，CBO的面积分别为，则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，设直线AB的解析式为设，则整理得时，取得最大值，最大值为12.（2022海南）如图1，矩形中，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E（1）当点P是的中点时，求证：；（
18、2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F证明，并求出在（1）条件下的值；连接，求周长的最小值；如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由【答案】（1）解：如图9-1，在矩形中，即，点P是的中点，（2）证明：如图9-2，在矩形中，由折叠可知，在矩形中，点P是的中点，由折叠可知，设，则在中，由勾股定理得，即解：如图9-3，由折叠可知，由两点之间线段最短可知，当点恰好位于对角线上时，最小连接，在中，解：与的数量关系是理由是：如图9-4，由折叠可知过点作，交于点M，点H是中点，即，点G为中点，点H是中点，13.（2022贵港）如图，已知抛物线经过和两点，直线与
19、x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若轴交于点E，求的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标【答案】（1）解：（1）抛物线经过和两点，解得：，抛物线的表达式为（2）解：，直线表达式为，直线与x轴交于点C，点C的坐标为，轴，轴，则，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，当时，有最大值，且最大值为（3）解：根据题意，在一次函数中，令，则，点C的坐标为（2，0）；当时，如图此时点D与点C重合，点D的坐标为（2，0）；轴，点P的横坐标为2，点P的纵坐标为：，点P的坐标为（2，3）；当时，如图，则
20、，设点，则点P为，点D的坐标为，点P的坐标为；满足条件的点P，点D的坐标为或，14.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，当时，求的最小值【答案】（1）解：在抛物线上，解得，即；（2）在中，令，得，轴，（3）连接交于点，如图1所示：与关于轴对称，设，则，点在抛物线上，解得（舍去），；在下方作且，连接，如图2所示：，当，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，
21、即的最小值为15.（2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动
22、员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则_（填“”“=”或“”）【答案】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，代入得：，解得：，函数关系关系式为：（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，解得：或，根据图象可知，第一次训练时着陆点水平距离，第二次训练时，解得：或，根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，故答案为：16.（2022北京）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的
23、“对应点”（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”在图中画出点；连接交线段于点求证：（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）【答案】（1）解：点Q如下图所示点，点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，点的横坐标为：，纵坐标为：，点，在坐标系内找出该点即可；证明：如图延长ON至点，连接AQ， ，在与中， ，； （2）解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的
24、对称点为，又，OMST，NM为的中位线， ， 在中，结合题意，即长的最大值与最小值的差为17.（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90得到，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标【答案】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3，A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线，得，抛物线解析式为；（2）A（-3，0），C（0，6），AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=C
25、O=6，FCO=90E到x轴的距离为6-3=3，点E的坐标为（6，3），当x=3时，点E在抛物线上；过点P作PQAB于Q，又AOB=90，AOB=PQB，在RtABO中，AO=3，BO=4，由勾股定理得：AB=5，AOB=PQB，ABO=PBQ，ABOPBQ，当P，E，Q三点共线，且EPAB时，取最小值，EPAB，设直线EP解析式为，又E（6，0），直线EP解析式为，当x=0时，y=，点P坐标为（0，）18.（2022海南）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；（3）点Q在抛物线上，当
26、的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；【答案】（1）解：抛物线经过点,解得该抛物线的函数表达式为（2）解：如图，连接，令，（3）解：如图，作轴，交直线于点F，则是定值，当最大时，最大设，设，则当时，取得最大值，此时设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，下面分三类情况讨论：若，如图，过点P作轴于点，作交的延长线于点，则，若，如图，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，若，如图，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则，综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，119.（2022安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为
27、2米以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米E（0，8）是抛物线的顶点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等栅栏总长l为图中粗线段，MN长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上设点横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标
28、的取值范围（在右侧）【答案】（1）由题意可得：A（6，2），D（6，2），又E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为yax28，将A（6，2）代入，（6）2a82，解得：a，抛物线对应的函数表达式为yx28；（2）（）点P1的横坐标为m（0m6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，P2的坐标为（m，m28），P1P2P3P4MNm28，P2P32m，l3（m28）2mm22m24（m2）226，0，当m2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为lm22m24，l的最大值为26；（）方案一：设P2P1n，则P2P3183n，矩形P1P2P
29、3P4面积为（183n）n3n218n3（n3）227，30，当n3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P13，P2P39，令x283，解得：x，此时P1的横坐标的取值范围为9P1横坐标，方案二：设P2P1n，则P2P39n，矩形P1P2P3P4面积为（9n）nn29n（n）2，10，当n时，矩形面积有最大值为，此时P2P1，P2P3，令x28，解得：x，此时P1的横坐标的取值范围为P1横坐标20.（2022北部湾）已知，点A，B分别在射线上运动，（1）如图，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图，若
30、，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：（3）如图，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值【答案】（1），证明如下：，AB中点为D，为的中点，；（2）如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），当O、T、C在同一直线上时，CO最大，在和中，即，；（3）如图，当点A，B运动到时，的面积最大，证明如下：以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当时，OC最大，当时，此时OT最大，的面积最大，综上，当点A，B运动到时，的面积最大，面积的最大值为
