1、New Words&Expressions:conversely 反之反之 geometric interpretation 几何意义几何意义correspond 对应对应 induction 归纳法归纳法deducible 可推导的可推导的 proof by induction 归纳证明归纳证明difference 差差 inductive set 归纳集归纳集distinguished 著名的著名的 inequality 不等式不等式entirely complete 完整的完整的 integer 整数整数Euclid 欧几里得欧几里得 interchangeably 可互相交换的可互相交
2、换的Euclidean 欧式的欧式的 intuitive直观的直观的the field axiom 域公理域公理 irrational 无理的无理的2.4 整数、有理数与实数整数、有理数与实数Integers,Rational Numbers and Real NumbersNew Words&Expressions:irrational number 无理数无理数 rational 有理的有理的the order axiom 序公理序公理 rational number 有理数有理数ordered 有序的有序的 reasoning 推理推理product 积积 scale 尺度，刻度尺度，刻
3、度quotient 商商 sum 和和There exist certain subsets of R which are distinguished because they have special properties not shared by all real numbers.In this section we shall discuss such subsets,the integers and the rational numbers.4A Integers and rational numbers有一些有一些R的子集很著名，因为他们具有实数所不具备的子集很著名，因为他们具有实
4、数所不具备的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集，整数集的特殊性质。在本节我们将讨论这样的子集，整数集和有理数集。和有理数集。To introduce the positive integers we begin with the number 1,whose existence is guaranteed by Axiom 4.The number 1+1 is denoted by 2,the number 2+1 by 3,and so on.The numbers 1,2,3,obtained in this way by repeated addition of 1 are all
5、positive,and they are called the positive integers.我们从数字我们从数字1开始介绍正整数，公理开始介绍正整数，公理4保证了保证了1的存在的存在性。性。1+1用用2表示，表示，2+1用用3表示，以此类推，由表示，以此类推，由1重复重复累加的方式得到的数字累加的方式得到的数字1,2,3，都是正的，它们被叫都是正的，它们被叫做正整数。做正整数。Strictly speaking,this description of the positive integers is not entirely complete because we have not
6、explained in detail what we mean by the expressions“and so on”,or“repeated addition of 1”.严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因严格地说，这种关于正整数的描述是不完整的，因为我们没有详细解释为我们没有详细解释“等等等等”或者或者“1的重复累加的重复累加”的含义。的含义。Although the intuitive meaning of expressions may seem clear,in careful treatment of the real-number system it is nec
7、essary to give a more precise definition of the positive integers.There are many ways to do this.One convenient method is to introduce first the notion of an inductive set.虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，但是在认虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，但是在认真处理实数系统时有必要给出一个更准确的关于正真处理实数系统时有必要给出一个更准确的关于正整数的定义。整数的定义。有很多种方式来给出这个定义，一个有很多种方式来给出这个定
8、义，一个简便的方法是先引进归纳集的概念。简便的方法是先引进归纳集的概念。DEFINITION OF AN INDUCTIVE SET.A set of real numbers is called an inductive set if it has the following two properties:The number 1 is in the set.For every x in the set,the number x+1 is also in the set.For example,R is an inductive set.So is the set .Now we shall
9、 define the positive integers to be those real numbers which belong to every inductive set.现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。现在我们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。RLet P denote the set of all positive integers.Then P is itself an inductive set because(a)it contains 1,and(b)it contains x+1 whenever it contains x.Since the
10、 members of P belong to every inductive set,we refer to P as the smallest inductive set.用用P表示所有正整数的集合。那么表示所有正整数的集合。那么P本身是一个归纳本身是一个归纳集，因为其中含集，因为其中含1，满足，满足(a)；只要包含；只要包含x就包含就包含x+1,满足满足(b)。由于。由于P中的元素属于每一个归纳集，因此中的元素属于每一个归纳集，因此P是最小的归纳集。是最小的归纳集。This property of P forms the logical basis for a type of reaso
11、ning that mathematicians call proof by induction,a detailed discussion of which is given in Part 4 of this introduction.P的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称的这种性质形成了一种推理的逻辑基础，数学家称之为归纳证明，在介绍的第四部分将给出这种方法之为归纳证明，在介绍的第四部分将给出这种方法的详细论述。的详细论述。The negatives of the positive integers are called the negative integers.The pos
12、itive integers,together with the negative integers and 0(zero),form a set Z which we call simply the set of integers.正整数的相反数被叫做负整数。正整数，负整数和正整数的相反数被叫做负整数。正整数，负整数和零构成了一个集合零构成了一个集合Z，简称为整数集。，简称为整数集。In a thorough treatment of the real-number system,it would be necessary at this stage to prove certain the
13、orems about integers.For example,the sum,difference,or product of two integers is an integer,but the quotient of two integers need not be an integer.However,we shall not enter into the details of such proofs.在实数系统中，为了周密性，此时有必要证明一些在实数系统中，为了周密性，此时有必要证明一些整数的定理。例如，两个整数的和、差和积仍是整整数的定理。例如，两个整数的和、差和积仍是整数，但是
14、商不一定是整数。然而还不能给出证明的数，但是商不一定是整数。然而还不能给出证明的细节。细节。Quotients of integers a/b(where b0)are called rational numbers.The set of rational numbers,denoted by Q,contains Z as a subset.The reader should realize that all the field axioms and the order axioms are satisfied by Q.For this reason,we say that the set
15、 of rational numbers is an ordered field.Real numbers that are not in Q are called irrational.整数整数a与与b的商被叫做有理数，有理数集用的商被叫做有理数，有理数集用Q表示，表示，Z是是Q的子集。读者应该认识到的子集。读者应该认识到Q满足所有的域公理和满足所有的域公理和序公理。因此说有理数集是一个有序的域。不是有序公理。因此说有理数集是一个有序的域。不是有理数的实数被称为无理数。理数的实数被称为无理数。The reader is undoubtedly familiar with the geomet
16、ric representation of real numbers by means of points on a straight line.A point is selected to represent 0 and another,to the right of 0,to represent 1,as illustrated in Figure 2-4-1.This choice determines the scale.4B Geometric interpretation of real numbers as points on a line毫无疑问，读者都熟悉通过在直线上描点的方
17、式表毫无疑问，读者都熟悉通过在直线上描点的方式表示实数的几何意义。如图示实数的几何意义。如图2-4-1所示，选择一个点表所示，选择一个点表示示0，在，在0右边的另一个点表示右边的另一个点表示1。这种做法决定了。这种做法决定了刻度。刻度。If one adopts an appropriate set of axioms for Euclidean geometry,then each real number corresponds to exactly one point on this line and,conversely,each point on the line correspond
18、s to one and only one real number.如果采用欧式几何公理中一个恰当的集合如果采用欧式几何公理中一个恰当的集合，那么，那么每一个实数刚好对应直线上的一个点，反之，直每一个实数刚好对应直线上的一个点，反之，直线上的每一个点也对应且只对应一个实数。线上的每一个点也对应且只对应一个实数。For this reason the line is often called the real line or the real axis,and it is customary to use the words real number and point interchangeab
19、ly.Thus we often speak of the point x rather than the point corresponding to the real number.为此直线通常被叫做实直线或者实轴，习惯上使用为此直线通常被叫做实直线或者实轴，习惯上使用“实数实数”这个单词，而不是这个单词，而不是“点点”。因此我们经常说。因此我们经常说点点x不是指与实数对应的那个点。不是指与实数对应的那个点。This device for representing real numbers geometrically is a very worthwhile aid that helps
20、us to discover and understand better certain properties of real numbers.However,the reader should realize that all properties of real numbers that are to be accepted as theorems must be deducible from the axioms without any references to geometry.这种几何化的表示实数的方法是非常值得推崇的，它这种几何化的表示实数的方法是非常值得推崇的，它有助于帮助我们
21、发现和理解实数的某些性质。然而，有助于帮助我们发现和理解实数的某些性质。然而，读者应该认识到，拟被采用作为定理的所有关于实数读者应该认识到，拟被采用作为定理的所有关于实数的性质都必须不借助于几何就能从公理推出。的性质都必须不借助于几何就能从公理推出。This does not mean that one should not make use of geometry in studying properties of real numbers.On the contrary,the geometry often suggests the method of proof of a particu
22、lar theorem,and sometimes a geometric argument is more illuminating than a purely analytic proof(one depending entirely on the axioms for the real numbers).这并不意味着研究实数的性质时不会应用到几何。相这并不意味着研究实数的性质时不会应用到几何。相反，几何经常会为证明一些定理提供思路，有时几何反，几何经常会为证明一些定理提供思路，有时几何讨论比纯分析式的证明更清楚。讨论比纯分析式的证明更清楚。In this book,geometric a
23、rguments are used to a large extent to help motivate or clarity a particular discuss.Nevertheless,the proofs of all the important theorems are presented in analytic form.在本书中，几何在很大程度上被用于激发或者阐明一在本书中，几何在很大程度上被用于激发或者阐明一些特殊的讨论。不过，所有重要定理的证明必须以分些特殊的讨论。不过，所有重要定理的证明必须以分析的形式给出。析的形式给出。作业：P 43 2.汉译英(2)3.英译汉(2)谢 谢！
