1、 w 博弈论（game theory)是由美国数学家冯冯诺依曼诺依曼(Von.Neumann)和经济学家摩根斯坦(Morgenstern)于1944年创立的带有方法论性质的学科，它被广泛应用于经济学、军事、政治科学、人工智能、生物学、火箭工程技术等。在1994年，三位博弈论专家即数学家纳纳什什(Nash，他的故事被好莱坞拍成了电影美美丽心灵丽心灵，该影片获得了2002年奥斯卡金像奖的四项大奖)、经济学家海萨尼（Harsanyi）和泽尔滕（Selten）因在博弈论及其在经济学中的应用研究上所作出巨大贡献而获得诺贝尔经济学奖。w 1996年，两位将博弈论应用于不对称信息下机制设计的经济学家莫里斯(
2、Mirrlees)和维克里(Vickrey)、以及2001年三位经济学家阿克洛夫(Akerlof)、斯蒂格利茨(Stiglitz)和斯宾塞(Spence)因运用博弈论研究信息经济学所取得的成就而成为这两个年度的诺贝尔经济学奖得主。专家预计，近几年还会有更多的博弈论专家可能获得诺贝尔经济学奖。w 为什么博弈论在经济学领域会产生如此大的影响呢？这是因为博弈论改变了传统微观经济学的某些，从一个独特的视角帮助我们更加深刻地理解和把握经济现象，并指导更加有效的经济政策制订。博弈论作为现代经济学的前沿领域，已成为占据主流的基本分析工具。w 博弈论是一门十分有趣但理论上又是十分艰深的学问，我今天打算用一些大
3、家能够凭直观或简单分析就能把握的例子为大家介绍博弈论的基本概念及应用，以引起大家对这门目前已成为热门科学的兴趣和获得初步的了解。这些例子也是我们在日常生活中经常所遇到的问题或观察到的现象，通过博弈论，我们能够更加深刻地理解它们。1.囚徒困境囚徒困境 两个小偷甲和乙联手作案，私入民宅被警方逮住但未获证据。警方将两人分别置于两间房间分开审讯，政策是若一人招供但另一人未招，则招者立即被释放，未招者判入狱10年；若二人都招则两人各判刑8年;若两人都 不招则未获证据但因私入民宅 各拘留1年。表1 囚徒困境博弈 乙 招 不招 招 甲 不招（问题1：甲、乙如何选择？）-8,-80,-10-10,0-1,-1
4、 甲和乙是参与博弈的人，称为“局中局中人人”。表1中每一个小方格内的数字被称为局中人的支付支付，其中左边的数字代表甲的支付，右边的是乙的支付。表1中的双变量矩阵称为博弈支付矩阵。甲或乙可以作出的选择被称为“战战略略”，如“招”或“不招”都是战略。对甲来说，尽管他不 知道乙是选择了“招”还是“不招”，他发现他自己选择“招”都是比选择“不招”为好的。因此，“不招”是相对于“招”的劣战略，他不会选择劣战略。所以，甲会选择“招”。同样，根据对称性，乙也会选择“招”，结果是甲乙两人都“招”。甲和乙都不会选择劣战略“不招”，称为“剔除劣战略的占优战略均衡”。其中“招”是占优于(优于)“不招”的占优战略。囚
5、徒困境博弈虽然简单，但是却体现了非合作博弈的基础，称（招，招)为“纳什均衡纳什均衡”。纳什均衡是局中人战略选择上构成的一种“僵局”，给定其他局中人的选择不变，任何一个局中人的选择是最好的，他也不会改变其战略选择。所以，可以预期（招，招）是甲乙最终完成的稳定的选择。同时囚徒困境也是西方经济学中个人理性个人理性与集集体理性体理性冲突的一个例证。我们可以利用这个道理来分析日常生活中的许多不合作现象2.生活中的“囚徒困境”例子w w 出售同类产品的商家之间本来可以通过共同将价格维持在高位而获利，但实际上却是相互杀价，结果都赚不到钱。w 当一些商家共谋将价格抬高，消费者实际上不用着急，因为商家联合维持高
6、价的垄断行为一般不会持久，可以等待垄断的自身崩溃，价格就会掉下来。w 譬如，2000年我国几家生产彩电的大厂商合谋将彩电价格维持高位，他们搞了一个“彩电厂家价格自律联盟”，并在深圳举行了由多家彩电厂商首脑参加的“彩电厂商自律联盟高峰会议”。当时，国家有关部门还未出台相关的反垄断法律，对于这种在发达国家明显属于违法行为的所谓“自律联盟”，国家在法律上暂时还是无能为力的。寡头厂商在光天化日之下进行价格合谋，并且还通过媒体大肆炒作，这在发达国家是不可思议的。w 但是，尽管政府当时无力制止这种事情，公众也不必担心彩电价格会上涨。这是因为，“彩电厂商自律联盟”只不过是一种“囚徒困境”，彩电价格不会上涨。
7、在高峰会议之后不到二周，国内彩电价格不是上涨而是一路下跌。这是因为厂商们都有这样一种心态：无论其他厂商是否降价，我自己降价是 有利于自己的市场份额扩 大的。w 类似的例子还有：渤海中的鱼愈来愈少了，工业化中的大气及河流污染，森林植被的破坏等。解决公共资源过度利用的出路是政府制订相应的规制政策加强管理，如我国政府规定海洋捕鱼中，每年有一段时间的“休渔期”，此时禁止捕鱼，让小鱼苗安安静静地生长，大鱼好好地产卵，并对鱼网的网眼大小作出规定，禁用过小网眼的捕网打鱼，保护幼鱼的生存。又如在三峡库区，为了保护库区水体环境，关闭了前些年泛滥成灾的许多小造纸厂等。问题：1、为什么在城市中心道路上禁止汽车鸣 喇
8、叭？2、为什么要成立为什么要成立WTOWTO？w 1.智猪博弈智猪博弈w 猪圈中有一头大猪和一头小猪，在猪圈的一端设有一个按钮，每按一下，位于猪圈另一端的食槽中就会有10单位的猪食进槽，但每按一下按钮会耗去相当于2单位猪食的成本。如果大猪先到食槽，则大猪吃到9单位食物，小猪仅能吃到1单位食物；如果两猪同时到食槽，则大猪吃7单位，小猪吃3单位食物；如果小猪先到，大猪吃6单位而小猪吃4单位食物。表2给出这个博弈的支付矩阵。表2 智猪博弈 小猪 按 等待 按 大猪 等待5,14,49,-10,0w 这个博弈大猪没有劣战略。但是，小猪有一个劣战略“按”，因为无论大猪作何选择，小猪选择“等待”是比选择“
9、按”更好一些的战略。w 所以，小猪会剔除“按”，而选择“等待”；大猪知道小猪会选择“等待”，从而自己选择“按”，所以，可以预料博弈的结果是(按,等待）。这称为“重复剔除劣战略的占优战略均衡”，其中小猪的战略“等待”占优于战略“按”，而给定小猪剔除了劣战略“按”后，大猪的战略“按”又占优于战略“等待”w 2.例子w 在经济生活中，有许多“智猪博弈”的例子。w 例子：股市博弈 在股票市场上，大户是大猪，他们要进行技术分析，收集信息、预测股价走势，但大量散户就是小猪。他们不会花成本去进行技术分析，而是跟着大户的投资战略进行股票买卖，即所谓“散户跟大户”的现象。问题：为何股份公司中的大股东才有投票权？
10、为什么中小企业不会花钱去开发新产品为什么中小企业不会花钱去开发新产品？w 如果局中人在进行行动选择时有先后顺序先后顺序之分，这种博弈就被称为“动态博弈动态博弈”。w 例子3 欧共体在空中客车与波音公司的竞 争中对空中客车公司的战略性补贴。w 欧共体为了打破美国波音公司对全球民航业的垄断，曾放弃欧洲传统的自由竞争精神而对与波音公司进行竞争的空中客车公司进行补贴。表3 未补贴时的博弈 空中客车 开发 不开发 开发 波音 不开发-10,-10100,00,1000,0w 此时有两个纳什均衡，即一家开发而另一家不开发。w 下面，考虑欧共体对空中客车进行补贴补贴20个单位的情况。此时，当两家都开发时，空
11、中客车仍然盈利盈利10单位而不是亏损，博弈矩阵见表4表4 有补贴时的博弈 空中客车 开发 不开发 开发 波音 不开发-10,10100,00,1200,0w 这时只有一个纳什均衡纳什均衡，即波音公司不开发和空中客车公司开发的均衡（不开发,开发），这有利于空中客车。w 在这里，欧共体对空中客车的补贴就是使空中客车一定要开发（无论波音是否开发）的威胁变得可置信的一种“承承诺行动诺行动”。w 例子：为什么大人物、大公司要聘请常年律师w 大人物、大公司对声誉十分看重，因而有一些不良人物或公司通过诽谤大人物、大公司企图迫使大人物、大公司花钱“私了”而获利。这是因为，尽管对于一些无端的指控，大人物、大公司
12、可望通过法律手段（打官司）而出清了结，但打官司请律师会增加他们额外的成本。如果能花稍少一些钱“私了”，则既使自己清白又省钱，同时诽谤者也获得收入。w 大人物、大公司为了避免这种无端的损失，干脆花钱请常年律师，律师费用已经一次性支付，打官司不会带来额外的花费。这是一个承诺行动，它告诉潜在的诽谤者，大人物、大公司一旦受到无端诽谤必定会让他们吃官司。这样，大人物、大公司因此承诺行动而使自己得到保护，避免了许多无端指控的发生。我们可以运用“承诺行动”的原理来分析许多经济及军事现象。例子 。例子 w 博弈论作为经济学研究的有力工具，真正大行其道是在70年代不对称信息下经济行为分析的兴起。不对称信息指一些
13、局中人拥有别的局中人不拥有的“私私人信息人信息”，也就是说一些局中人知道别的局中人不知道的某些情况。下面用一些例子说明这种情形下的博弈行为。问题：二手车市场为什么难以建立？二手车市场为什么难以建立？w 在发达国家，二手车（旧车）的价格往往比新车差一大截，即使旧车本身没有什么质量问题，一旦旧车进入二手车市场，其价格就会与新车相比差得老远。在我国许多城市，二手车市场甚至难以建立起来，原因是进入市场的买车人太少。这是为什么呢？二手车市场的博弈理论为我们解答了这个谜。在二手车市场上，卖车人比买车人更多地知道车的质量情况，但卖车人不会将旧车的质量问题老老实实地告诉买车人。买车人也知道这种情形，因此，买车
14、人在开出价格时会考虑到车的质量问题。假定没有问题的好车价值20万元万元，有问题的坏车只值10万元万元，并且设买车人认为市场上出现好车和坏车的可能性各占一半。这时，买车人开出的价格不会高于1/220+1/210=15万元万元。这样，如果卖车人的车果真是好车，他就不会出售，好车退出市场，但当卖车人的车是坏车时，他会十分积极地将只值10万元的车按15万元卖给他。w 但买车人知道愿意按15万元卖的车一定是坏车，从而认定市场上全是坏车。所以，除非他愿意买一辆坏车，否则他会退出市场。当他愿买坏车时，他只开出10万元的价。于是，旧车市场或者建立不起来，没有买主，或者充斥着坏车，真正的好车退出市场，而坏车在不
15、断成交，但价格很低。w 类似现象广泛存在如人才市场人才市场、信贷市场信贷市场等。如一个公司往往流走的是能力强的人，因为公司不能正确评价一个能力强的员工的能力，给予的薪水低于其市场价值。例子：垄断厂商的低价销售：信号传递博弈垄断厂商的低价销售：信号传递博弈 有许多垄断厂商并未如人们所料想的那样给商品定出一个很高的价格，而是以较低的价格长期销售某种产品。譬如，发达国家的私营铁路、航空、海运码头等的价格都远低于按照其垄断定价方法定出的价格。这是什么原因呢？w 记得有一个电视剧，其中有一个情节是一位武林豪杰在交通要道边开了一个酒馆。生产十分兴隆，引起另一位武林高手的垂涎。这位武林高手决定打败那位豪杰然
16、后霸占酒馆。两强相遇，武林豪杰和武林高手相互之间不知对方底细，于是来一番比试。本来，他们俩可以通过打斗来解决问题，但打斗一场双方都会有所损伤，不如通过其他方式比较武功高低。豪杰拿来5块砖，一掌将其击碎，高手也不示弱，照样击碎5块砖。于是，豪杰又拿来10块砖，同样是一掌击个粉碎，高手见之，心中没底，于是明白自己武功较豪杰还差一截。于是，这位武林高手甘拜下风，放弃了原来的计划，弃剑而去。w 这个电视剧情节在博弈论中被称为“信号传递博弈信号传递博弈”。豪杰身怀绝技、天下无敌。但其他人不一定会相信他是武林第一高手，除非亲自与之交手并败于他。交战虽然可以决出高下，但对双方都会有损失，打个头破血流对谁都不
17、是好事。当然，豪杰可以对外宣布他的武功非凡，其他人不是他的对手，但即使豪杰没有什么本事，也可以如此对外宣布。所以，仅凭口头宣布是难以令人信服的。俗话说，是骡子是马，拉出去蹓蹓。豪杰用过人武功劈掉别人难以模仿的十块砖，就向别人发出一个信号信号。这个信号向外传递的信息是：我的武功高强，你们不可匹敌我的武功高强，你们不可匹敌。这样，不用打斗就决出高下，避免了打斗带来的更大损失。现在，我们用这个“信号传递信号传递博弈博弈”的原理，来解释为何一些垄断厂商长期在低价格水平上经营。如果这个垄断厂商是一个低生产成本的厂商，当其它较高生产成本厂商也进入这个厂商所经营的行业与之进行竞争时，原先的那个垄断厂商可以通
18、过降价将进入者赶出这个行业，从而继续维持垄断经营。由于垄断厂商有更低的生产成本，所以，它能够将产品价格降到比进入厂商的生产成本还要低的水平上，这就造成进入者或者高价格经营导致顾客流失，或者同样也降价但价格低于成本，两种情形进入者都会亏损，最后不得不退出行业。但是，这种“打斗”行为尽管可以击退进入者，但由于一段时间的降价经营可能对垄断者带来较大损失。垄断者为了避免这种损失，可以向外宣布它是低成本的，别的厂商休想进来与它竞争。但仅凭口头宣布人家是不会相信的，因为即使垄断者不是低成本的厂商，它也会如此宣布。w 一种方法就是，正如电视剧中的故事那样，垄断者向外发送一个信号信号，向外界传递它真是低成本的
19、信息。它可以长期在一个较低价格水平上经营。如果它的价格足够低，高成本厂商不敢模仿，行内厂商会据此判定它确是低成本的。同时，它的价格也不能太低，以致于较之与进入者进行降价竞争，其损失为小一些。这样，垄断者才会采取如此策略。潜在的高成本进入者不敢进入，垄断者得以保持长期的垄断地位。w 问题：1、为什么有的商品广告既无商品的价格信息又无售货地点信息，只有明星的表演？w 2、为什么西方国家许多实力雄厚的公司还要向银行借很多钱？w 小孩玩的游戏“石头，剪子，布石头，剪子，布”，也是一种博弈。但是，这个博弈有一种有趣的特征，即给定一方的任何选择，另一方都有制胜对方的战略，所以，给定一方任何一个战略，对方都
20、有制胜这个战略的战略，因而这个战略不是最优的。任何“纯战略”都不是最优的，纯战略是“石头，剪子，布”中的任何一个 但是，我们知道，玩这个游戏是总是以对方不易猜出的随机方式随机方式出招。事实上，可以通过数学证明，当双方都以每个战略按1/3的概率的概率出招时，达成一种双方都不愿改变这种概率分布的局面。这被称为“混合战略纳什均衡混合战略纳什均衡”，而这种以随机方式选择纯战略的博弈被称为“混合战略博弈”。以混合战略博弈的概念，我们来看下面这个例子。w例子：如果曹操与诸葛亮一样聪明：三国演义中的华容道博弈华容道博弈w 在三国演义中，曹操在赤壁大战中一败涂地，率残兵败将向许都方向逃窜。诸葛亮命关羽率兵在途
21、中阻截曹军。当时，第一批拦截大军是赵云赵云率领的，第二批拦截大军是张飞张飞带队的，第三批才是关羽关羽率部伏击。由于曹军兵多将广，前二批伏击军不能逮住曹操，只是抢劫一些军械马匹之类。待曹军冲过赵云、张飞两道关后，进入关羽的伏击地带。但是，当时关羽与曹操相遇的地方有两条道，一条是华容一条是华容道道，除此外还有另一条大道另一条大道。诸葛亮令关羽伏兵于华容道，并且要求关羽在华容道上点燃树枝冒出烟雾引曹操到来。当时关羽不解，问诸葛亮，“如果在伏兵之处点火，岂不令曹兵看见而改走另一条道逃脱？”诸葛亮叫关羽不要再问，只如此照办即可。w 当曹操冲破赵云、张飞的阻截后，来到华容道前，看见华容道上静悄悄的，但有烟
22、火萦绕。曹操大笑道：“孔明以为我会上他的当，故意叫人在华容道上点火让我走另一条道，而他却伏兵于这条道上好逮住我呢！我偏不上他的当！”于是，曹操令大军径直上华容道上而去，结果与关羽大军撞个正着。w 曹操为何进了孔明的圈套呢？这里的道理是这样的：孔明知道曹操是聪明聪明人，而聪明人见华容道上有烟火会认为华容道上有伏兵，于是会避开华容道而走另一条路。如果孔明令关羽在另一条路等着，曹操就被逮住了。但是，曹操不仅聪明，而且还聪明过人聪明过人，他也知道孔明的如此盘算来诱他上钩，他偏不上当，知道点火的华容道上无人，孔明的队伍在另一条道上呢！于是他选择走华容道。w 但是，依三国演义三国演义作者罗贯中的逻辑，孔明
23、总是比曹操计高一筹计高一筹，按博弈论的术语来说，就是孔明的理性程度理性程度要比曹操高上一阶。孔明也知道曹操知道孔明的打算，于是令关羽正好在点火的华容道上等着曹操。三国演义三国演义中的这个故事很可能是作者编造的，因为在三国志三国志中并无这一情节。这里，罗贯中假设了曹操在智力上比孔明差一些，才有华容道上被关羽抓住，要不是关羽旧情难忘，曹操就死无葬身之地了 但是，如果我们不假定曹操比孔明要笨一些，而是相反假定曹操与孔明一一样聪明样聪明，则曹操又知道孔明知道曹操知道孔明的打算，曹操就会知道关羽在华容道上等着他呢？此时曹操就避开华容道走另一条路。但是，这还没有完，因为若孔明知道曹操知道孔明知道。显然，最
24、终的结果是曹操与孔明玩混合混合战略博弈战略博弈，曹操随机地以1/2的概率选择走华容道和另一条路，孔明也以1/2的概率令关羽守华容道或另一条路。于是，三国演义中的这一情节就应作如下改写：w “诸葛亮抛出一枚硬币，决定关羽是守华诸葛亮抛出一枚硬币，决定关羽是守华容道呢还是另一条道容道呢还是另一条道，而曹操也掷出一，而曹操也掷出一枚硬币，决定是走华容道呢还是走另一条枚硬币，决定是走华容道呢还是走另一条路。路。”w 平均看来，曹操有1/2的概率逃脱，而关羽也只有1/2的概率抓住曹操。如果说关羽在华容道上抓住了曹操，则纯属偶然、并非孔明比曹操计高一筹所致！w 如果恰当进行机制设计，前述囚徒困境还是可以避
25、免的，下面是一些社会生活中的真实例子。有这样一个故事，称为“旅行者困境旅行者困境”，说的是有两个旅行者甲和乙从一个以出产花瓶的著名旅游胜地回来时，他们都买了花瓶。提取行查时，发现花瓶被碰破了。他们向航空公司索赔。航空公司估计花瓶的价格在80或90元的价位左右，但不知道这两位旅客购买的准确价格。航空公司要求两位旅客在100元以内元以内自己写下花瓶价格。若两人写的相同，说明他们说了真话，就照他们写的数额赔偿；如果两人写的不一样，那就认定写得低的旅客讲的是真话，按这个低的价格赔偿，但是对讲真话的旅客奖励奖励2元元钱，对讲假话的旅客罚款罚款2元元。w 如果两人都写100元，他们都会获得100元。但是，
26、给定乙写100元，甲改写99元，则他会获得101元。乙又想，若甲写99元，他自己写98元，比写100元好，因为这样他获100元，而写100元当甲写99元时自己却只获97元。而给定乙写98元，甲又会写97元，这样，如果不说真话，最后落得每人都只写1、2元的境地。例子 飞机、轮船等设立头等舱、经济舱飞机、轮船等设立头等舱、经济舱的道理是什么？的道理是什么？无论是买票乘飞机、火车还是轮船，不同的人所愿意支付的价格实际上是不一样的。有的人收入高一些，或对花钱看得比较松一些，就可以支付较高的价格，相反，收入低的人或对花钱看得比较紧一些的人，就只愿支付较低的价格。但是，如果你问他们愿意支付什么样的价格，他
27、们都必定说愿支付较低的价格，因为既使有钱人有也会在同样服务下以低价购买划算一些。w 飞机或轮船公司为了将这些在经济学中被称为具有不同支付意愿的人区分开来，让能支付较高价格的人支付较高价格，就设计了一种“信息甄别信息甄别”的机制，这种机制就是设立头等舱、二等舱、三等舱，等等。这种机制发挥作用的道理是这样的，我们可以用著名的“所罗门王断案所罗门王断案”的故事来说明。所罗门王是古代以色列国的一位以智慧著称的君主。一次，两个女人为争夺一个 婴儿争扯到所罗门王殿前，她们 都说婴儿是自己的，请所罗门王作主。所罗门王稍加思考后作出决定：将婴儿将婴儿一刀劈为两段，两位妇人各得一半。一刀劈为两段，两位妇人各得一
28、半。这时，其中一位妇人立即要求所罗门王将婴儿判给对方，并说婴儿不是自己的，应完整归还给另一位妇人，千万别将婴儿劈成两半。听罢这位妇人的求诉，所罗门王立即作出最终裁决婴儿是这位请求不杀婴儿的妇人的，应归于她。w 这个故事讲的道理是，尽管所罗门王不知道两位妇人中谁是婴儿的母亲，但他知道婴儿真正的母亲是宁愿失去孩子也不会让孩子被劈成两半的。所罗门王正是利用这一点，一下就识别出谁是婴儿的真正的母亲了。所罗门王的这种方法在博弈论中被称为“机制设计”，即设计一套博弈的规则，令不同类型的人作出不同的选择，尽管每个人的类型可能是隐藏的，别人观察不到，但他们所作出的不同选择却是可以观察到的。观察者可以通过观察不
29、同人的选择而反过来推演出他们的真实类型。当飞机或轮船的舱位条件和价格完全一样时，不同支付意愿的人都会以最低价格买票，不会有人愿支付比别人更多的钱去买相同的舱位的票。于是，航空公司或轮船公司将舱位分成头等舱、二等舱，等等，价格稍有不同，当然服务也不同，就将不同支付意愿的顾客区分开了。类似的还有，酒店的星级分类，五星级、四星级、三星级，酒店，冰棍的不同品种与价格，影剧 院的不同座位价格表 等等，都是实现信息 甄别的机制设计。w 博弈论中涉及到的生活中的各种经济学道理是十分多而有趣的。这里因时间关系还有许多有趣的例子没有为大家介绍，各位听众有机会可以通过其它的著作了解到博弈论深遂的道理及其在经济分析
30、中的应用，希望大家能通过这种学习能对博弈论有更深入的认识。推荐书目推荐书目w 初级:w 谢识予,经济博弈论经济博弈论,复旦大学出版社w (美)罗伯特.吉本斯 博弈论基础博弈论基础,中国社会科学出版社w 中级:w 张维迎,博弈论与信息经济学博弈论与信息经济学,上海三联书店,上海人民出版社w 高级:w(美)朱.弗登博格 (法)让.梯若尔,博弈论博弈论,中国人民大学出版社问题1、为什么在城市中心道路上禁止汽车鸣喇叭？2、为什么要成立为什么要成立WTOWTO？3、为何股份公司中的大股东才有投票权？4、为什么中小企业不会花钱去开发新产品为什么中小企业不会花钱去开发新产品？5、为什么有的商品广告既无商品的
31、价格信息又无售货地点信息，只有明星的表演？6、为什么西方国家许多实力雄厚的公司还要向为什么西方国家许多实力雄厚的公司还要向银行借很多钱？银行借很多钱？不不 投投 机机 定定 理理 w 过年了，老爸又要派红包了。这一回，老爸想借着发红包的机会，考考两个儿子的智力。他说：“我这两个红包有点古怪。一个里面封的钱数是的次的次方方，另一个里面是的（）的（）次方。我老糊涂了，记不清哪个红包里放了多少钱，也忘了是多少，只记得是从到是从到的某一个数。你们俩兄弟就每人随便挑一个红包，看看自己运气如何吧。”w 于是，两个儿子各拿了一个红包，回到自己房间里。老大打开红包一看，里面是元。他就想了：老二红包里可能有块，
32、也有可能只有块，两者的可能性是对半开，期望值就是元.另一个房间里，老二发现自己得了块，私下里也在琢磨：老大的红包里，有块和块的可能性各是二分之一，期望值是5块。w 正想着，老爸来到老二房间，看了他的红包，说道：“我刚从老大房里来，知道你们各有多少钱了。咱们打个赌怎么样？你给我一块钱，我就替你去问问老大，愿不愿意跟你换。他要愿意呢，我就给你们掉换一下红包；不愿意呢，就算了。你干不干呀？”w 老二很精明，心下盘算,这赌注对我有利无弊，何乐而不为？老爸如法炮制，老大也觉得此提议有利无弊，当然愿意。w 调换之后，自然有人欢乐有人愁。老二以多换少，虽不高兴，也只埋怨运气不佳，不觉得自己计算有何不对。最伤心的是老爸。两个儿子看似精明，还是不免犯下愚蠢的推理错误居然愿意打赌！w 想想看，两个儿子的推理，错在哪里？想想看，两个儿子的推理，错在哪里？约翰约翰纳什纳什(John.F.J.Nash）w 1928年生于美国西弗吉尼亚，1950年于普林斯顿获数学博士学位，曾任教于MIT，现为普林斯顿大学教授。主要著作为：n人博弈中的均衡（）,不合作博弈论（).
