1、1 1、微元法的理论依据、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定积积分分的的微微分分的的分分就就是是这这表表明明连连续续函函数数的的定定积积于于是是即即的的一一个个原原函函数数是是则则它它的的变变上上限限积积分分上上连连续续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章习题课章习题课2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdx
2、xfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点；）的的变变化化区区间间的的相相关关量量（记记为为确确定定）,1baxU 2表表达达式式微微元元的
3、的建建立立）U设想把区间设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任一小区间个小区间，取其中任一小区间并记为并记为,dxxx，求出相应于这小区间的部分量，求出相应于这小区间的部分量U 的近似值的近似值.如果如果U 能近似地表示为能近似地表示为,ba上的一个上的一个连续函数在连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，的乘积，即即dxxfxdUdU)()(,C)(baxf 其其中中，即即)()(xoxxfU ）。（此此时时，以静代动以简代繁、以直代曲、。则则 badxxfU)(4 4、解题步骤、解题步骤是是非非常常困困难难的的。通通常常要要验验证证)()(xoxxfU 一一般般来来说说不不是
4、是唯唯一一的的。中中的的且且)()()(xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)()(xfdxxfUba 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标直角坐标参数方程参数方程极坐标极坐标弧微分弧微分弧长弧长旋转体体积旋转体体积旋转体侧面积旋转体侧面积?5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA|)(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab上曲线减下曲线对上曲线减下曲线对x积分。积分。yxOcdAx=f(y)（图（图5）x=g(y)dcdyygyf
5、A)()(右曲线减左曲线对右曲线减左曲线对y积分。积分。一般解题步骤：一般解题步骤：（1）画草图，定结构；）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参
6、数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xdxx xyodxxfVbax2)(dyyVdcy2)(xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立体体的的体体积积为为：绕绕极极轴轴旋旋转转由由)(rr ）(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线
7、弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为22dydxds C曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy ,0)(badxxfxfS)(1)(22侧侧ydsdS 2(5)变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(6)液体压力液体压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)()(为为比比重重(7)引力引力xyxdxx oAl l llllyyx
8、adxGadFF2322)(.0 xF)(为引力系数为引力系数G(8)函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立体体的的体体积积为为：绕绕极极轴轴旋旋转转由由证明：证明：证证 rdrr )(rr ，在区域内任取小区域：在区域内任取小区域：,ddrrr drddrr2221)(21 其面积近似为：其面积近似为：,212 ddrrdrd ,:rdrddA 故面积微元为故面积微元为,sin2sin22drdrdAr 一周，所得体积为：一周，所得体积为：这块小图形绕极轴旋转这块小图形绕极轴旋转的体积为：的体积为：于是相应于是相应,),(,
9、0 dr rdrr )(rr )(02)sin2(rdrdrdV,sin)(323 dr.sin)(323 drV 利用这个结果求解利用这个结果求解P246.2(3)二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)cos1()sin(000及及表表面面积积旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积轴轴轴轴所所围围图图形形绕绕它它的的一一拱拱与与它它的的一一拱拱的的弧弧长长轴轴所所围围成成的的面面积积它它的的一一拱拱与与求求摆摆线线已已知知xxxtayttax a 2a)(xy解解.10A设面积为设面积为 aydxA 20 20)cos1()cos1(dttata.32a .20L设弧长为设弧长为
10、 2022)()(dtyxL.8a 2022sin)cos1(dttata.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为 aydsS 202 2022sin)cos1()cos1(2dttatata.3642a dxyVax220 2022)sin()cos1(ttadta.532a 例例2所围图形的面积。所围图形的面积。求求0,22 yxyyx 3,03,0022yxyxyyx解解.29)()2(302 dyyyyA例例3轴轴旋旋转转的的体体积积。轴轴围围成成的的图图形形绕绕和和求求yxxxy)2)(1(解解12利用利用P246.5结果结果.2)2)(1(221 dxxxxV
11、例例 2 2 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 例例4的体积最小。的体积最小。轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体使此图形绕使此图形绕，求，求所围的面积为所围的面积为轴及轴及与与又该抛物线又该抛物线时，时，且当且当设设xbaxxyxbxaxy,311,010 ,2 解
12、解,22)(31102badxbxax ,231ba dxbxaxV2102)(23522 abba )231(23)231(522bbbb )31(232)23)(231(52bbbVb 得得令令,0 bV唯一解）唯一解）(,23 b必最小。必最小。故此时故此时V.45231 ba从而从而例例 3 3 证证明明正正弦弦线线xaysin )20(x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20(t的的周周长长.证证设正弦线的弧长为设正弦线的弧长为1s dxys 20211dxxa 2022cos1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa ,20222dtyx
13、s 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12例例6 6?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率例例2 2?,)2(;)0()1(.至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水
14、深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV
15、 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh oxyRh故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素oxyRh故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)
16、(2(RdyyRyyR0322)32(.44R oxyRh例例3 3.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631(g g 67.4522).(1043.47牛牛 4
17、4 xyo解解 取坐标系如图所示。取坐标系如图所示。11001622 yxx垂直于垂直于x轴的截面的面轴的截面的面积为积为 tan21)(yyxA dxxV)161(25244 .3400,105)161(100212 xP246.15),161(252x P259.2建立坐标系如图，建立坐标系如图，,sin,sinbhhx oab(hxadxxgdP sinadxxgPbhh sinsinsin).sin2(21 bhgab P259.10oxyr2建立坐标系如图，建立坐标系如图，将球从水中取出做的将球从水中取出做的功，相当于将功，相当于将-r,r上上许多薄片都上提许多薄片都上提 2r高高度时所做的功之和。度时所做的功之和。对小薄片而言，它由对小薄片而言，它由A上升到上升到B,水水中行程为中行程为r+x,水上行程为水上行程为,)(2xrxrr xAB 由于球的比重与水相同，故浮力与重力的合力为由于球的比重与水相同，故浮力与重力的合力为0，因此球在水下时，提升力不做功。因此球在水下时，提升力不做功。所以，只需考虑水上部分做的功。所以，只需考虑水上部分做的功。)(1)(2dxxyxrgdW oxr2x,)(,222222xrxyryx )(1)(22dxxrxrgdW )(1)(22dxxrxrgWrr .344gr
