1、立体几何中的各类角的求解专练一、 选择题1已知，是空间不共面的四个点，且，则直线与（ ）A垂直 B平行 C相交 D位置关系不确定【答案】A【解析】 过点作平面，垂足为，由三垂线定理可得同理，所以故选2如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，若，则异面直线和所成角为( )A B C D【答案】D【解析】M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，MNAD1，CMN=90，CMMN，CMAD1，由长方体的几何特征,我们可得CDAD1，AD1平面CDM故AD1DM即异面直线AD1与DM所成的角为90故选D3线段AB的两端在直二面角l的两个面内，并与这两个面都成30角，则异面直线AB与l所成的角是()A30
2、B45C60 D75【答案】B【解析】设AB=a，在平面内，作AAl于A，则AA，连AB，则ABA=30.在RtAAB中，AB=a，所以AA=a.同理作BBl于B，连AB，则BAB=30，所以BB=a，AB=a，所以AB=a，过B作BCAB.连接AC，则ACBB，连接AC，在RtAAC中，AC=a.由BC平面AAC，所以ABC为直角三角形，且AC=BC，所以ABC=45，为l与AB所成角.选B.4如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为() A90 B45C60 D30【答案】D【解析】设 为 的中点，连接 则 分别为 ，三角形
3、的中位线则 ，且 且 则 与 所成角的度数等于与 所成角的度数又 则 为直角三角形， 则在直角中， 故选D5设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条【答案】B【解析】如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故选B6已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为() A75 B60C45 D30【答案】B【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：
4、PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tan PAO，PAO60.选B.7在三棱锥中，平面，已知，则二面角的平面角是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为平面平面，即为二面角的平面角，又，所以，故为直角三角形，二面角的平面角是，故选D.8将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则AMD的大小是()A45 B30C60 D90【答案】D【解析】如图，设正方形边长为a，作AOBD，则AM 又ADa，DM，AD2DM2AM2，AMD90.选D.9正四棱锥(顶点在底面的射影
5、是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30 B45C60 D90【答案】C【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan (设为所求平面角)，所以二面角为60，选C.10在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120【答案】C【解析】如图，由ABBC1，ABC90知ACM为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CM
6、A为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90，故选C11如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABD【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面, 平面，所以平面，又平面，所以平面平面。选D。12如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ ）A B C D【答案】A【解析
7、】取BC的中点E，连接AE，DE，则DE底面ABC，DAE为AD与平面BC所成的角设三棱柱的棱长为1，则AE，DE，tanDAE，DAE30故选：A二、填空题13如图，在正方体中，直线与所成角大小为_【答案】【解析】连接，交于点，再连接，是在正方体中 则是直线与平面所成的角，设正方体的边长为1 则直线与平面所成的角的大小为 故答案为14在长方体中，则直线与平面所成角的余弦值等于_【答案】【解析】连接，在长方体中，平面，是直线与平面所成角，直线与平面所成角的余弦值：故答案为：15在三棱锥中，平面，则直线与平面所成角的大小为_【答案】【解析】作ADPC，连接BD， PA平面ABC，BC平面ABC，
8、PABC，ACBC，PAACA，BC平面PAC，AD平面PAC，BCAD，ADPC，BCPCC，AD平面PBC，ABD为AB与平面PBC所成角，在直角PAC中，由等面积可得AD，在直角ADB中，sinABD=，ABD=AB与平面PBC所成的角为，故答案为：16等腰直角ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为_【答案】【解析】结合题意可知,所以,而发现 所以,结合二面角的找法:如果两平面内两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故为所求的二面角,为三、解答题17如图,在底面为直角梯形的四棱锥中， 平面，,
9、.(1)求证: 平面；(2)求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于，平面，平面又，即又平面（2）连接平面，为二面角的平面角在中，二面角的大小为18如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。（1）求证：MN平面PBD； （2）求证：平面；（3）求PB和平面NMB所成的角的大小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】MN和PB的位置如右图示：（1）NDMB 且NDMB，四边形NDBM为平行四边形MN/DB平面PDB,平面PDBMN平面PBD（2）平面ABCD，平面，又
10、 平面,面 ,同理可得,面PDB （3）连结PQ交MN于点E, ,平面连结BE,则为PB和平面NMB所成的角在直角三角形PEB中 =30. 即PB和平面NMB所成的角为3019如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）.（）见解析;（）.【解析】解：（）如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PD
11、BC，又PDPB，所以PD平面PBC.（）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.20如图，已知中，且，绕旋转至，使点与点之间的距离.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1），又平面， 又在中，即， 又平面（2）过作，在平面中作于，连，则为与所成角 ，又因为，平面，又， 又在中， ，即与所成角的余弦值为.21如图所示，四棱锥中，底面中，又，为中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角【答案】（1）见解析（2）【解析】 (1)取的中点为，连接、，则在中，且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，因为平面，平面，所以平面。(2)取中点，连接，因为且，所以为平行四边形，所以或其补角为PA与CB所成角，由题意得，所以，与所成角为。
