1、收敛数列的性质v定理2.2(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 证证明明 假设同时有axnnlim及bxnnlim且 a0 存在充分大的正整数 N 使当nN时 同时有|xna|2ab及|xnb|2ab 因此同时有 2abxn及2abxn 这是不可能的 所以只能有ab 证明 一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一个数就能精确地估计出该数列的几乎全体项的大小.以下收敛数列的一些性质,大都基于这一事实.注 如果M0,使对nN 有|an|M 则称数列an是有界的;如果这样的正数M不存在就说数列an是无界的 收敛数列的性质v定理2.2(极限的唯一性)如果数列an
2、收敛 那么它的极限唯一 v定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列an收敛 那么数列an一定有界 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则|1|aaaxaaxxnnn ,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.|,|1,max1axxMN 记记 1 如果数列an收敛 那么数列an一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2 数列1 1 1 1 (1)N1 的有界性与收敛如何？讨论 收敛数列的性质v定理2.2(极限的唯一性)如
3、果数列an收敛 那么它的极限唯一 v定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列an收敛 那么数列an一定有界 收敛数列的性质v定理2.2(极限的唯一性)如果数列an收敛 那么它的极限唯一 v定理2.3(收敛数列的有界性)如果数列an收敛 那么数列an一定有界 v定理2.4(收敛数列的保号性)如果数列an收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有an0(或an0)推论 如果数列an从某项起有an0(或an0)且数列an收敛于a 那么a0(或a0)2.4()定理保号性lim0(0),(0,)(,0),().nnnnaaaaaaNnNaaaa若或则对任何或存在正整数使得当时有或证0.a 设
4、(0),aa取,.nNnNaaa则存在正数使得当时 有0,.a 对于的情形 可类似证明0.(0),aaa设取,.nNnNaaa则存在正数使得当时 有2.5()定理保不等式性00.,limlim.nnnnnnnnabNNNabab设与均为收敛数列若存在正数使得当时有则证lim,lim.nnnnaabb设120,NN 则分别存在与1,nnNaa使得当时有2.nnNbb当时有(1)(2)012max,NNN N取,nN则当时 按假设及不等式(1)和(2)有,nnaabb由此得到2ab由 任意性推得ablimlim.nnnnab即,limlim?nnnnnnnnababab问题:若定理中的条件换成能否
5、把结论换成例例1证由定理证由定理2.5可得可得 a0,0 任给任给,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 .limaxnn 故故)(1 a 对对.lim,lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设2.6()定理迫敛性00:,lim.nnnnnnnnnabacNnNacbcca设收敛数列与均以 为极限,数列满足 存在正数当时有则数列收敛,且证0,limlim,nnnnaba 由12,NN分别存在与1,nnNaa使得当时有2.nnNba当时有012max,NNN NnN取则当时 按假设及上不等式同时成立,即有.nnnaacb
6、a,nca从而lim.nnca即证得.nn例2 求数列的极限解1,0(1),nnnnanhhn 记这里则有2(1)(1).2nnnn nnhh2(1),1nhnn有上式得 0从而有2111.1nnahn 211n数列是收敛于1的.故由迫敛性得证.例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnnv定理2.7(数列极限的四则运算法则),nnnnnnababab与为收敛数列 则也都是收敛数列,且有lim(
7、)limlim,nnnnnnnabablim()limlim.nnnnnnnababnbc特别当 为常数 时有lim()lim,limlim.nnnnnnnnacaccaca0lim0,nnnnnabbb若再假设及则也是收敛数列,且有limlimlim.nnnnnnnaabb证1(),nnnnnnnnaabababb 由于及因此我们只须证明关于和,积与倒数运算的结论即可.12lim,lim,0,nnnnaabbNN 设则对分别存在正数与使得12,nnnNaanNbb当时当时12max,NNNnN取,则当时 上述两不等式同时成立从而有()()nnnnababaabb2lim().nnnabab(
8、)()nnnnnababaa ba bb.nnnaa ba bb,0,.nMnbM由收敛数列的有界性定理对一切 有,nN于是 当时().nnababMa,lim.nnnabab由 的任意性 这就证得1.2.3.lim0,nnbb33,0,NnN根据收敛数列的保号性使得当时有1.2nbb23max,NNNnN取则当时有11nnnbbbbb b22nbbb22.b11,lim.nnbb由 的任意性 这就证得11101110.lim,0,0.mmmmmkkknkka nana namk abb nbnbnb例3 求其中解,kn以同乘分子分母后 所求极限式化为1111011110.lim,.m kmk
9、kkmmkknkka nana na nbbnbnb n 0lim0.nn有前面知识可知,当时有,mk于是 当时 上式除了,0,mkab分子分母的第一项为与 外 其余各项的极限皆为;mkab故此时所求的极限为,0(),m kmknn 当时由于故此时所求的极限为0.11101110,.lim.0,.mmmmmmkknkkakma nana nabb nbnbnbkmlim,1.1nnnaaa 例4 求其中解11,lim;12nnnaaa若则显然有1,lim0nnaa若则有得limlim0;lim(1)1nnnnnnnaaaa11,limlim111nnnnnaaaa若则11 015:lim(1)
10、.nnnn 例求解:(1)1nnnnnn 1,111n111()nn 由于及例1得1lim(1)lim111nnnnnn 1.2注:在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列 收敛数列与其子数列间的关系 例如数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 在数列在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：,21knnnxxxknnxxkxxkknnnnkkk 显然显然项，项，中是第中是
11、第在在项，而项，而是第是第中，中，在在 注1 由定义可见由定义可见,数列数列xn的子列的子列xnk的各项都选自的各项都选自xn,并保持这些项在原数列中的先后次序并保持这些项在原数列中的先后次序,xnk中的第中的第k项是项是xn中的第中的第nk项项,故有故有nkk.实际上实际上,nk本身也是正整数数本身也是正整数数列列n的子列的子列.注2 数列数列xn本身以及本身以及xn去掉有限项后得到的子列去掉有限项后得到的子列,称为称为xn的平凡子列的平凡子列;不是平凡子列的子列不是平凡子列的子列,称为称为xn的非平凡子的非平凡子列列.例如例如x2k和和x2k-1都是都是xn的非平凡子列的非平凡子列.由上节
12、例由上节例8可知可知:数列数列xn与它的任一平凡子列同为收敛或发散与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且收敛时有且收敛时有相同的极限相同的极限.定理定理2.82.8 数列数列xn收收敛的充要条件是它的任敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛一非平凡子列都收敛.这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的有两个子数列收敛于不同的极限值，则极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。1)1(nnx如如112收敛于收敛于 kx12 收敛于收敛于kx定理定理2.82.8 数列数列xn收收敛的充
13、要条件是它的任敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛一非平凡子列都收敛.证必要性lim,nnaa设knnaa是的任一子列0,0,.kNkNaa 使得当时有,knk由于,kkNnN所以当时更有.knaa从而也有lim.knkaa即充分性2213,.nkkkaaaa考虑的非平凡子列与,按假设它们都收敛.623,kkkaaa由于既是又是的子列 故263limlimlim.kkkkkkaaa63213,kkkaaa又既是又是的子列 同样可得213limlim.kkkkaa212limlim.kkkkaa所以有7.na由上节例 可知收敛性质性质 对于数列对于数列 xn)(2 kaxk若若)(12 kax
14、k)(naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时，有时，有使当使当11,KkK|2axk知知再由再由axkk 12lim时，有时，有使当使当22,KkK|12axk12,2max21 KKN取取时时则当则当Nn 11222KmKmmn 则则若若此时有此时有|2axaxmn22121212KmKmmn 则则若若此时有此时有|12axaxmn总之：总之：0 N 时时使当使当Nn 恒有恒有|axnaxnn lim即即)(),()(|naxqpaNBABqxApxxnqpn则则趋于同一极限值趋于同一极限值其中其中与与：若子数列：若子数列对数列对数列U 1 数列的子数列如果发散原数列是否发散?2
15、数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何?3 发散的数列的子数列都发散吗？4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 发散？v定理(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a 讨论由此定理可见，若数列由此定理可见，若数列 na这些子列必收敛于同一个极限。这些子列必收敛于同一个极限。的任何非平凡子列都收敛，则所有的任何非平凡子列都收敛，则所有于是，若数列于是，若数列 na或有两个子列收敛而极限不相等，则数列或有两个子列收敛而极限不相等，则数列 na一定发散。一定发散。有一个子列发散，有一个子列发散，这是判断数列发散的一个很方便的方法。这是判断数列发散的一个很方便的方法。v 小结(1),唯一性;(2),有界性;(3),保号性;v 作业 P33:1(1)(3)(5),3,4,(2)(5)(4),四则运算法则;(5),不等式性;(6),收敛数列与其子列的关系.
