1、 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0BMA1237 78 86 6一、一、等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.仪器误差2.观测误差3.外界条件的影响观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、二、在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行了多次观测，误
2、差的大小、符号相同或按一定的规律变化。钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。2、偶然误差 水准测量：估读时有时过大，有时偏小；经纬仪测量水平角：大气折光使望远镜中目标的成像不稳定，引起瞄准目标有时偏左、有时偏右。偶然误差的特性偶然误差的特性180lxl真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差误差概率分布曲线+3 +6 +9 +12
3、 +15 +18 +21 +24X=-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3dnk0 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（对称性）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：0limnn在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。返回精度：又称精密度，指在对某量进行多 次
4、观测中，各观测值之间的离散 程度。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差一、一、中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：nmxliin,.2232221式中式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：(绝对值绝对值)，说明第一组的精度高于第二组，说明第一组的精度高于第二组的精度。的精度。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5.210)4(2)1()2(34
5、)3(12022222222221 m2.310)1()3(017)1(0)6(2)1(22222222222 m21mm -m2 -m1+m1 +m2Y)(1f)(2f121m221m不同中误差的正态分布曲线用改正数计算中误差：用改正数计算中误差：改正数改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l 式中：v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值nlnlllnx211nvvm 改正数求中误差改正数求中误差的白塞尔公式：定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限
6、误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、三、相对误差相对误差 :角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。与距离测量中的相对较差
7、不同例 已知：D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：20000120001.010000110001.0222111DmKDmK返回水准测量：h=a-b三角高程测量：vilhAB tanAB大地水准面大地水准面lHAhABHBltan vi 概念 误差传播定律误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数一、一、线性函数的误差传播定律线性函数的误差传播定律设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中 为独立的直接观测值，为常数，相应的 观
8、测值的中误差为 。nxxx,21nkkk,21nxxx,21nmmm,212222222121nnzmkmkmkm设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf),2,1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 误差传播定律的一般形式误差传播定律的
9、一般形式例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD 1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：三、三、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算
10、观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L 为
11、：nlnlllxn 21一、一、求最或是值求最或是值L L 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为 （i=1i=1，2 2，n n）将上式相加得 或故 nxlllnn )(2121nxl xnln推导过程：xlii 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 （算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。0limnn Lnlxn,因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有 nlnlnlnnlL11121 22222221221111mnmnmnmnmnL 二、二、算术平均值中误差算术平均值中误差mLnmmL 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。n1故故三、精度评定 第一公式 第二公式 （白塞尔公式）条件：观测值真值 x已知条件：观测值真值 x 未知，算术平均值L已知nm1nVVm其中 观测值改正数，iViilLV例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：1.1)16(634)1(nnVVnmmL返回
