1、作者:黄孟生13-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念leFWFPFQabFAFBABC 某杆某杆,材料材料b=130MPa;截面截面A=230mm2,长长l=300mm,按强度条件，按强度条件，Fb=130230=7.8kN.但但实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？与截面形状有关，与截面形状有关，(如果如果Iy=Iz,且且I 越大，承载力就不同了）越大，承载力就不同了）zyFFhb与杆发生弯曲关与杆发生弯曲关与杆的长度有关与杆的长度有关FFF1实际压杆与弯曲有关的实际压杆与弯曲有关的因素还有因素还有：荷载不可避免地有一定的偏心；荷载不可避免地有一定
2、的偏心；杆轴线有一定初曲率；杆轴线有一定初曲率；材料本身的不均匀性。材料本身的不均匀性。什么是压杆的稳定性呢？什么是压杆的稳定性呢？（1）当）当FFcr时，时，撤去横向干扰力后，撤去横向干扰力后，压杆仍能恢复原有的压杆仍能恢复原有的直线平衡状态直线平衡状态。FFcr(a)(b)FFcr干扰力干扰力FFcr(c)原有的直线平衡状态原有的直线平衡状态是是稳定的。稳定的。（2）当）当FFcr时，时，在干扰力除去后，杆在干扰力除去后，杆件不能恢复到原直线件不能恢复到原直线位置，在曲线状态下位置，在曲线状态下保持平衡。保持平衡。(c)FFcrF Fcr(a)(b)F Fcr干扰力干扰力原有的直线平衡状态
3、原有的直线平衡状态是是不稳定的不稳定的。这种丧失原有平衡形式的现象称为这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，丧失稳定性，简称简称失稳失稳.Fcr压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力，压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力，即临界压力（临界荷载）即临界压力（临界荷载）。13-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力1.两端铰支的临界压力两端铰支的临界压力M（x）=Fcrw （a）E I w=M（x）（）（b）得得 E I w=Fcrw 令令 k2=Fcr/EI得得 w+k2 w=0 （c）w=Asinkx+Bcoskx （d）FcrxxyOlwFcrM(x)Fcr=Fw一一Euler公式公式k2=Fc
4、r/EIw=Asinkx+Bcoskx两个边界条件两个边界条件:（1）x=0，w=0 得：得：B=0:w=Asinkx（2）x=l，w=0 得：得：A sinkl=0012klnn，01 2crFnknEIl，01 2crFnknEIl，n=1 时：时：w=w0sinx/lwx=l/2=A=w0BFw0OFcrABw=A sinx/l B22crEIFl欧拉公式欧拉公式Fcrl/2xyOlw02、杆端约束对临界压力的影响、杆端约束对临界压力的影响w=w0sinx/l 正弦曲线正弦曲线 x=0，x=l:w=0 ,M=0,w=0 x=l/2:w=w0=wmax ，且且w=0Fcrl/2xyOlw0
5、=1=2=0.5=0.7Fcr 统一形式：统一形式：长度系数，长度系数，l相当长度相当长度FcrlFcrl2lFcrl/2l/4l/4Fcr0.7l0.3l22()crEIFl欧拉公式欧拉公式Fcrlxw0 xwo1)、一端固定，另一端自由、一端固定，另一端自由：0crMxFww 0crEIwFww 20wkwk w 0sincoswAkxBkxw0,0;0,0:xwxw0,cos0,1,3,5.2nxl wwklkln000,1 cosABw wwkx 222crEIFl2)、两端固定：、两端固定：ecrM xMF w ecrEIwMF w 2ecrMwkwkFsincosecrMwAkxB
6、kxF0,0,0;,0,0 xwwxl wwcos1,2,4.klklnnMexFcrlwlx0,1coseecrcrMMABwkxFF MeFcr220.5crEIFl3)、一端固定，另一端铰支：、一端固定，另一端铰支：0crM xF wF lx0crEIwF wF lx 02crF lxwkwkF0sincoscrFlxwAkxBkxF000,0,0;,0;,crcrxwwxl wFF lABkFF 22tan,4.49,0.7crEIklklklFl01sincoscrFwkxlkxlxFkMeFcrF0F0lxwxFcr（1）Fcr与与EI成正比，与成正比，与l2 成反比，且与杆端约束
7、有成反比，且与杆端约束有关。关。Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；（2）杆端约束情况对）杆端约束情况对Fcr的影响，是的影响，是通过长度系数通过长度系数来实现的。要根据实来实现的。要根据实际情况选择适当的际情况选择适当的。（3）当压杆在两个形心主惯性平面内）当压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束情况相同时，则失稳一定的杆端约束情况相同时，则失稳一定发生在最小刚度平面，即发生在最小刚度平面，即I 最小的纵最小的纵向平面。向平面。zyFFhb（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相同时，该杆的临界力应按
8、两个方向的同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/l)min值计算。值计算。（5）假设压杆是均质的直杆，且）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆实际压杆的临界力均小于理论值。的临界力均小于理论值。轴销轴销xzy问题的提出：问题的提出：能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？每根压杆是不是都会发生失稳？每根压杆是不是都会发生失稳？2l5l7l9l几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:13-3 欧拉公
9、式的适用范围与欧拉公式的适用范围与压杆的非弹性失稳压杆的非弹性失稳一、压杆的临界应力与柔度一、压杆的临界应力与柔度AIlEAlEIAFcr2222）（）（AIi2 22ilE =l/i 柔度，细长比柔度，细长比。越大，压杆越细长，越大，压杆越细长，cr 越小，越小，Fcr 越小，越不稳定。越小，越不稳定。cr22E即即22crEP 材料的比例极限材料的比例极限PP2E 细长杆（大柔度杆）细长杆（大柔度杆）二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围适用条件：适用条件：22crpE三、非弹性失稳的临界力三、非弹性失稳的临界力 当当P 时，时，压杆为中、小柔度杆压杆为中、小柔度杆。其失稳时的临。其
10、失稳时的临界应力界应力cr P。压杆失稳。压杆失稳非弹性失稳非弹性失稳。采用经验公式：采用经验公式：a、b为与材料有关的常数，单位：为与材料有关的常数，单位：MPa。适用范围：适用范围：P cr u或或 P u 当当 u时，时，压杆为小柔度杆或短粗杆压杆为小柔度杆或短粗杆。短。短粗杆的破坏是粗杆的破坏是强度破坏强度破坏。直线公式直线公式,crcrcrabFA令令 cr=u得：得：bauu 显然，显然，u是中柔度杆与短粗杆的分界值是中柔度杆与短粗杆的分界值。四、临界应力总图四、临界应力总图（3）0u，小柔度杆，小柔度杆，cr=u；（2）u P，中柔度杆，中柔度杆，cr=a-b；（1）P，大柔度杆
11、，大柔度杆，uppscr=a-b=u22crE22crE例例1 一一TC13松木压杆，两端为球铰。已知松木压杆，两端为球铰。已知:p=9MPa,b=13MPa,E1104MPa。压杆截面为如下两种：压杆截面为如下两种：（1）h=120mm,b=90mm的矩形；的矩形；（2）h=b=104mm的正方形（同面积）的正方形（同面积）试比较二者的临界力。试比较二者的临界力。解：解：（1）矩形：）矩形：3min13109012li115 4.ppE 2104 7.p 该杆为细长杆该杆为细长杆。21031222211 10120 9010121 3crEIFl（）79 9kN.zy3mFcr（2）正方形）
12、正方形 (b=h=104mm)1 3100 n(强度安全因素）强度安全因素）二、压杆的稳定计算二、压杆的稳定计算1、安全因数法（、安全因数法（nst)稳定较核稳定较核；截面设计截面设计；求容许荷载。求容许荷载。或或crststFFFncrststFAn2、折减因数法、折减因数法 ststcrn st stcrstunn01 与材料有关，不同的材料与材料有关，不同的材料 不同不同折减因数折减因数 FA 例例3 千斤顶，千斤顶，Q235钢，钢，l=800mm,d=40mm,E=210GPa,稳定安全因素稳定安全因素nst=3.0。试求。试求F。NstFFF20.81600.044pli解：解：22
13、9422210 100.04/64102kN(20.8)crEIFl34kNcrststFFFnFl例例4：厂房钢柱长：厂房钢柱长7m，由两根，由两根16b号号Q235槽钢组成。截槽钢组成。截面为面为b类。截面上有四个直径为类。截面上有四个直径为30mm的螺栓孔。的螺栓孔。=1.3，F=270kN，=170MPa。（1）求两槽钢间距）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度）校核钢柱的稳定性和强度。解解（1）求）求 h钢柱各方向的约束均相同。钢柱各方向的约束均相同。合理的设计应使合理的设计应使 Iy=Iz。查单根查单根16b号槽钢，得：号槽钢，得：A=25.15cm2，Iz0=934.5c
14、m4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，=10mm由平行移轴公式由平行移轴公式 Iy=2Iy0+A(z0+h/2)2=2Iz0h=8.23cmz0d y0hzy(2)校核钢柱的稳定性和强度校核钢柱的稳定性和强度.6 1cm149 2zIli.Ai，=F/Amin=70.5 MPa 故满足强度条件故满足强度条件.=F/A=53.7MPa查查13-1表表,=0.311,=52.9MPa,虽大于虽大于 ,但不超过但不超过5%,故满足稳定性要求故满足稳定性要求.例例5。桁架上弦杆。桁架上弦杆AB为为Q235工字钢，截面类型为工字钢，截面类型为b类，类，=170MPa，F=250kN。试选择工字
15、钢的型号。试选择工字钢的型号。L=4m。AB4m FA 229.41FAcm 2min30.62.01Acmicm，200li查型钢表查型钢表,选选18号工字钢号工字钢0.186，查表查表13-1,得得0.5与相差较大相差较大再试算再试算解：解：1、设0.50.1860.50.3432242.87FAcm 2min46.62.27Acmicm，176.2查型钢表查型钢表,选选22b b工字钢工字钢0.234，查表查表13-1,得得0.343与与相差较大相差较大再试算再试算2、设设2min55.452.495Acmicm，160.345.146.92FMPaMPaA 0.3430.2340.28
16、92250.89FAcm 查型钢表查型钢表,选选28a工字钢工字钢0.276，查表查表13-1,得得0.289与与相差不大相差不大3、设设故可选故可选28a工字钢工字钢,校核其稳定性校核其稳定性例例6：图示梁杆结构，材料均为图示梁杆结构，材料均为Q235钢。钢。AB梁为梁为14号号工字钢，工字钢，BC杆为杆为 d20mm的圆杆。已知：的圆杆。已知：F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa，s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。求校核该结构是否安全。300ABCDFl2l1l1dxNO.14zAB杆：杆：0cos3021.
17、65kNNFF0max1sin3015.63kN mMFl33max2621.65 1015.63 10163MPa21.5 10102 10NzFMAW300ABCDFl2l1l1dxNO.14z235168MPa1.4snCD杆：杆：02sin3025kNNFF31 0.5511010020 10/4pli229422206 100.002/6452.8kN()0.55crEIFl25kN29.3kNcrNstFFn如果如果CD杆为矩形截面，应如何计算？杆为矩形截面，应如何计算？300ABCDFl2l1l1dxNO.14z例例7：图示梁杆结构，材料均为图示梁杆结构，材料均为Q235钢。钢。
18、AB梁为梁为16号工号工字钢，字钢，BC杆为杆为d60mm的圆杆。已知的圆杆。已知E=200GPa，p=200MPa，s=235MPa，n=2，nst=3，求，求F.ABCF1m1m1.2m解解：1.求内力：求内力：BC 杆：杆：2、由梁的强度由梁的强度：F33kNABCF1m1m1.2mAB梁：max42FlFM2NFF 6maxmax6/2235 10141 102SzMFWn 如果如果BC杆为杆为bh的矩形截面的矩形截面,F 如何计算？如何计算？3、由压杆、由压杆BC的稳定条件：的稳定条件：F=32.2kNF404kNABCF1m1m1.2m2NFF NcrststFAn 80 uPli
19、214.4crabMPa例例8 图示支架中的两根杆均为相同材料的圆杆，图示支架中的两根杆均为相同材料的圆杆，AB直直径径16mm，CB直径直径32mm，CB长长1m。已知材料的。已知材料的E=2105MPa、p=200MPa、s=240Mpa；结构的强；结构的强度安全因数度安全因数n=2、稳定安全因数、稳定安全因数nst=3。试求结构容许。试求结构容许的的F值。值。FA B C 600FA B C 600FABFBC解解：求各杆的内力：由AB杆强度F13.9kN由BC杆的稳定条件：F17.3kN F=13.6kNFBC=-2F，FAB=3F sABFAn crBCststFFFn pli 22
20、104()crEIFkNl一、选择合理的截面形式一、选择合理的截面形式1、当、当y、z方向约束相同方向约束相同,使使 Iy=Iz，得：，得：y=z 2、当、当Iy=Iz时，尽可能在面积一定的情况下，增大惯时，尽可能在面积一定的情况下，增大惯性矩性矩I。3、当、当y、z方向约束不同，方向约束不同，y=z使使 得：得：Iy Iz，4、使每个分支和整体具有相同的稳定性。、使每个分支和整体具有相同的稳定性。分支分支=整体整体二、减少相当长度和增强杆端约束二、减少相当长度和增强杆端约束1、增强约束；、增强约束；2、设置中间支撑。、设置中间支撑。三、合理选用材料三、合理选用材料选用弹性模量较大的材料，可提
21、高杆选用弹性模量较大的材料，可提高杆的稳定性。的稳定性。13-6 纵横弯曲问题纵横弯曲问题当梁的弯曲刚度当梁的弯曲刚度EI很大时，很大时，压弯组合压弯组合当梁的弯曲刚度当梁的弯曲刚度EI很小时，必须考虑轴很小时，必须考虑轴向力在横向变形上产生的附加弯矩向力在横向变形上产生的附加弯矩纵横弯曲问题纵横弯曲问题ABql/2Cl/2FFxwyxwmax 222qlqM xxxFw222qlqEIwxFwx 222()22kqlqwk wxxF0,0,0;xwxl w22(tan sincos1)()2qqwukxkxlxxFkF2/kFEIFql/2M(x)Fwxq令令/2ukl=22tan,qqAu
22、 BFkFk=22sincos22qlqFwAkxBkxxxqFFk42max512.2(1.)38430qlwuEI22max5(1.)812qlMu2max222max(sec1)82(sec1)8qqlwuk EIk EIqluMumaxmaxzMFAWx=l/2:u=/2Secu级数展开级数展开当当/2ukl22EIFlsecu maxmax,wM 可见可见:只要轴向力趋于临界力时只要轴向力趋于临界力时,无论无论横向力多小横向力多小,杆将发生失稳破坏杆将发生失稳破坏13-7 大柔度杆在小偏心距下大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩的偏心压缩EI很大很大偏心压缩。偏心压缩。EI很小叠加很小叠加
23、原理不成立。原理不成立。M（x）=F(e+w)（a）E I w=M（x）（）（b）得得 E I w=F(e+w)令令 k2=F/EI得得 w+k2 w=k2e （c）w=Asinkx+Bcoskxe （d）FxxyOlwFew0l/2k2=F/EIw=Asinkx+Bcoskxe三个边界条件三个边界条件:（1）x=0，w=0 得：得：B=e:w=Asinkx+e(coskx1)（3）x=l/2，w=w0 得：得：（2）x=l，w=0 得：得：A=e(1-coskl)/sinkl=etankl/2max0()sec2klMF e wFemaxsec2zFFeklAWw=e(tankl/2.sinkx+coskx1)0(sec1)2klwe(1)(2)(3)由以上三式可见，由以上三式可见，w0、Mmax和和max与与F不成线不成线性关系，叠加原理不成立。性关系，叠加原理不成立。不同偏心距对压力不同偏心距对压力F的影响的影响：由（由（1）式可算出不）式可算出不同偏心距下的同偏心距下的Fw0值，值，可作出一系列可作出一系列Fw0曲曲线，如图。线，如图。BFw0OFcrAe3e1e2e1e2e3e=0max0()sec2klMF e wFemaxsec2zFFeklAW0(sec1)2klwe
