1、第六章第六章 方差分析方差分析方差分析的基本原理方差分析的基本原理单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理l前面所介绍的前面所介绍的t检验法和检验法和u检验法，适用于样本检验法，适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理（到比较多个处理（k3）优劣的问题，即需进）优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若行多个平均数间的差异显著性检验。这时，
2、若仍采用仍采用t或或u检验法就不适宜了。检验法就不适宜了。l原因如下：原因如下：l1、检验过程烦琐检验过程烦琐 例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要进行=10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。l2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。l3、推断的可靠性低，检验的推断的可靠性低，检验的I型错误率大型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互
3、比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。复习几个常用术语复习几个常用术语l1、试验指标：为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同，选择的试验指标也不相同。l2、试验因素：试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。l3、因素水平：试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。复习几个常用术语复习几个常用术语l4、试验处理：事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验处理，简称处理。在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的某一水平。进行单因素试验时，试验因素的一个水平就是
4、一个处理。在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平组合。l5、试验单位：在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。l6、重复：在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解总变异是nk个观察值的变异，所以其自由度为nk-1总变异的平方和为：nkijnkijTCyyySS1221)(自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解组间（处理）变异由k个yi变异所引起，故其自由度为k-1，组间（处理）平方和为：组内（误差）变异为各观察值与组平均数的变异，所以组内（误差变异
5、自由度为k(n-1)，组内平方和为：tTkniijeSSSSyySS 112)(kityynSS12)(自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解总自由度DFT组间自由度DFt组内自由度DFe总平方和SST组间平方和SSt+组内平方和SSe总的均方：组间的均方：组内的均方：1)(22nkyysMSijTT1)(22kyynsMSitt)1()(22nkyysMSiijee自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解以、四种药剂处理水稻种子，其中为对照，每处理各得个苗高观察值(cm)，其结果列于下表，试分解其平方和与自由度药剂 T=336 =21苗高观察值18201028212415272026172
6、913221432总和Ti729256116平均18231429iyy自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解70564433622nkTC 6022CySSijT5042nTSSit98504602tTeSSSSSS总变异自由度：DFT=(nk-1)=(44)-1=15药剂间自由度：DFt=(k-1)=4-1=3药剂内自由度：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12矫正数总的平方和：组间平方和：组内平方和：二、二、F分布与分布与F测验测验222121),(ssF变异来源处理间处理内（误差）总DF31215SS50498602MS1688.17F20.56*F临界值F0.05(3,12)=3.
7、49F0.01(3,12)=5.95从例题如手，理解方差分析的基本原理：从例题如手，理解方差分析的基本原理：l一小麦品种对比试验，6个品种，4次重复，单因素完全随机设计，得产量结果如下表（单位：kg/小区）处理品种观察值（重复）处理和（Ti）处理平均1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.00从表中的结果可以看出：从表中的结果可以看出：l24个小区的产量有高有低，存在差异，这种差异称为变异。l各处理平均产量之间也有差
8、异，可以直观地看作是小麦不同品种间生产能力的差异。l同一品种不同重复之间的产量也不相同，显然这种差异主要不是小麦品种引起的，而是某些不易控制的随机因素的影响，是由随机误差造成的。l由于试验误差的存在，不同品种产量之间的差异是纯属随机随机误差误差的影响还是反映了不同品种不同品种的影响？这就需要对品种效应作进一步考察，分析造差异的原因是什么，以判断试验结果的可靠性和品种产量间差异的显著性。由此看出：由此看出：l无论试验条件控制多么严格，在其试验结果中无论试验条件控制多么严格，在其试验结果中总是掺杂着随机误差等非处理因素的影响，说总是掺杂着随机误差等非处理因素的影响，说明试验结果的总变异是由两类原因
9、引起的：明试验结果的总变异是由两类原因引起的：l由于人为施加试验条件的影响引起试验指标的变异，由于人为施加试验条件的影响引起试验指标的变异，称处理间（组间）变异。其效应称处理效应。称处理间（组间）变异。其效应称处理效应。l由随机因素的影响引起的变异，称处理内（组内）由随机因素的影响引起的变异，称处理内（组内）变异。其效应称非处理效应。变异。其效应称非处理效应。l即：即：试验结果总变异处理间变异处理内变异试验结果总变异处理间变异处理内变异基本思路：基本思路：l方差分析就是从试验结果的变异性出发，用方方差分析就是从试验结果的变异性出发，用方差作为衡量各种变异量的尺度，如用总方差表差作为衡量各种变异
10、量的尺度，如用总方差表示总变异，处理间方差表示处理间变异，处理示总变异，处理间方差表示处理间变异，处理内方差表示处理内变异（可以看作为误差），内方差表示处理内变异（可以看作为误差），则哪项方差大，那项因子对试验指标的影响就则哪项方差大，那项因子对试验指标的影响就大，把处理方差和误差方差在一定意义下进行大，把处理方差和误差方差在一定意义下进行比较，当处理间方差显著地大于误差方差时，比较，当处理间方差显著地大于误差方差时，表明处理因素对试验指标有显著影响。表明处理因素对试验指标有显著影响。l方差分析：就是将试验数据的总变异分解为来方差分析：就是将试验数据的总变异分解为来源不同因素的相应变异，并做出
11、数量估计，从源不同因素的相应变异，并做出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起的变异量是否真实准，以推断其他变因所引起的变异量是否真实的一种统计分析方法。的一种统计分析方法。方差分析的基本步骤方差分析的基本步骤l（一）平方和与自由度的分解l（二）F检验l（三）多重比较详细内容见教材P89-92！3.平方和的分解及其计算平方和的分解及其计算ijiijx总变异起的
12、变异不同处理引起的变异随机误差引211)(kinjijxx21)(kiixxn211)(kinjiijxx如何定量地衡如何定量地衡量这些变异？量这些变异？称为总平方和总平方和，记为 SST称为处理平方处理平方和和，记为 SSt称为误差平方误差平方和和，记为 SSe平方和的简易求法平方和的简易求法CxSSkinjijT112CxnSSkiit121tTeSSSSSS称为校正数其中，,2nkTC 4.自由度的确定及均方的计算自由度的确定及均方的计算每个平方和都有一个自由度TkinjijTdfxxSS的自由度，记为总平方和112)(自由度确定的经验规则自由度确定的经验规则：自由度是计算该平方和时可以
13、自由变化的量的数目自由度的准确意义是对平方和进行归一化时需要的一个参数，是我们构造假设检验所用统计量的一个组成部分,xxnkij个离均差计算该量时，需要这一条件的约束。化，但受到每个离均差可以自由变0)(11kinjijxx11目资料中所有观测值的数所以，自由度 nkdfTtkiitdfxxnSS的自由度，记为处理平方和12)(,个量共计算该量时，需要kxxi这一条件的约束。但受到0)(1aiixx11 处理的数目所以，自由度 kdftekinjiijedfxxSS的自由度，记为处理内（误差）平方和112)(,个量共计算该量时，需要nkxxiij。个条件的约束但受到),2,1(0)(1kixx
14、knjiijtTedfdfknkdf所以，自由度理均方，和误差均方，由度便得到总均方，处各平方和除以相应的自即分别记为 ,eATMSMSMSTTTdfSSMS tttdfSSMS eeedfSSMS eATMSMSMS注意：*，即统计量，构造和为了比较etetMSMSFMSMS分布),(ttedfdfeFMSMSF，所以进行上尾检验不可能小于因为etMSMS拒绝域为：),(tedfdfF显著差异。，得出各处理之间没有反之，我们接受著差异；，得出各处理之间有显定落入拒绝域中，我们否当00tHHMSMSFe将上述讨论归纳成方差分析表为将上述讨论归纳成方差分析表为变异来源处理间处理内（误差）总和平方
15、和ssSStSSeSST自由度dfk-1kn-kkn-1均方s2St2Se2FF=St2/Se2均方期望F(0.05)F(0.01)单因素方差分析表单因素方差分析表多重比较多重比较q为什么要进行多重比较q怎样进行多重比较q如何表示多重比较的结果q如何选择多重比较的方法检验显著，差分析的回想上一节里，如果方F不全部相等各接受备择假设我们否定iAaHH:,:210差异。各处理的平均数之间有些差异不显著。数之间有显著差异、哪具体说明哪些处理平均都显著，也不能处理平均数之间的差异但这并不意味着每两个著性。处理平均数间的差异显判断两两均数间的比较，以具体有必要进行两两处理平统计学上把多个平均数两两间的相
16、互比较称为多重比较多重比较。一、为什么要进行多重比较一、为什么要进行多重比较为什么要进行多重比较什么叫多重比较多重比较的优点1.1.为什么要进行多重比较？为什么要进行多重比较？例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)变异来源药剂处理间药剂处理内（误差）总DF 31215SS504 98602MS168.00 8.17F20.56*显著F值F 0.05(3,12)=3.49F 0.01(3,12)=5.9218231429 72 92 561161821 20 132024 26 221015 17 1428 27 29 32ABCD 平均总和Ti苗高观察值药剂经方差分析得下表：iy2.2.什么叫多重
17、比较什么叫多重比较 多重比较就是指在 F 测验的前提下，对不同处理的平均数之间的现两两互比。3.3.多重比较的优点多重比较的优点l比较的精确度增大了l所得到的结论更全面，更可靠了多重比较多重比较q为什么要进行多重比较q怎样进行多重比较q如何表示多重比较的结果q多重比较方法的选择二、怎样进行多重比较二、怎样进行多重比较常用的有三种方法：常用的有三种方法：最小显著差数法最小显著差数法(Least significant difference,LSD法法)最小显著极差法最小显著极差法(Least significant ranges,LSR法法)新复极差测验新复极差测验(SSR法法)q测验测验1.最
18、小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）：基本作法 ，的最小显著差数为计算出显著水平检验显著的前提下，先在 LSDF与其比较：均数的差数的绝对值然后将任意两个处理平|jixx水平上差异不显著。反之，则在水平上差异显著；在则若jijixxLSDxx,|：的计算为最小显著差数 LSDjixxStLSD nSeSjixx22为处理数。是各个处理的重复数，方，是方差分析里的误差均称为均数差数标准误，的自由度为式中，knMSSkkndftexxeji ,01.0 05.0 或常选用LSD法的基本步骤：法的基本步骤：。列出两两平均数的差数小自上而下排列，：表中的平均数从大到多重比较表，列出平均数排序编
19、号将各处理平均数进行)1(01.005.0)2(LSDLSD和计算比较，作出统计推断。和均数的差数与将多重比较表中两两平01.005.0)3(LSDLSD法作多重比较肥方式的稻谷产量用下表。试对五种不同施场，其稻谷产量如盆，随机置于同一盆栽不施氮肥。每个处理各施尿素，施碳酸氢氨，流程的氨水，分别施用两种不同工艺和个处理：栽试验，设置了例：有一水稻施肥的盆LSD4554321AAAAA产量处理A124302826A227242126A331282530A432333328A521221621合计1089811412680526x平均2724.528.531.520解：（1）首先将各处理平均数进行
20、排序编号处理A4A3A1A2A5平均数31.528.527.024.520.0序号12345列出多重比较表为：序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.55.11205.3151 xx01.005.0 )2(LSDLSD和计算8344.1473.622nMSSexxji.947.2 ,131.2 ,1501.005.0ttaandf查表得得最小显著差数为和所以显著水平为01.005.04060.58344.1947.29091.38344.1131.201.001.005.005.0jijixxxxStLSDStLSD；显著”，表明差异在差数的右上方标“如
21、果差数大于*,)3(05.0LSD；极显著”，表明差异在差数的右上方标“于进一步地，如果差数大*,01.0LSD4060.58344.1947.29091.38344.1131.201.001.005.005.0jijixxxxStLSDStLSD序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5*结论：从多重比较表可以看出：施尿素的稻谷的平均产量极显著高于对照和氨水2、显著高于施氨水1；施碳酸氢铵的稻谷的平均产量极显著高于对照、显著高于施氨水2；施氨水1的稻谷平均产量极显著高于对照；施氨水2的稻谷平均产量显著高于对照；其余的不同处理间的稻谷平均产量没有显著差异
22、。：法的几点评论关于LSD。型错误概率增大的问题但并未解决犯。息）来估计（它包含全部样本的信一定的改进，即利用检验相比作了到的两两检验法。与本章开始提实质上是IMSttLSDe2)1(便法的优点是方法比较简LSD)2(为了克服LSD法的不足，常采用Duncan法进行多重比较（由Duncan于1955年提出）2.Duncan法Duncan法的特点是根据平均数差数内所包含的处理数（称为秩次距）k 的不同而采取不同的检验临界值不同的检验临界值。在LSD法里，所有差数采用相同的检验临界值。2.2.新复极差检验新复极差检验(SSRSSR法法)A.计算LSRB.排序C.比较 LSRa=SESSRanMSn
23、sSEee或2SSR通过查附表8求得查表时：列为误差自由度行p为测验极差的平均数个数为了克服LSD法的不足，常采用Duncan法进行多重比较（由Duncan于1955年提出）SSR法又称法又称Duncan法法Duncan法的特点是根据平均数差数内所包含的处理数（称为秩次距）k 的不同而采取不同的检验临界值不同的检验临界值。在LSD法里，所有差数采用相同的检验临界值。临界值的计算：临界值的计算：MRM,界值，记为的不同而采用不同的临上依秩次距这些在显著水平kMSdfMrRxm,3,2 ,),(,:S6),(值表）中查出（多重比较的的值可以从附表SRdfMr,nMSSex其中。时，均数中间隔一个平
24、均数两个要比较的平较的平均数相邻时，个数。例如，两个要比之间所包含的平均数的是相比较的两个平均数秩次距3;2;MMMknkdfmRkk,1个个，所以需计算因为平均数共有Duncan法的基本步骤：法的基本步骤：。列出两两平均数的差数小自上而下排列，：表中的平均数从大到多重比较表，列出平均数排序编号将各处理平均数进行)1(kMRRdfMrdfMrMdfSMMx,3,2,),(),(,)2(,01.0,05.001.005.0和。算出临界值和查出距，秩次由自由度：计算计算临界值，列成表格比较，作出统计推断。和均数的差数与将多重比较表中两两平MMRR,01.0,05.0)3(例二例二，仍以五种不同施肥
25、方式的稻谷产量的数据为，仍以五种不同施肥方式的稻谷产量的数据为例，采用例，采用Duncan法进行多重比较。法进行多重比较。解：（1）首先将各处理平均数进行排序编号处理A4A3A1A2A5平均数31.528.527.024.520.0序号12345列出多重比较表为：列出多重比较表为：序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5（2）计算临界值，列成表格）计算临界值，列成表格2971.1473.6nMSSex查出：由附表依据6 ,5,4,3,2 ,15MknkdfdfMr0.05(M,df)临界值R0.05r0.01(M,df)临界值R0.011523.013
26、.904.175.4133.164.104.375.6743.254.224.505.8453.314.294.585.94；显著表明差异”，在差数的右上方标“相比较，如果差数大于差数与对应的临界值将多重比较表中的每个*,)3(05.0R。极显著”，表明差异标“在差数的右上方于进一步地，如果差数大*,01.0R序号5432111.57.04.53.028.54.01.537.02.544.5*dfMr0.05(M,df)临界值R0.05r0.01(M,df)临界值R0.011523.013.904.175.4133.164.104.375.6743.254.224.505.8453.314.2
27、94.585.94关于关于Duncan法的几点说明：法的几点说明：lDuncan法的检验结果可能会和LSD法有差异lLSD法与Duncan法的临界值有如下关系：LSD法Duncan法所以用LSD法检验显著的差数，用Duncan法检验不一定显著。所以Duncan法相对保守稳重l在作业、考试时，除特别说明，多重比较时采用在作业、考试时，除特别说明，多重比较时采用Duncan法。法。2.2.新复极差测验新复极差测验(SSRSSR法法)A.A.A.计算计算计算LSRLSRLSR B.排序C.比较 例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72 92 5611618 21 20 1320 24
28、 26 2210 15 17 1428 27 29 32ABCD 平均总和Ti苗高观察值药剂29231814DBAC平均数处理iyiy2.2.新复极差测验新复极差测验(SSRSSR法法)A.A.A.计算计算计算LSRLSRLSR B.B.B.排序排序排序C.比较 6.186.516.694.404.624.764.324.554.683.083.233.33234LSR 0.01LSR 0.05SSR 0.01SSR 0.05PD-C=15*D-A=11*B-C=9*D-B=6*B-A=5*A-C=429231814DBACP=4P=3P=2平均数处理凡两极差LSRa，则为在a水平上差异显著；
29、反之，不显著。2.2.新复极差测验新复极差测验(SSRSSR法法)A.A.A.计算计算计算LSRLSRLSR B.B.B.排序排序排序C.C.C.比较比较比较D.小结 3.3.q q测验测验 l与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa时，不是查SSRa，而是查qa（附表7），查qa后 LSRa=SEqa所以不再详述。多重比较多重比较q为什么要进行多重比较q怎样进行多重比较q如何表示多重比较的结果q多重比较方法的选择三、如何表示多重比较的结果三、如何表示多重比较的结果有三种方法：l标记字母法l列梯形表法l划线法1.1.标记字母法标记字母法例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72
30、92 561161821 20 132024 26 221015 17 1428 27 29 32ABCD 平均总和Ti苗高观察值药剂iy1.1.标记字母法标记字母法iy差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aAp234LSR 0.054.404.624.76LSR 0.016.186.516.696A11B1.1.标记字母法标记字母法iy差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aAp234LSR 0.054.404.624.76LSR 0.016.186.516.69AB5B9C4C1.1.
31、标记字母法标记字母法iyp234LSR 0.054.404.624.76LSR 0.016.186.516.69差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aAABBCCbcc2.2.列梯形表法列梯形表法处理DBAC 平均数29231814差 异15*9*411*5*6*14iyiy18iy23iy3.3.划线法划线法29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)第二节第二节 多重比较多重比较q为什么要进行多重比较q怎样进行多重比较q如何表示多重比较的结果q多重比较方法的选择四、多重比较方法的选择四、多重比较方法的选择参考以下几点：v试验
32、事先已确定了比较的标准，如所有处理均与对照相比时，用LSDa法；v根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，LSD法最低，SSR次之，q法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用q测验，一般试验可采用SSR法。第二节第二节 多重比较多重比较q为什么要进行多重比较q怎样进行多重比较q如何表示多重比较的结果q多重比较方法的选择第二节第二节 多重比较多重比较作业：第120页习题第4题第三节第三节 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析例：研究6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种5盆小麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（mg），试
33、作方差分析施氮法112.912.312.212.512.712.52214.013.813.813.613.613.76312.613.213.413.413.013.12410.510.810.710.810.510.66514.614.614.414.414.414.48614.013.313.713.513.713.64第七章单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 1.自由度和平方和的分解自由度：总变异的自由度=65-1=29处理间的自由度=6-1=5误差的自由度=6（5-1）=24平方和：（按照公式进行计算）SST=45.763 SSt=44.463 SSe=SST-SSt=47
34、.763-44.463=1.3002.F测验(见下表)变异来源处理间误差总变异DF52429SS44.4631.300MS8.89260.0542F164.07*F0.013.90单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 1041.050542.0SE3.各处理平均数的比较pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.923.960.3040.41233.074.140.3190.43143.154.240.3280.44153.224.330.3350.45063.284.390.3410.457单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 多重比较结果：施氮法平均数1
35、4.2813.7613.6413.1212.5210.66差异显著性abbcdeABBCDE单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析例：某病虫测报站调查四种不同类型的玉米田28块，每块田所得玉米螟的百丛虫口密度列于下表，试问不同类型玉米田的虫口密度是否有显著差异？田块类型1234编号112149122131021131411101041513119515141286161113107171212811T=327Ti102738072yi14.5712.1710.0010.2911.68ni768728单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分
36、析 方差分析结果：变异来源田块类型误差总变异DF32427SS96.13129.98226.11MS32.045.42F5.91*F0.014.72单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析0nMSeSE)1)()(220knininin第四节第四节 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析例：用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一箱中移植4株，每组6个木箱，每箱1个处理。试验共有4组24箱，试验时按组排列于温室中，使同组各箱的环境条件一致。然后记录各箱见第一朵花时4株豌豆的总节间数，其结果为：处理对照赤霉素动力精吲哚乙酸
37、硫酸腺嘌呤马来酸总和组1606563646261375262656167656238236168616362623774606560616465375总和243263245255253250T=1509平均60.865.861.363.863.362.51 自由度和平方和的分解2 F测验3 各处理平均间比较方差分析结果为：变异来源组间处理间误差总变异DF351523SS5.4565.8743.30114.62MS1.8213.172.89F14.56F0.052.90推断：组间无显著差异，不同生长素处理间有显著差异。因为有预先指定的对照，故用LSD法，202.1489.22221nMsesyy
38、DF=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故；LSD0.05=1.2022.131=2.56，Lsd0.01=1.2022.947=3.54平均数比较的结果为：处理对照赤霉素动力精吲哚乙酸硫酸腺嘌呤马来酸平均数60.865.861.363.863.362.5与对照的差数-5.0*0.53.0*2.51.7两项分组资料的方差分析两项分组资料的方差分析 二、组内有重复观察值的两向分组资料的方差分析设有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。例：施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤
39、，以小麦为批示作物，每处理组合种3盆，得产量结果于下表：肥料种类A1A2A3总和平均盆123123123土壤种类B121.421.220.162.712.014.212.138.312.813.813.740.3141.315.7B219.618.816.454.813.013.712.038.714.213.613.341.1134.615.0B317.616.617.551.713.314.013.941.212.014.614.040.6133.514.8总和169.2118.2122.0T=409.4平均18.813.413.6方差分析的结果为：变异来源处理组合间肥料间土类间肥料土类试
40、验误差总变异DF82241826SS202.58179.383.9619.2416.70219.28MS25.3289.691.984.810.928F27.28*96.65*2.135.18*F0.01平均数的比较：（）各处理组合数平均数的比较肥料土壤的互作显著，说明各处理组合的效应各不相同，所以应对各处理组合平均数进行比较。用LSR法：PSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.974.071.652.2633.124.271.732.3743.214.381.782.4453.274.461.822.4863.324.531.852.5273.354.591.862.
41、5583.374.641.872.5893.394.681.882.60各处理组合平均数比较结果为：处理组合A1B2A1B2A1B3A2B3A3B2A3B3A3B1A2B2A2B1平均数20.918.317.213.713.713.513.412.912.8差异显著性0.05abbcccccc0.01ABBCCCCCC第五节第五节 数数 据据 转转 换换方差分析的基本假定数据转换第七章方差分析的基本假定方差分析的基本假定试验误差服从正态分布试验误差随机且相互独立试验误差的方差是同质的处理效应与误差效应是可加的第七章数数 据据 转转 换换反正弦转换平方根转换对数转换第二节第二节 单向分组资料方差
42、分析单向分组资料方差分析l单向分组资料是指观察值按一个方向分组的资单向分组资料是指观察值按一个方向分组的资料。料。l组内观察值数目相等的单向分组资料组内观察值数目相等的单向分组资料l组内观察值数目不等的单向分组资料组内观察值数目不等的单向分组资料组内观察值数目相等的单向分组组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析资料的方差分析品种品种ABCDE样点样点141333837312393735393434035353834处理和处理和12010510811499T=546处理平均处理平均403536383336.4l例：在栽培条件一致的情况下，比较例：在栽培条件一致的情况下，比较5个梨品种产量，每
43、品种随机抽取个梨品种产量，每品种随机抽取3个样个样点（每样点株数相同），结果如下表，进行方差分析。（单位：点（每样点株数相同），结果如下表，进行方差分析。（单位：kg/样点）样点）x组内观察值数目不等的单向分组组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析资料的方差分析类型类型短枝型短枝型1号号短枝型短枝型2号号普通型普通型小老树小老树观察数观察数11.71.92.21.421.81.72.31.531.81.62.41.441.61.82.51.351.71.82.41.661.81.82.41.771.91.82.481.81.72.391.81.92.2101.82.2112.2处理处理和和
44、17.716.025.58.968.1处理处理平均平均1.771.782.321.481.89l例：调查了元帅短枝型例：调查了元帅短枝型1号树和号树和2号树，及普通型与小老树的枝条节间平均长度，各组号树，及普通型与小老树的枝条节间平均长度，各组观察值数目不等，见下表，进行方差分析。观察值数目不等，见下表，进行方差分析。表表2 元帅不同类型树枝条节间长度（单位：元帅不同类型树枝条节间长度（单位：cm）作业：作业：1 假设有4个小麦新品系，进行完全随机盆栽试验，其结果如下表，试作方差分析。品系1234观察值1281416101016181412132016141616121210141816151
45、61414181218182 对对A、B、C、D、E等等5个杂交水稻品种的干物质积累过程进行个杂交水稻品种的干物质积累过程进行测定，每次每品种随机取测定，每次每品种随机取2个样点，每点个样点，每点5株，其中一次的结果如株，其中一次的结果如下表，试作方差分析。下表，试作方差分析。品种ABCDE样点1212121212干物质重量（g/株）7.812.17.46.212.615.25.86.413.811.78.910.68.86.610.215.14.76.815.117.29.28.78.95.311.412.36.68.113.415.611.49.97.87.511.812.57.47.21
46、2.615.110.510.19.88.112.112.97.97.916.615.8练习练习1：测定：测定4种种植密度下金皇后玉米的千粒重（种种植密度下金皇后玉米的千粒重（g）各各4次，得结果如下表。试作方差分析。次，得结果如下表。试作方差分析。密度（株667m2）A（2000）B（4000）C（6000）D（8000）千粒重（g）247238214210258244227204256246221200251236218210练习练习2：以稻草（：以稻草（A1）、麦草（）、麦草（A2）、和花生秸（）、和花生秸（A3）三种培养基，）三种培养基，在在28（B1）、）、32 （B2）、）、36 （
47、B3）三种温度下，培养草）三种温度下，培养草菇菌种，研究其菌丝生长速度。完全随机设计，每个处理组合培菇菌种，研究其菌丝生长速度。完全随机设计，每个处理组合培养养3瓶。记载从接种到菌发满全瓶的天数。结果如下表，试作方差瓶。记载从接种到菌发满全瓶的天数。结果如下表，试作方差分析。分析。培养基A1A2A3瓶号n123123123温度B15.04.24.56.56.25.86.46.87.0B24.04.64.15.25.65.47.47.87.2B35.54.85.26.05.86.27.88.07.4两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析l两向分组资料两向分组资料是指试验指标同时受两个因素的
48、作用而得到的观测值，又叫交叉分组。l按完全随机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料，其方差分析按各组合内有无重复观测值分为两种不同情况。两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析l组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析：l完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值的资料：注意方差分析中，不考虑两因素之间的互作（若互作存在，则与误差混淆，无法分析互作，也不能取得合理的试验误差估计。）两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析l例：将某经济树种苗木栽在例：将某经济树种苗木栽在4块不同的苗床上，每块苗床上的苗木又块不同的苗床上，每块苗床上的苗木又分别使用三种不同的肥料观察肥效差异，一年后于每一苗床的各施肥分别使用三种不同的肥料观察肥效差异，一年后于每一苗床的各施肥小区内用重复抽样方式各抽取苗木若干株，测其平均高，得资料如下小区内用重复抽样方式各抽取苗木若干株，测其平均高，得资料如下表。设已知苗高的分布近似正态，等方差。试问不同肥料（表。设已知苗高的分布近似正态，等方差。试问不同肥料（A）和不）和不同苗床（同苗床（B）对苗木高生长有无显著影响？）对苗木高生长有无显著影响？A（肥料）（肥料）A1A2A3B（苗床）（苗床）B1506352B2475442B3475741B4535848
