1、第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念明目标明目标 知重点知重点填填要点要点记疑点记疑点探探要点要点究所然究所然内容索引010102020303当堂测当堂测查疑缺查疑缺 0404明目标、知重点1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示.明目标、知重点填要点记疑点填要点记疑点1.复数的有关概念(1)复数定义：形如abi的数叫作复数，其中a，b ，i叫作 .a叫作复数的 ，b叫作复数的 .表示方法
2、：复数通常用字母 表示，即 .虚数单位实部虚部zzabi(a，bR)R填要点记疑点(2)复数集定义：复数的全体组叫作复数集.表示：通常用大写字母 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)C填要点记疑点(2)集合表示：3.两个复数相等abicdi当且仅当 .ac且bd填要点记疑点4.复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点 ；(2)复数zabi(a，bR)平面向量 .5.复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为 ，则 的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|.Z(a，b)(a，b)探要点究所然探要点究所然情境导学为解决方程x22，数系从有理数扩充到
3、实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x21这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题.探要点究所然探究点一复数的概念思考1为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数.探要点究所然思考2如何理解虚数单位i?答(1)i21.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于
4、i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.(4)若i21，那么i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.探要点究所然思考3什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答形如abi(a，bR)的数叫作复数，复数通常用字母z表示，即zabi，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部.对于复数zabi(a，bR)，当b0时叫作虚数；当a0且b0时，叫作纯虚数.探要点究所然例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数.23i；3 i；i；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；
5、的实部为 ，虚部为1，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为 ，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数.探要点究所然反思与感悟复数abi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫作复数的虚部.探要点究所然跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.(1)实部为 的虚数；解存在且有无数个，如 i等；(2)虚部为 的虚数；解存在且不唯一，如1 i等；探要点究所然(3)虚部为 的纯虚数；解存在且唯一，即 i；(4)实部为 的纯虚数.解(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.探要点究所然例2(1)
6、求当实数m为何值时，z (m25m6)i是实数；解由已知得复数z的实部为 ，虚部为m25m6.复数z是实数的充要条件是探要点究所然m2.当m2时复数z是实数.探要点究所然(2)求当实数m为何值时，z (m25m6)i是 虚数；解复数z是虚数的充要条件是当m3且m2时复数z是虚数.探要点究所然(3)求当实数m为何值时，z (m25m6)i是 纯虚数.解复数z是纯虚数的充要条件是当m3时复数z是纯虚数.探要点究所然反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.探要点究所然跟踪训练2(1)实数m为何值时，复数z (m22m3)i是实数；解要使z是实数，m
7、需满足m22m30，探要点究所然(2)实数m为何值时，复数z (m22m3)i是虚数；解要使z是虚数，m需满足m22m30，探要点究所然(3)实数m为何值时，复数z (m22m3)i是纯虚数.且m22m30，解得m0或m2.探要点究所然探究点二两个复数相等思考1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.思考2两个复数相等的充要条件是什么？答复数abi与cdi相等的充要条件是ac且bd(a，b，c，dR).探要点究所然例3已知x，y均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求x与y.探要点究所然反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等
8、的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.探要点究所然跟踪训练3已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值.解MPP，MP，(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.探要点究所然由(m22m)(m2m2)i1得由(m22m)(m2m2)i4i得综上可知m1或m2.探要点究所然探究点三复数的几何意义思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系.探要点究所然小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面
9、，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.探要点究所然思考2下列命题是否正确？在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；探要点究所然答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0
10、)，它所确定的复数是z00i0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题.探要点究所然思考3复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.思考4怎样定义复数z的模？它有什么意义？探要点究所然例4(1)在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点在虚轴上，求实数m的取值范围.解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.由题意得m2m20.解得m2或m1.探要点究所然(2)在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点 在第二象限，求实数m
11、的取值范围.1m1.探要点究所然(3)在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点在直线yx上，求实数m的取值范围.解由已知得m2m2m23m2，故m2.探要点究所然反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.探要点究所然跟踪训练4已知复数z的虚部为 ，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.解得a1.当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()C当堂测查疑缺 2.如果zm(m
12、1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A.1 B.0 C.1 D.1或1m0.B当堂测查疑缺 3.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.B当堂测查疑缺 4.已知复数za i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()当堂测查疑缺 解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，答案A当堂测查疑缺 呈重点、现规律1.对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2.两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件；3.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；当堂测查疑缺 4.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.更多精彩内容请登录http:/谢谢观看
