1、有限元法的基本概念与求解方法有限元法的基本概念与求解方法2.1 2.1 结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵2.2 2.2 位移函数与形函数位移函数与形函数2.3 2.3 单元刚度方程单元刚度方程2.4 2.4 载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷2.5 2.5 结构刚度方程结构刚度方程2.6 2.6 位移边界条件的处理位移边界条件的处理2.7 2.7 应力计算应力计算2.8 2.8 有限元法的普遍公式有限元法的普遍公式2.9 2.9 有限元方程组的解法有限元方程组的解法结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵结构离散化：结构离散化：1）网格划分）网格划分 将结构划分为有限个单元；
2、将结构划分为有限个单元；2）载荷移置）载荷移置 将作用在结构上将作用在结构上的非节点载荷等效地移置为节点载荷；的非节点载荷等效地移置为节点载荷；3）简化约束）简化约束 把结构边界上的约束，用适当的节点约束代替。把结构边界上的约束，用适当的节点约束代替。结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则有限元中单元的网格剖分原则有限元中单元的网格剖分原则 ）各节点必须相连。）各节点必须相连。如图所示中（如图所示中（a）是正确的，而（）是正确的，而（b）是错误的。）是错误的。结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则 信息是通过单元之间的
3、公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递.AB.1 node.AB.2 nodes结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网格划分原则）单元不能奇异，也就是单元中的）单元不能奇异，也就是单元中的边长不能相差太大边长不能相差太大，或者，或者有过大的钝角或过小的锐角有过大的钝角或过小的锐角，如图示：，如图示：结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵有限元网格划分原则有限元网
4、格划分原则）单元的大小、数目取决于计算精度要求和计算容量限制）单元的大小、数目取决于计算精度要求和计算容量限制分网时首先满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称分网时首先满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性、循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，性、循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。可以采用子结构法。）同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不）同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里
5、。要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵网格划分示例网格划分示例结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵 描述单元特性的矩阵，表示描述单元特性的矩阵，表示了单元抵抗变形的能力。它由刚了单元抵抗变形的能力。它由刚度系数组成，由单元节点的个数度系数组成，由单元节点的个数和自由数决定规模。和自由数决定规模。如图平面三角形三节点单元如图平面三角形三节点单元中，有中，有3个节点，每个节点有个节点，每个节点有2个个自由度，故刚阵中的元素个数为自由度，故刚阵中的元素个数为36个。个。刚度系数刚度系数Ki
6、j 相当于一维弹簧的刚度相当于一维弹簧的刚度K的含的含义。即产生单位位移时需要的作义。即产生单位位移时需要的作用力的大小。用力的大小。结构离散化与刚度矩阵结构离散化与刚度矩阵位移函数位移函数结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数的一般介绍位移函数的一般介绍.定义：定义：把单
7、元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。移模式。.选择位移函数的原因选择位移函数的原因（）决定了单元的力学特性。（意义）（）决定了单元的力学特性。（意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）.位移函数必须具备的条件位移函数必须具备的条件（）在节点上的值应等于节点的位移（）在节点上的值应等于节点的位移（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解位移函数
8、与形函数位移函数与形函数位移函数的一般形式位移函数的一般形式位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的 （）进行数学运算（如微分，积分）较简单（）进行数学运算（如微分，积分）较简单 （）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：（）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：u=u(x,y)=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+myn v=v(x,y)=m+1+m+2x+2myn （-）式中式中:,其中其中 1 m为待定系数。为待定系数。式中的式中的 也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。也称为广义坐标，
9、这种描述方式又称为广义坐标形式。（一维形式多项式（一维形式多项式u(x)=1+2x+x2+nxn）11niim位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数的一般形式位移函数的一般形式（-）式也可以参照帕斯卡三角形来确定）式也可以参照帕斯卡三角形来确定位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数.位移函数形式位移函数形式 就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，也就是：也就是：u(x,y)=u(x,y)=1 1+2 2x+x+3 3y yv(x,y)=v(x,y)=4 4+5 5x+x+6
10、 6y y （-）对于图中的三角形单元，为了确定（对于图中的三角形单元，为了确定（-）式中的待定系数）式中的待定系数 1 1 6 6，可以将节点，可以将节点i i，j j，m m的位移值及坐标值代入上式，得到方的位移值及坐标值代入上式，得到方程组：程组：u ui i=1 1+2 2x xi i+3 3y yi iv vi i=4 4+5 5x xi i+6 6y yi i（i=i i=i，j j，m m）（-）式中式中u ui i，v vi i节点位移节点位移 x xi i，y yi i节点坐标节点坐标位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数这是一个
11、一阶线性方程组，可使用克来姆法则求解。这是一个一阶线性方程组，可使用克来姆法则求解。位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数.克来姆法则克来姆法则设有一线性方程组：设有一线性方程组：a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn （a11 ann系数）系数）当其系数行列式不等于零时当其系数行列式不等于零时 上述的方程组有唯一解：上述的方程组有唯一解：（j j，n n）其中是将中第其中是将中第j j列元素替换为右端项而得到的行列式列元素替换为右端项而得到的行列式AAAxjjjA
12、位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数.待定系数待定系数 1 1 的求解的求解如果用节点位移（如果用节点位移（u ui i,v vi i）,（u uj j,v vj j）,（u um m,v vm m）及节点坐标）及节点坐标（x xi i,y yi i）,（x xj j,y yj j）,（x xm m,y ym m）代入（）代入（2-32-3）式可以得到：）式可以得到：u ui i=1 1+2 2x xi i+3 3y yi i u uj j=1 1+2 2x xj j+3 3y yj j u um m=1 1+2 2x xm m+3 3y ym
13、m v vi i=4 4+5 5x xi i+6 6y yi i v vj j=4 4+5 5x xj j+6 6y yj j v vm m=4 4+5 5x xm m+6 6y ym m位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数由克来姆法则可知：当由克来姆法则可知：当2 0 0，上述方程有唯一解：，上述方程有唯一解：21mmmjjjiiiyxuyxuyxu24mmmjjjiiiyxvyxvyxv21113mmjjiiuxuxux21115mmjjiiyvyvyv21116mmjjiivxvxvx21112mmjjiiyuyuyu位移函数与形函数位移函
14、数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数为了描述方便，引入系数为了描述方便，引入系数 ai=xj ym-xmyj bi=yj-ym ci=-=-xj+xm aj=xmyi-xi ym bj=ym-yi cj=-=-xm+xi am=xi yj-xj yi bm=yi-yj cm=-=-xi+xj位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数代入上式后可以得到代入上式后可以得到iimjiiimjiiimjiiimjiiimjiiimjivcvbvaucubua,6,5,4,3,2,1212121212121位移函数与形函数位移函数与形函
15、数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数.位移函数的插值函数形式位移函数的插值函数形式假设这样一个函数：假设这样一个函数：(i=i,j ,m)代入（代入（-）式后可得）式后可得u=u=i iu ui i+j ju uj j+m mu um m v=v=i iv vi i+j jv vj j+m mv vm m 式中：式中：i i，j j，m m被称为单元的形状函数，简称形函数或插值函被称为单元的形状函数，简称形函数或插值函数。数。)(21ycxbaNiiii位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数把把（-）式写成矩阵形式：）式写成矩阵形
16、式：简写为：简写为：f=Nf=N e e （-）mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000位移函数与形函数位移函数与形函数三节点三角形单元的位移函数三节点三角形单元的位移函数式中的矩阵反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们式中的矩阵反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（-）式与式与（-）式后一种描述更简单，更直观，通常采用。这样）式后一种描述更简单，更直
17、观，通常采用。这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数及其性质位移函数及其性质当节点位移一定时，单元形态完全决定于当节点位移一定时，单元形态完全决定于i，j，m这时形这时形函数就具有如下的性质：函数就具有如下的性质：.形函数形函数i在节点在节点i处的值为，而在其他两个节点（处的值为，而在其他两个节点（j，m）处的值为零。处的值为零。即：即：i（xi，yi）=1 而而i（xj，yj）=i（xm，ym）=0同样的同样的j（xi，yi）=0 j（xj，yj）=1 i（xm，ym）=0
18、m（xi，yi）=0 m（xj，yj）=0 m（xm，ym）=1 位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数及其性质位移函数及其性质.在单元任一节点处，三个形函数之和等于。在单元任一节点处，三个形函数之和等于。证明如下：证明如下：i（x，y）+j（x，y）+m（x，y）=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）（）（）=（ai+aj+am）+（bi+bj+bm）x+（ci+cj+cm）y（）=（+0+0）/（）=1此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。此外，形函数与位移函数是同样类型的函数。如：位移函数如：位移函数u=u=1 1+2 2x+x+3 3y y形函数形函
19、数i=（ai+bix+ciy）（）（）位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下个条件：个条件：.位移函数必须包含单元的常量应变位移函数必须包含单元的常量应变.位移函数必须包含单元的刚体位移位移函数必须包含单元的刚体位移.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求）位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求）.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求）上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称
20、上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数（）由（）由=x ,y,xyT=2,6,5+3 T 因因 2,6,5+3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项（）将位移函数可改写成（）将位移函数可改写成yxyu22532351xyxv22536354位移函数与形函数位移函数与形函数位
21、移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性当发生刚体位移时：当发生刚体位移时：x=x=xy=0也就是也就是 2=6=5+3=0这时：这时：其中其中u0,v0为平动位移分量。为平动位移分量。0为单元绕垂直于为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它平面的轴线作刚体转动时的角位移，它表示了刚体位移。表示了刚体位移。yuyu003512yvxv003542位移函数与形函数位移函数与形函数位移函数与解的收敛性位移函数与解的收敛性（）位移函数（）位移函数（-）或是）或是x x，y y的单值连续函数，故满足连续性的单值连续函数，故满足连续性要求。要求。（）位移函数（）位移函数（-）式是线性函数，由
22、于相邻单元在公共节点）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现：移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现：综上所述，三角形常应变单元属于协调元综上所述，三角形常应变单元属于协调元位移函数与形函数位移函数与形函数面积坐标面积坐标面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置的一种方法。优点：简明，方便。的一种方法。优点：简明，方便。位移函数与形函数位移函数与形函数面积坐标面
23、积坐标对于图中三角形单元任一点对于图中三角形单元任一点P（x ,y）可用下三个比值来确定：）可用下三个比值来确定：Li ,Lj ,Lm 称为称为P点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质：点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质：性质性质.Li+Lj+Lm=1 （i i+j j+m m=）性质性质.平行于三角形平行于三角形jmjm边的直线上所有点其边的直线上所有点其Li相同相同 AB变化时，变化时，hi不变不变,故故 i i不变，不变，Li 不变不变mmjjiilll,位移函数与形函数位移函数与形函数面积坐标面积坐标性质性质.Li=1 Lj=0 Lm=0 （i）Li=0 Lj=1 Lm=0（j）L
24、i=0 Lj=0 Lm=1（m）性质性质.Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心处在三角形形心处面积坐标与形函数的关系：面积坐标与形函数的关系：iiiimmjjiiNycxbayxyxyxL)(2111121位移函数与形函数位移函数与形函数面积坐标面积坐标同理：同理：Lj=Nj ，Lm=Nm 所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同位移函数与形函数位移函数与形函数单元刚度方程单元刚度方程对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的关系，并称之为单元刚度方程：关系，并称之为单元刚度方
25、程：e e e e=e式中：式中：F Fe e，e e 单元节点力及节点位移列阵单元节点力及节点位移列阵e e 单元刚度矩阵单元刚度矩阵基本方法基本方法单元刚度方程单元刚度方程基本方法基本方法建立上述方程时可采用的方法建立上述方程时可采用的方法（）直接刚度法（）直接刚度法（）虚位移原理或最小势能原理（）虚位移原理或最小势能原理位移型有限元位移型有限元（）余虚功原理或最小余能原理（）余虚功原理或最小余能原理力型有限元力型有限元（）变分法（非结构问题）（）变分法（非结构问题）单元刚度方程单元刚度方程基本方法基本方法单元特性分析的步骤单元特性分析的步骤（）假设位移函数（）假设位移函数（）建立应力，应
26、变与节点位移间的关系（）建立应力，应变与节点位移间的关系（）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系（）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系（）得到单元刚阵（）得到单元刚阵单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵（）上节的知识可以知道（）上节的知识可以知道位移函数为：位移函数为：u=u=i iu ui i+j ju uj j+m mu um m v=v=i iv vi i+j jv vj j+m mv vm m式中式中i=（ai+bix+ciy）（）（）（）（i=i,j,mi=i,j,m）（）应力应变与节点位移的关系（）应力应变与节点位移的关
27、系对三节点三角形单元，节点位移对三节点三角形单元，节点位移 e e=u ui i,v,vi i,u,uj j,v,vj j,u,um m,v,vm m T TF Fe e=F Fix ix,F,Fiy iy,F,Fjx jx,F,Fjy jy,F,Fmx mx,F,Fmymy T T单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵由弹力知识可知，几何方程为：由弹力知识可知，几何方程为：mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcubububxvyuyvxu21单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角
28、形平面单元的单元刚度矩阵mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbb.0.0.00.0.021令：令：=Bi ,Bj ,Bm且且（i=i,j,mi=i,j,m）方程可简写为：方程可简写为：=e eiiiiibccbB0021单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵我们称我们称单元的几何矩阵，其物理意义反映了单元任一点单元的几何矩阵，其物理意义反映了单元任一点的应变与单元位移之间的关系。的应变与单元位移之间的关系。对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数bi，ci也随之确定，也随之确定，也为常
29、数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明节点三角形单也为常数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明节点三角形单元是一种常应变单元。元是一种常应变单元。由弹性理论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影由弹性理论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影响时，单元中任一点的应力响时，单元中任一点的应力 为为:=D=D 式中为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。式中为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得 =D=D =DB=DB e e若令若令
30、S=DBS=DB则则 =S=S e e式中，式中，S S称为单元的应力矩阵称为单元的应力矩阵物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系，物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系，对于节点三角形单元对于节点三角形单元D D，B B为常量矩阵，为常量矩阵，S S也为常量矩阵，这种常也为常量矩阵，这种常应变单元，也是一种常应力单元，回顾一下，平面应力问题：应变单元，也是一种常应力单元，回顾一下，平面应力问题：2100010112ED单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵而对于平面应变问题而对于平面应变问题如果采用：代入如果采用：代入
31、210001011)21(22100011011)21)(1()1(111211EED11121EE单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵两种问题具有相同的描述形式，只是对材料的弹性模量与泊松两种问题具有相同的描述形式，只是对材料的弹性模量与泊松比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。（）单元节点力与节点位移之间的关系（）单元节点力与节点位移之间的关系在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建立节点位移和节点力之间的
32、关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应用虚位移原理来建立这种关系式。用虚位移原理来建立这种关系式。设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为 e e，相应地单元内任一点处的虚应变为：相应地单元内任一点处的虚应变为：。根据。根据 与与 间的关系有：间的关系有：=B=B e e 单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵这时单元体在节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理，这时单元体在节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理，当虚位移发生时节点力在虚位移
33、上所做的功等于单元的虚应变能，当虚位移发生时节点力在虚位移上所做的功等于单元的虚应变能，即：即：式中：式中：e为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。把把 =DB=DB e e和和 =B=B e e代入上式得代入上式得由于节点位移由于节点位移 e e及节点虚位移及节点虚位移 e e均为常量，提出积分外，有：均为常量，提出积分外，有：eTTVeedVF*eTVeTeTeedVDBBF)()(*eVTeeeeTTDBdVBF*单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵进一步可得：进一步可得：令：令：则上式可写为则上式可写为求
34、得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的求得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的e称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关系式。系式。我们得到的单元刚度矩阵我们得到的单元刚度矩阵e是普遍公式，适用于各种类型的单是普遍公式，适用于各种类型的单元，对于三角形常应变单元的具体表达式见下。元，对于三角形常应变单元的具体表达式见下。eVTeeDBdVBFeVTeDBdVBKeeeFK单元刚度方程单元刚度方
35、程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵（）三角形常应变单元刚度矩阵的显式：（）三角形常应变单元刚度矩阵的显式：由于普遍公式中，均为常量矩阵，可以提出积分符号，由于普遍公式中，均为常量矩阵，可以提出积分符号，而而d是单元的微元体体积且是单元的微元体体积且d=t dx dy式中式中t为单元的厚度，同一单元，厚度为单元的厚度，同一单元，厚度t为常数，故单元体积为常数，故单元体积（为单元的面积）为单元的面积）普遍公式就可写为：普遍公式就可写为：为了便于计算利用为了便于计算利用B=BB=Bi i B Bj j B Bm m 将上式展开将上式展开eeVVetdxdytdVVDBBtdV
36、DBBKTVTee单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵mjiTmTjTieBBBDBBBtkmmmjmijmjjjiimijiimTmjTmiTmmTjjTjiTjmTijTiiTiKKKKKKKKKDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBDBBt单元刚度方程单元刚度方程式中子刚阵为：式中子刚阵为：Krs=t BrTDBs （r,s=i,j,m）三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵Krs是一个是一个 阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为 的方程，也就是单刚阶数单元的自由度数。的方
37、程，也就是单刚阶数单元的自由度数。对与平面应力问题：对与平面应力问题：将：将：B=BB=Bi i B Bj j B Bm m 及代入及代入2100010112ED单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵srsrsrsrsrsrsrsrbbcccbbcbccbccbbEt21212121)1(42ssssrrrrsbccbEccbtK0021210001011000212（r,s=i,j,mr,s=i,j,m）单元刚度方程单元刚度方程三角形平面单元的单元刚度矩阵三角形平面单元的单元刚度矩阵简写为：简写为：相应的：相应的：22211211HHHHKrs)21
38、()1(4)21()1(4)21()1(4)21()1(4211211212211srsrsrsrsrsrsrsrbbccEtHcbbcEtHbccbEtHccbbEtH单元刚度方程单元刚度方程单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（）单元刚度矩阵是对称矩阵（）单元刚度矩阵是对称矩阵（）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值（）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值（）单刚为奇异阵（）单刚为奇异阵（）单元刚度仅与单元的几何特性（）及材料特性有关（）（）单元刚度仅与单元的几何特性（）及材料特性有关（）而与外力无关。而与外力无关。上述四条性质，与杆系的单刚性质相同上述四条性质，与杆系的单刚性质相同单元刚度方程单
39、元刚度方程.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，也就是也就是真实外载真实外载（理想化）（理想化）节点上的集中载荷节点上的集中载荷移置后的载荷称之为等效节点载荷。移置后的载荷称之为等效节点载荷。非节点载荷移置非节点载荷移置载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷非节点载荷移置非节点载荷移置.结构的非节点载荷移置结构的非节点载荷移置将各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，将各单元所受的
40、非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出.载荷移置的原则载荷移置的原则能量等效的原则能量等效的原则单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。做的虚功相等。.单元载荷移置的方法单元载荷移置的方法（）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置（）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置只适用于线性位移函数的单元只适用于线性位移函数的单元载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷非节点载荷移置非节点载荷移置（）普遍公式法：根据能
41、量等效原则，推导出普遍公式（）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式适用于各种类型的单元适用于各种类型的单元说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式.集中力的移置公式：集中力的移置公式：设（）单元设（）单元i,j,mi,j,m
42、中任意一点（中任意一点（x x，y y）作用集中载荷）作用集中载荷P=PP=Px x，P Px x （）各节点上的等效节点载荷向量为：（）各节点上的等效节点载荷向量为：Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy（）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为：（）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为：f*=u,v（）各节点相应的虚位移为：（）各节点相应的虚位移为：*e=ui*,vi*,uj*,vj*,um*,vm*载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式推导：推导：（）根据单元内位移与节点位移关系（）根据单元内位移与节点位移关系 f=u,v
43、=N e f*=N *e P（）根据能量等效原则：（）根据能量等效原则：*e Re=f*P *e Re=(N *e)P=*e N P Re=N P 这就是集中力的移置公式，式中为单元的形函数矩阵。这就是集中力的移置公式，式中为单元的形函数矩阵。载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式.体力体力g的移置公式的移置公式设：单元设：单元ijm上作用有体力上作用有体力g=gx,gy 推导推导（）将单元体（）将单元体tdxdy上的体积力上的体积力gdxdy当作集中力，应用集中当作集中力，应用集中力的移置公式力的移置公式Re=N P 有微元体上有微元体上dRe=N
44、g tdxdy（）积分在整个单元上有（）积分在整个单元上有 Re=N g tdxdy=t N g dxdy载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置的普遍公式载荷移置的普遍公式3.表面力表面力q的移置公式的移置公式设单元设单元ijm的的jm边上作用有表面力边上作用有表面力q=qx，qy可将微元面积上可将微元面积上tds上的面力上的面力qtds当作集中力当作集中力则则Re=sjmdRe=sjm qt ds=t sjm q ds上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例以单元自重（或作用
45、在单元形心处的集中力）为例。以单元自重（或作用在单元形心处的集中力）为例。设一个均质等厚的三角形单元设一个均质等厚的三角形单元ijm，其厚度为，其厚度为t，面积为，面积为，材料，材料比重为比重为，则单元的自重为：，则单元的自重为：W=tW=t ,且其作用在单元形心且其作用在单元形心c c处处载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例思路：思路：（）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加（）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加一单位虚位移，其他自由度为。一单位虚位移，其他自由度为。（）利用线性位移函数的特点导出几何关系。（）利用线性位移函数的特点导
46、出几何关系。（）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量（）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例.直接法求解直接法求解先求，先求，i在在y方向的等效节点载荷方向的等效节点载荷设设 vi*=1=1 而而ui*=uj*=vj*=um*=vm*=0相当于上图相当于上图由于，单元具有线性位移函数，当由于，单元具有线性位移函数，当vi*=1=1时变形情况见上图时变形情况见上图jm边不动，点边不动，点b亦不动，由几何关系可知：亦不动，由几何关系可知：31*icicbbvv31cv载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷
47、载荷移置举例载荷移置举例又根据能量等效原则：又根据能量等效原则：式中式中“”号表示与号表示与y轴方向相反轴方向相反 同理可得：同理可得：3tRRmyiy131iyRw33twRiy3tRRmyiy载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例类似可以得出：各节点沿类似可以得出：各节点沿x方向的等效节点载荷方向的等效节点载荷Rix=Rjx=Rmx=0Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,RmyT =-t 0 1 0 1 0 1 T/3上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平均的移置到节点上，
48、方向与重力方向相同。均的移置到节点上，方向与重力方向相同。载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例.普遍公式法求解普遍公式法求解对于此处为集中力对于此处为集中力P=0 -W T作用在形心作用在形心c处处由由Re=N T P 可知可知WNWNWNWNNNNNNRmjimmjjiie0000000000载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷载荷移置举例载荷移置举例可以证明：在三角形形心可以证明：在三角形形心c处，有处，有Ni=Nj=Nm=1/3代入上式可得代入上式可得 Re=-W0 1 0 1 0 1 T/3=-t 0 1 0 1 0 1 T/3可见采用上述两种方
49、法移置的结果相同可见采用上述两种方法移置的结果相同说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。载荷移置与等效节点载荷载荷移置与等效节点载荷结构刚度方程结构刚度方程通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵Ke同时得到单元刚度方程同时得到单元刚度方程 Ke e=Fe 通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵Re 集合成结构刚度方程的三个方面的内容是：集合成结构刚度方程的三个方面的内
50、容是：（）单元的节点位移（）单元的节点位移 e 结构的节点位移列阵结构的节点位移列阵 （）单元的节点载荷列阵（）单元的节点载荷列阵Re 结构的节点载荷列阵结构的节点载荷列阵R （）单元的单刚（）单元的单刚Ke 结构的总刚结构的总刚K 得到得到 K =R（2-45）结构刚度方程结构刚度方程结构刚度方程结构刚度方程上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是一个以节点位移一个以节点位移 为未知量的线形代数方程组，可求得为未知量的线形代数方程组，可求得 ，进一步，进一步求出应变，应力。求出应变，应力。结构刚度方程结构刚度方程集合的基本原
