1、二轮大题专练二轮大题专练 44随机变量的分布列（二项分布随机变量的分布列（二项分布 1） 1某地区为贯彻习近平总书记提出的“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄 牛”的三牛精神，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗A、B、C， 经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为 0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为 (0.70.9)pp剟 （1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及()E X； （2）将（1）中的()E X取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率该农户决定引 种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技
2、术处理， 处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活 求一棵B种树苗最终成活的概率； 若每棵树苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不 低于 20 万元，问至少引种B种树苗多少棵？ 解： （1）依题意，X的所有可能值为 0，1，2，3， 则 22 (0)0.2(1)0.20.40.2P Xppp， 2122 2 (1)0.8 (1)0.2(1)0.8(1)0.4 (1)0.41.20.8P XpCppppppp， 2122 2 (2)0.20.8(1)0.21.6 (1)1.41.6P XpCppppppp， 2 (3)0.8P Xp， 所以X的分布
3、列为： X 0 1 2 3 P 2 0.20.40.2pp 2 0.41.20.8pp 2 1.41.6pp 2 0.8p 2222 ()0 (0.20.40.2) 1 (0.41.20.8)2 ( 1.41.6 )3 0.820.8E Xpppppppp （2）当0.9p 时，()E X取得最大值 一棵B树苗最终成活的概率为0.90.1 0.750.80.96 记Y为n棵树苗的成活棵数，( )M n为n棵树苗的利润， 则( ,0.96)YB n，( )0.96E Yn，( )30050()35050M nYnYYn， ( )350 ( )50286E M nE Ynn，要使( ) 20000
4、0E M n ，则有699.3n 所以该农户至少种植 700 棵树苗，就可获利不低于 20 万元 2 为了解某市 2021 届高三学生备考情况， 教研所计划在 2020 年 11 月、 2021 年 1 月和 2021 年 4 月分别进行三次质量检测考试， 第一次质量检测考试 （一检） 结束后， 教研所分析数据， 将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在400，540)之间的理 科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有 12000 人 （1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模 拟二本线应该是多少； （2）若甲同学每次质
5、量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为 3 4 ， 1 2 ， 1 2 ，请问 甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少 2 科及格的次数X分布列及 期望 解： （1）540 分以上的频率为： 301 36012 ， 要达到60%的二本率，所以460，540之间频率为： 130031 (60%) 1236050 ， 因为460，540的频率总和为(0.01250.00750.005 2)200.6 所以模拟二本线应在440，460之间， 设为x， 则 31 (460) 0.010.6 50 x， 解得：458x ， （2）至少 2 科及格的概率 3113115 3(1) 4
6、224228 P ， 5 (3, ) 8 XB， 3 3 55 ()( )(1) 88 P XC kkk k，0k，1，2，3， X 0 1 2 3 P 27 512 135 512 225 512 125 512 515 ()3 88 E Xnp 3某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家 检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立 （1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为 3 4 ，专家乙评定为“可靠” 的概率为 4 5 ，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不 可靠” 现随机抽取 4 台仪器，由两位专
7、家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X， 求X的分布列和数学期望； （2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若 每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为(01)pp，且每台仪器是否可靠相互独 立只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估若三位专家评定结果都为不可靠，则 仪器报废其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为 100 元，若回研究 所返修，每台仪器还需要额外花费 300 元的维修费现以此方案实施，且抽检仪器为 100 台，研究所用于评估和维修的预算是 3.3 万元，你认为该预算是否合理？并说明理由 解： （1）记事件A：一台机器
8、被评定为不合格，则 342 ( )1 455 P A ， 由题意知X的所有可能取值为 0，1，2，3，4 由题意得： 2 (4, ) 5 XB， 所以 4 4 23 ()( ) ( )(0,1,2,3,4) 55 P XC kkk kk， 004 4 2381 (0)( )( ) 55625 P XC， 113 4 23216 (1)( )( ) 55625 P XC， 222 4 23216 (2)( )( ) 55625 P XC， 331 4 2396 (3)( )( ) 55625 P XC， 4 216 (4)( ) 5625 P X 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4
9、 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 所以 28 ()4 55 E Xnp； （2）该预算合理，理由如下： 设每台仪器用于评估和维修的费用为Y元，则Y的可能取值为 100，400， 则 33 (100)(1)P Ypp， 33 (400)1(1)P Ypp 所以 3333 ( )100(1) )400(1(1) )E Ypppp， 即 33 ( )400300(1) )E Ypp， 令 33 ( )400300(1) )f ppp，(0,1)p， 22 ( )300(33(1) )300(63)fpppp， 令( )300(63)0fpp 解得 1 2
10、 p ， 当 1 (0, ) 2 p，( )0fp，( )f p在 1 (0, ) 2 p单调递增， 当 1 ( ,1) 2 p，( )0fp，( )f p在 1 ( ,1) 2 p单调递减， 所以当 1 2 p 时，( )f p的最大值为 1 ( )325 2 f， 所以实施此方案，100 台抽检仪器的费用期望值最高为10032532500元33000元，因此 该预算合理 4某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两 种颜色单车的投放比例为1:2监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽 取 5 辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同 （1）
11、求抽取的 5 辆单车中有 3 辆是蓝色单车的概率； （2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽 取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车， 则抽样结束， 若抽取的是 黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最 多不超过 4 次 在抽样结束时， 已取到的黄色单车数量用表示， 求的分布列及数学期望 解： （1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为 2，用X表示“抽取的 5 辆单车中蓝 色单车的个数” ，则X服从二项分布，即 2 (5, ) 3 XB， 所以抽取的 5 辆单车中有 3 辆是蓝色单车的概率为
12、 332 5 2180 ( ) ( ) 33243 C； （2）随机变量的可能取值为：0、1、2、3、 2 4. (0) 3 p， 1 22 (1) 3 39 p， 2 122 (2)( ) 3327 p， 3 122 (3)( ) 3381 p， 4 11 (4)( ) 381 p 所以的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 p 2 3 2 9 2 27 2 81 1 81 2222140 ( )01234 3927818181 E 5 “直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导 购销售的新型服务方式某高校学生会调查了该校 100 名学生 2020 年在
13、直播平台购物的情 况，这 100 名学生中有男生 60 名，女生 40 名男生中在直播平台购物的人数占男生总数的 2 3 ，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的 7 8 （1）填写22列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与 2020 年在直播平台 购物有关？ 男生 女生 合计 2020 年在直播平台购物 2020 年未在直播平台购物 合计 （2）若把这 100 名学生 2020 年在直播平台购物的频率作为该校每个学生 2020 年在直播平 台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取 4 人，记这 4 人中 2020 年在直播平台购物的人 数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布
14、列与期望 2 0 ()P K 卥 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 附：nabcd， 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 解： （1）列22列联表： 男生 女生 合计 2020 年在直播平台购物 40 35 75 2020 年未在直播平台购物 20 5 25 合计 60 40 100 2 2 100(40 535 20) 5.5566.635 75 25 60 40 K 故没有99%的把握认为该校学生的性别与 220 年在直播平台购物有关（5 分） （2）设这 4 人中 2020 年在直播
15、平台购物的人数为Y， 则0Y ，1，2，3，4，且 3 (4, ) 4 YB， (4)24XYYY，故4X ，2，0，2，4， 04 4 11 (4)(0)( ) 4256 P XP YC ， 113 4 313 (2)(1)( ) ( ) 4464 P XP YC ， 222 4 3127 (0)(2)( ) ( ) 44128 P XP YC， 33 4 3127 (2)(3)( ) ( ) 4464 P XP YC， 44 4 381 (4)(4)( ) 4256 P XP YC 所以X的分布列为 X 4 2 0 2 4 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256
16、3 ( )43 4 E Y ，()(24)2 ( )42 342E XEYE Y ， 即()2E X （12 分） 6 某研究院为了调查学生的身体发育情况， 从某校随机抽测 120 名学生检测他们的身高 （单 位：米） ，按数据分成1.2，1.3，(1.3，1.4，(1.7，1.8这 6 组，得到如图所示的频率 分布直方图，其中身高大于或等于 1.59 米的学生有 20 人，其身高分别为 1.59，1.59，1.61， 1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71， 1.72，1.74，以这
17、 120 名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概 率 （1）求该校学生身高大于 1.60 米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （2） 若从该校中随机选取 3 名学生 （学生数量足够大） ， 记X为抽取学生的身高在(1.4，1.6 的人数，求X的分布列和数学期望 解： （1）由题意知，120 名学生中身高大于 1.6 米的有 18 人， 该校学生身高大于 1.6 米的频率为 18 0.15 120 ， 设a为学生的身高， 则(1.21.3)(PaP剟 3 1.71.8)0.025 120 a， 15 (1.31.4)(1.61.7)0.125 120 PaPa剟
18、， 1 (1.41.5)(1.51.6)(120.02520.125)0.35 2 PaPa剟， 0.025 0.25 0.1 m， 0.125 1.25 0.1 n ， 0.35 3.5 0.1 t （2）由（1）知学生身高在1.4，1.6的概率为20.350.7p ， 随机变量X服从二项分布(3,0.7)XB， 则 03 3 (0)0 30.027P XC ， 12 3 (1)0.7 0 30.189P XC ， 22 3 (2)0 70.30.441P XC ， 33 3 (3)0 70.343P XC ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.
19、343 30.72.1EX 72020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等 症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏 制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰某校为了了解学生对新型冠状病毒 的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表： 女生成绩 成绩 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 7 7 4 2 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星” （1）根据以上数据，完
20、成以下22列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与 性别有关； 男生 女生 合计 防疫明星 非防疫明星 合计 （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星” 的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望 附：参考公式 2 2 () ()()()() n adbc K ac bdab cb 其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （1） 由频率分布直方图可得： 男生中成绩大于等于
21、 80 的频率为(0.0350.025) 100.6， 则男生中“防疫明星”的人数为200.612人， “非防疫明星”人数为 8 人， 由频数分布表可得，女生中“防疫明星”的人数为 6 人， “非防疫明星”人数为 14 人， 所以22列联表为： 男生 女生 合计 防疫明星 12 6 18 非防疫明星 8 14 22 合计 20 20 40 所以 2 2 40 (12 146 8) 3.6366.635 20 20 18 22 K ， 所以没有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关； （2）从 20 名男生中随机抽取 1 人，是防疫明星的概率为 123 205 ， 从该校男生中随机抽取 4 人，
22、其中“防疫明星”的人数X服从二项分布， 即 3 (4, ) 5 XB，X的可能取值为 0，1，2，3，4， 则 004 4 3216 (0)( ) ( ) 55625 P XC， 113 4 3296 (1)( ) ( ) 55625 P XC， 222 4 32216 (2)( ) ( ) 55625 P XC， 331 4 32216 (3)( ) ( ) 55625 P XC， 440 4 3281 (4)( ) ( ) 55625 P XC， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 所以X的数学期
23、望为 312 ()4 55 E X 8某动植物园游客行走示意图如图所示，每位游客进园后选择其中任意一条路线行走是等 可能的现有 A，B，C，D，E5 名游客结伴进园游玩，并按箭头方向入园后各自开始自 由行走，同时约定最后到出口集合 （）求游客 A 经过游乐场的概率； （）若这 5 名游客中恰有 X 名游客经过游乐场，求随机变量 X 的概率分布列和数学期 望 解： （）设 A 从入口开始到出口经过游乐场为事件 M，A 选中间的路的概率为， 在前面岔路（猴山或鸟语林）到游乐场的概率为， 这两个事件互相独立， 选择从中间一路走到游乐场的概率为 P1， 同理，选择从右边路线到游乐场的概率为 P2， 由于选择中间路线和右边路线行走的两个事件彼此互斥， P（M）P1+P2， A 从进口开始到出口经过游乐场的概率为 （）随机变量 X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 则 P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， P（X4）， P（X5）， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P E（X）+
