1、第第1212章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路2.2.非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3.3.非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1.1.周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数12.1 12.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。l 非正弦周
2、期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1)(1)不是正弦波不是正弦波 (2)(2)按周期规律变化按周期规律变化例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号)()(kTtftf 例例2 2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号 Tt例例3 3交直流共存电路交直流共存电路 Es +V例例4 4基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2 2倍频）倍频）直流分量直流分量高次谐波高次谐波)cos()(110 kkkmtkAAtf 12.2 12.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数 )cos
3、()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数：sincos)(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkAkkkkm 111sincos)cos(也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaA arctansin cos2200 系数之间系数之间的关系为的关系为 20112011000)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数f(t)的展开式。的展开式。系数的计算：系数的计
4、算：利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化（1）偶函数）偶函数 T/2t T/2f(t)0 )()(kbtftf T/2t T/2f(t)0 )()(katftf（2）奇函数）奇函数（3）奇谐波函数）奇谐波函数0 )2()(22 kkbaTtftftf(t)tT/2TSimI周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为：TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/0mTTmSOIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：20)(sin)(1tdtktibSK
5、K为偶数为偶数K为奇数为奇数 kItkkImm20)cos1(00sin12)(cos)(2020 tkkItdtktiamSksi的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS tT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5si等效电源等效电源 给定函数给定函数
6、 f(t)的部分波形如图所示。为使的部分波形如图所示。为使f(t)的傅立叶级数中只包含如下的分量：的傅立叶级数中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1)(1)正弦分量；正弦分量；(2)(2)余弦分量；余弦分量；(3)(3)正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4)(4)余弦奇次分量。余弦奇次分量。试画出试画出 f(t)的波形。的波形。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(1)(1)正弦分量；正弦分量；例例2解解(2)(2)余弦分量；余弦分量；tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(3)(3)正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4)(4)余弦奇次分量。余弦奇次分量。tT/4Of(t)T/2 T/4 T
7、/2tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2 20200)(cos 0)(sinttdkttdk12.2 12.2 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.1.三角函数的性质三角函数的性质（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为。)(cos )(sin202202ttdkttdk（3 3）三角函数的正交性三角函数的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 2.非正弦周期函数的有效值非正弦周期函
8、数的有效值)sin()(10kkktkIIti 若若则有效值则有效值:)(sin1)(1201002tdtkIITtdtiTITkkkT 21220 kkIII 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。分量有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：利用三角函数的正交性得：222120 IIII结论结论3.非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值 TAVdttiTI0)(1则其平均值定义为：则其平均值定义为：)cos()(10kkktkIIti 若若4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 TdtiuTP01)co
9、s()(10ukkktkUUtu )cos()(10ikkktkIIti 利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：.)(cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP结论结论 12.4 12.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算1.计算步骤计算步骤（2 2）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算；分别应用相量法计算；（注意（注意:交流各谐波的交流各谐波的 XL、XC不同
10、，对直流不同，对直流C 相当于相当于 开路、开路、L相于短路。）相于短路。）（1 1）利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；成若干种频率的谐波信号；（3 3）将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。2.计算举例计算举例例例1 1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u,已知：已知：STICLRm 28.6 A157pF1000 mH1 20 、tT/2TSimIRLCuSi解解（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS sTAIm2
11、8.6,157 代入已知数据：代入已知数据：直流分量直流分量A5.78215720IIm A 10014.357.1221 mmII基波最大值基波最大值A205115 mmII五次谐波最大值五次谐波最大值rad/s101028.614.32266 T 角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值AIImm 3.333113 A5.780 SI 电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：A10sin10061 tis A103sin310063 tis A105sin510065 tis mV57.1105.7820600 SRIU （2 2）对对各种频率的谐波分量单独计算：各种频率的谐波
12、分量单独计算：（a)a)直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0电容断路，电感短路电容断路，电感短路:A5.780SI（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261LC RLCuSi k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRK50)(1 ZmV2500050210100(6111 ）ZIUA10sin10061tis(c)(c)三次谐波作用三次谐波作用tis63103sin3100 03333119.895.374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k31010333.010100010
13、3113631263 LKC 0613319.895.3742103.33)3(ZIUSmV2.89247.120 (d)(d)五次谐波作用五次谐波作用A105sin510065 tis 53.893.208)5()()5(55551CLCLXXjRjXjXRZ k510105)K(2.0101000105113651265 LC mV53.892166.453.893.20821020)5(6155 ZIUs(3)(3)各各谐波分量计算结果瞬时值迭加：谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV)53.895sin(166.4)2.893sin(47.12 sin500057.15310 tttuuuU
14、u mV57.10UmV2.89247.123UmV250001UmV53.892166.45UV.)42000cos(601000cos12030:ttu知知已已求图示电路中各表读数求图示电路中各表读数(有效值有效值)及电路吸收的功率。及电路吸收的功率。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdiiC1iL2解解(1)u0=30V作用于电路，作用于电路，L1、L2 短路，短路，C1、C2开路。开路。L1C1C2L2u0+_30 abcdi0iC10iL20i0=iL20
15、=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30V(2)u1=120cos1000t V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231 CCLL L1、C1 发生并联谐振发生并联谐振。+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 V01201 U0 0cb1211 UIILA90340j0120j1111 UCICV012011ad UU(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231 CCLLL2、C
16、2 发生并联谐振发生并联谐振。+_30 abcd1U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 V45602 UA45320j4560j22122 LUIL0122 CIIV4560 ,0 2cb2ad2 UUUi=i0+i1+i2=1A 所求的电压、电流的瞬时值为：所求的电压、电流的瞬时值为：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t 45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)V A1 I
17、电流表电流表A1的读数：的读数：2.12A 2/3 电流表电流表A2的读数：的读数：A35.2)2/3(122 电流表电流表A3的读数：的读数：V90)2/120(3022 电压表电压表V1的读数：的读数：V0.52)2/60(3022 电压表电压表V2的读数：的读数：例例3 已知已知u(t)是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/F，求理想变压器原边电流求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压及输出电压u2的有效值。的有效值。*C1i2i+2u+2:18 Lu2410.5u/Vt/ms12解解sradT/102/23 )cos(1212)(ttu Ai5.18
18、/121 当当u=12V作用时，电容开路、作用时，电容开路、电感短路，有：电感短路，有：02 u作用时作用时当当)cos(12 tu 410125102163 CXC 1102110233 LXL*-j41i2i+2U+2:18 j 0012 1I+8 j4-j4 0012+1UAjjjUI341241 VUU01012 VUnU012061 VU243.4262 Ati)90cos(35.101 例例4 求求Uab、i、及功率表的读数。及功率表的读数。I+60 j20+1UWab2U*VttutVu)303cos(2100cos2220 cos2220021 已知已知解解一次谐波作用时：一次
19、谐波作用时：VUab0)1(0440 AjjI0)1(4.1896.63222060440 三次谐波作用时：三次谐波作用时：VUab0)3(30100 AjjI000)3(1518.133305606030100 VUab22.45110044022 Atti)15cos(218.1)4.18cos(296.600 WP92.14524.18cos96.6220 测的是测的是基基波波的功率的功率例例5C1中只有基波电流，中只有基波电流，C31 F，其中只有三次，其中只有三次谐波电流，谐波电流，求求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。tAtis3000cos101000cos205 已知已知1
20、i100 LC3C2C1200 Si2i3i解解FLC52210911 0)1(1221 CLjCLCj C1中只有基波电流，说明中只有基波电流，说明L和和C2对三次谐波发生并对三次谐波发生并联谐振。即：联谐振。即：C3中只有三次谐波电流，说明中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串对一次谐波发生串联谐振。即：联谐振。即：FC511098 Atti 1000cos20)(2 1i100 Si1i100 C3200 Si3i2i100 Si一次谐波作用一次谐波作用直流作用直流作用三次谐波作用三次谐波作用03)3(34823.21093031020010010100 jjI0)1(3)3(11167.81093010 jIIISAtti)113000cos(67.85)(01 Atti)483000cos(23.2)(03
