1、 材料力学 出版社 科技分社 1 1 材料力学 出版社 科技分社 2一、组合变形一、组合变形：在荷载作用下，构件往往产生两种或两种以上的基本变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，则构件的变形称为组合变形。概述概述 材料力学 出版社 科技分社 3 齿轮传动轴（图c）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。吊车立柱（图a）受偏心压缩，发生弯压组合变形。工字钢梁（图b）两个相互垂直平面内的弯曲变形的组合 材料力学 出版社 科技分社 4二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形
2、式变形下的内力、应力或位移进行叠加。、外力分析外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解，力的平移定理；、内力分析内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面；画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。材料力学 出版社 科技分社 5一、定义：一、定义：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力时，杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与合成弯矩不共面。这种弯曲称为斜弯曲。二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法：1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加。斜弯曲斜弯曲 材料力
3、学 出版社 科技分社 6 现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲问题中应力和变形的计算。选取梁轴线为x轴，两个对称轴分别为y轴和z轴。将F沿y轴和z轴分解得：cosFFysinFFz 材料力学 出版社 科技分社 71、任意截面mm处的弯矩Fy将使梁在铅垂平面xOy内发生平面弯曲；而Fz 将使梁在水平平面xOz内发生平面弯曲。coscosMxlFxlFMyzsinsinMxlFxlFMzyxlFMMMzy22力F在m-m截面上产生的总弯矩 材料力学 出版社 科技分社 8在Fy和Fz共同作用下，总应力：2、截面上C 点处的正应力为：设横截面m-m上K点处在xOy和xOz平面内发生平面弯曲时的正应力分别
4、为、yIMIyMzzzcoszIMIzMyyysin zIyIMyzsincosM和y、z可均取绝对值，应力的正负号根据梁的变形来直接判断。材料力学 出版社 科技分社 9 为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：tantan00zyzyyzIIIIMMyz中性轴与y轴的夹角：3、中性轴方程 其中角为合成弯矩 与y的夹角。22zyMMM0sincos00zIyIyz 材料力学 出版社 科技分社 104、最大正应力 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。按下述方法确定：作平行于中性轴的两直线，
5、分别与横截面的周边相切，这两个切点（图9.3中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。一般，IyIz，中性轴与外力作用平面并不垂直，这是斜弯曲的特点。当Iy=Iz，如圆形、正方形以及一般正多边形截面梁，中性轴与外力作用平面垂直。只要外力通过截面形心，只产生平面弯曲，而不会发生斜弯曲。材料力学 出版社 科技分社 111maxDt2maxDc 对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大
6、拉应力、压应力的位置，而无需定出中性轴。若材料的许用拉应力与许用压应力相等，其强度条件可写成：yyzzWMWMmaxmaxmax 材料力学 出版社 科技分社 12例题例题10-1 材料力学 出版社 科技分社 13 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲横向力与轴向力共同作用图9.7所示的梁为一矩形截面梁，承受横向力q和轴向拉力F的作用。产生拉伸和弯曲的组合变形。在轴向力F作用下 AFAFNN 材料力学 出版社 科技分社 14 在横向力q作用下，梁发生平面弯曲，最大弯矩发生在跨中截面，即为组合变形时的危险截面弯矩作用下的正应力沿高度按直线规律分布（图d），其值为 yIMzM在轴向拉力和横向力共同作
7、用下，危险截面上任一点处的正应力，可按下式计算：yIMAFzNMN 材料力学 出版社 科技分社 15危险截面上最大正应力发生在截面下边缘处 zNWMAFmaxmax由于危险点为单向应力状态，则正应力强度条件为 zNWMAFmaxmax拉伸（压缩）与弯曲组合变形时，中性轴不经过截面的形心。当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。材料力学 出版社 科技分社 16 偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）。这种外力称为偏心力。图9.7示矩形截面直杆
8、，拉力F作用在A点，作用点A到z轴、y轴的距离分别为zF和yF。材料力学 出版社 科技分社 17 材料力学 出版社 科技分社 18 将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量My和Mz(图b)：用截面法可求得横截面ABCD上的内力为：FFNFyzFMFzyFM它们将分别使杆件发生轴向拉伸和在两纵向对称平面（即形心主惯性平面）内的纯弯曲。可见，偏心拉伸为轴向拉伸与弯曲的组合。在横截面ABCD上任一点E(y,z)处由轴向拉力FN、弯矩 My、Mz引起应力分别为 材料力学 出版社 科技分社 19 AFNyFyyIzFzIzM 由轴力F
9、N引起的正应力为：由弯矩My引起的正应力为由弯矩Mz引起的正应力为zFzzIyFyIyM 按叠加原理，E(y,z)点处的正应力即为上述三组应力的代数和 zzyyIyMIzMAFNzFyFIyFyIzFzAF 材料力学 出版社 科技分社 20 上两式中，F为拉力时，取正值，压力时取负值。力偶矩My、Mz的正负号可以这样规定：使截面上位于第一象限的各点产生拉应力时取正值，产生压应力时取负值。还可以根据杆件的变形情况来确定。例如图9.7b中确定G点的应力时，在My作用下G处于受压区，则式中第二项取负值，在Mz作用下G处于受拉区，则式中第三项取正值。在F、My、Mz各自单独作用下，横截面上应力的分布情
10、况如图9.10a、b、c所示。图9.10d为三者共同作用下横截面上的应力分布情况。材料力学 出版社 科技分社 21 材料力学 出版社 科技分社 22将式（9.10）改写为 yIAyzIAzAFzFyF1引入惯性半径 yizi2yyAiI 2zzAiI 则：)1(22zFyFiyyizzAF此为平面方程，这表明总应力在横截面上按平面分布。此应力平面与横截面相交的直线上的正应力为零，该直线即为中性轴。令y0、z0为中性轴上任一点的坐标，将它们代入式（b），则可得中性轴的方程为：材料力学 出版社 科技分社 23012020zFyFiyyizz由式（c）可知，中性轴是一条不通过横截面形心（坐标原点）的
11、直线。设它在两坐标轴上的截距为ay、az。上式中令z0=0和y0=0，则可求得截距为：Fzyyia2Fyzzia2上式表明ay、az分别与yF、zF成反比，且符号相反，所以中性轴与外力作用点分别处于截面形心的两侧。材料力学 出版社 科技分社 24中性轴把截面分为拉应力和压应力两个区域，中性轴的位置确定后，就很容易确定危险点的位置。很显然，离中性轴最远的点D1和D2（图9.9）就是危险点。这两点处的正应力分别是横截面上的最大拉应力和最大压应力。把D1、D2两点的坐标分别代入式（a），就可求得这两点处的正应力值，若材料的许用拉应力和许用压应力相等，则可选取其中绝对值最大的应力作为强度计算的依据，即
12、强度条件为：zzyyIyMIzMAFmaxmaxmax 材料力学 出版社 科技分社 25若材料的许用拉应力t和许用压应力c不相等时，则须分别对最大拉应力和最大压应力做强度计算。tzzyytIyMIzMAFmaxmaxmaxczzyycIyMIzMAFmaxmaxmax 材料力学 出版社 科技分社 26例题例题9.39.3 如图所示一厂房的牛腿柱。设由屋架传来的压力F1=100kN，由吊车梁传来的压力F2=30kN。F2与柱子的轴线有一偏心e=0.2m。如果柱横截面宽度b=180mm，试求当h为多少时，截面才不会出现拉应力，并求柱此时的最大压应力。解：将力F2简化到截面形心，得到轴向压力F2和力
13、偶矩M=F2e。用截面法可求得立柱横截面上的内力为 kN13021FFFNmkN6 MMz 材料力学 出版社 科技分社 27欲使横截面不出现拉应力，应使FN和MZ共同作用下横截面左边缘处的正应力为零。06m18.0mN106m18.0N10130233maxhhWMAFzzNt解得 m28.0h此时柱的最大压应力发生在截面的右边缘上各点处，其值为：MPa13.56m28.018.0mN106m28.018.0N1013032323maxzzNcWMAF 材料力学 出版社 科技分社 28 一般的传动轴通常发生扭转与弯曲的组合变形。由于传动轴大都是圆截面的，所以本节以圆截面为例，讨论杆件发生扭转与
14、弯曲组合变形时的强度计算。设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成直角的刚臂，并承受铅垂力F作用，如图所示。将F向B截面的形心简化，如图（b)所示。9.4弯曲与扭转 材料力学 出版社 科技分社 29 AB杆发生扭转与弯曲的组合变形。作杆的弯矩图与扭矩图。杆的危险截面为固定端截面，其内力分量分别为：FaTFlM,由应力的变化规律可知，危险截面上的最大弯曲正应力发生在铅垂直径的上、下两端点C1和C2处。材料力学 出版社 科技分社 30 危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。其中正应力和切应力值为32/3dFlWM1
15、6/23pdFaWTWT 材料力学 出版社 科技分社 31 对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点的危险程度是相同的。为此，取其中的点C1来研究。C点的应力状态如图（g)所示。可见C点处于平面应力状态，其三个主应力为0,421222231 对于用塑性材料制成的杆件，按第三强度理论或第四强度理论建立强度条件。按第三强度理论作强度计算，相当应力为22313r4（9.14）材料力学 出版社 科技分社 32 按第四强度理论作强度计算，相当应力为 求得相当应力后，即可根据材料的许用应力来建立强度条件，并对杆进行强度计算。将弯曲正应力和扭转切应力公式代入上两式，则相应的相当应力表达式可改写为：W
16、TMWTWM222p23r4和WTMWTWMp22224r75.02322313r3（9.15）（9.16）（9.17）材料力学 出版社 科技分社 33例题9.4 一曲拐受力如图所示，已知：=80MPa，F=4kN，试按第三强度理论选择圆杆AB的直径。解：解：危险截面A处的弯矩值M和扭矩值T为：mkN4.01.00.4MmkN6.015.00.4T则按第三强度理论，由式（9.16）：zWTM223r可得：22TMWz 材料力学 出版社 科技分社 34323dWz 22332TMd m045.0Pa1080mN1072.014.33232363322TMd即圆杆AB的直径可取为45mm。材料力学
17、 出版社 科技分社 35根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为 75.0224rWTM即 Pa10100)mN1000(75.0)mN1064(622W于是得：mm9.51m0519.0)Pa10100(mN13723236d 材料力学 出版社 科技分社 36本章小结本章小结 1.在实际工程中，构件的变形往往同时包含两种或两种以上的基本变形形式。若几种变形形式所对应的应力或变形属于同一数量级，而不能忽略其中的任何一种，这类构件的变形就称为组合变形。2斜弯曲变形时横截面上的应力计算 zIMyIMyyzz3轴向拉(压)与弯曲变形时横截面上的应力计算 zzyyIyMIzMAFN 材料力学 出版社 科技分社 374弯曲与扭转变形时横截面上的应力计算(只考虑圆形截面杆)zWMzWTWT2p5截面核心 当偏心压力作用在横截面形心附近的某个范围内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个范围就称为截面核心。
