1、數學臆測的思維模式作者：陳英娥 國立台灣師範大學 科學教育研究所博士班 林福來 國立台灣師範大學 數學系出處：科學教育學刊1998,第六卷第二期,192-218指導教授：李源順教授報告者：阮麗蓉陳英娥(1998)。數學臆測的思維模式。科學教育學刊，6(2)，192-218摘要從個體思維的角度考量數學臆測。研究目的：了解數學臆測的思維歷程和特徵，並透過數學家臆測的思維模式檢視學生臆測的模式。研究方法：面談法。研究對象：五位大一升大二的學生、五位高二生、兩位數學家研究結果：學生和數學家的數學臆測思維模式相容。研究發展：表徵猜測問題的難度 評量學生臆測思維的品質研究理念猜測是探索數學過程中的必經之路
2、數學臆測的思維歷程猜測是探索數學過程中的必經之路n形式化數學是數學發展到一階段後的產物，他是從非形式化數學發展而來。(Lakatos,1978)n在數學發展過程中，反駁啟動對原猜想改進的動因，使得原猜想被不斷地改進，在內容上會有變化，使其在發現過程中經歷了一個成長過程。(Lakatos,1976)研究理念數學臆測的思維歷程nLakatos數學發現的探索式思維模式箭頭所指的方向表示探索式思維中的思路。最外圍的思路：猜測經證明、反駁、重構之後，經全局反例加以檢驗，最後導致新的猜測。中間一個層次的思路：猜測經證明、反駁、重構之後，經局部反例加以檢驗，對原有證明進行修正，使之精確化。最裡面層次的思路：
3、把猜測做初步試驗，然後直接加以反駁，進行重構和局部反例檢驗，最後進行證明。證明猜測初步的試驗反駁重構局部反例檢驗的結果全部反例檢驗的結果證明與反駁的功能在於改進猜測，亦是獲得數學發現的必經之路。研究理念數學臆測的思維歷程nMason問題解決模式Mason問題解決模式解題過程分為進入、進擊、回顧三階段。強調三個階段對於特殊化與一般化這兩個基本過程的依賴性。Mason把數學思考歸結為：特殊化、一般化、臆測、確認。研究理念數學臆測的思維歷程nMason臆測循環過程臆測是解題過程中的一環。臆測的過程分成四個階段：使猜想清晰、檢查猜想、不要相信猜想、獲得一種感覺。使猜想清晰一旦做了猜測，就相信它檢查猜想
4、遍佈所有知道的情況和例子獲得一種感覺為何這個猜想是對的，或如何修改它，用新的例子檢查。不要輕易相信猜想試著用不易解決的困難情況或例子去反駁。用它作為被檢查的預測。Mason臆測循環過程研究理念研究目的與研究問題研究目的：探究學生數學臆測的思維歷程，以作為後續研究發展數學猜測活動的參考和依據。研究問題：1.學生數學臆測的思維歷程是否存在一個共通的模式？2.學生數學臆測的思維歷程有什麼特徵？研究目的與研究問題n猜測(conjecture)：當個體面對問題時，提出一個或數個可能為真的敘述，在提出之時所提出的敘述未確定是否為真，這個行動稱為猜測。n數學臆測(conjecting)：指個體面對數學物件的
5、情境下，提出一個合理猜測的過程。n反駁(refuting)：本文中主要在對猜測做檢驗，並且加以批判的過程。n數學思維：描述數學解題的認知過程。n數學臆測思維：描述合理的數學猜測的認知過程。n數學臆測思維歷程：學生面對數學物件時，腦中進行猜測活動所做的智力運思的動態歷程。研究中所採之重要名詞界定研究方法採用的方法研究過程研究對象研究工具資料分析三角校正採用的方法n訪談學生：採面談法，藉由訪談探知學生的想法，以及在猜測活動的表現。n訪談數學家：採面談法及回溯法，針對數學臆測和反駁真實的思維歷程和最近做數學的驗驗做深度訪談。研究過程n由理論、文獻分析和教室觀察，評估學生進行數學猜測可能的表現。n與有
6、經驗的數學教師討論，評估適合學生進行數學猜測的材料。n編製研究工具，包括數學猜測測驗和數學家面談工具。n進行面談，試探學生在數學猜測測驗的表現和數學家臆測思維歷程，並且請數學家談談對於猜測活動在中學數學教學之地位的看法。研究對象n研究對象採立意取樣，以樣本的取得難易、配合度的高低為主要考量。n五位大一升大二數學系的學生。五位普通高中的高二學生。兩位數學家(一位分析專長，一位離散數學專長)。數學猜測測驗n測驗內容取材之四原則：相對於學生，他不知道答案。數學本身的內容對於臆測的成功與否，影響能降到最小。題目淺顯易懂，使年級的限制降到最低。題目本身必須要有豐富的數學思維過程。研究工具 前置研究工具
7、數學猜測測驗數學家面談工具n屬半結構面談工具，主要包括三個問題：請您談談您在數學裡面進行猜測的經驗。譬如說：，您做猜測的時候，您是怎麼想的？您有沒有在猜測形成之後，經過一段時間自己又把它反駁掉的經驗？請舉例說明。您認為數學猜測在不同階段的教育(例如：中小學、大學、研究所、或者數學家)的地位如何？研究工具資料分析n資料分析和整理的步驟如下：依據前置研究所建立的分析架構，分析每一位研究對象的思維歷程。將所有的思維歷程分析比對之後，與前置研究結果再作比對，確認不同對象的思維流程都有定點站。描繪學生的思維流程，描繪各個研究對象的思維模式。歸納所有研究對象之臆測歷程的共同輪廓和模式的特徵。研究結果學生數
8、學臆測的思維歷程圖學生數學臆測的思維模式數學家臆測的思維模式學生與數學家臆測思維的比較數學臆測的思維模式研究結果在學理上的論辯數學臆測思維模式的應用學生數學臆測的思維歷程圖(以G2為例)n 猜測一：猜測二：n通往檢驗路徑：我覺得 比較合理，因為它很均勻，長得又像圓柱，我已經知道圓柱的體積是體面積 高，所以半徑取中間的那個圓的半徑 ，再利用圓柱的算法得知。n檢驗之後：G2相信猜測一比較合理，而反駁了另一個猜測。n事後訪談：因為這個切面是梯形，繞一圈不知道是多少。這兩個想法不一樣，第一個想法可以檢查出來，第二個想法和第一個不一樣，我想應該是第一個比較合理。hRr22rhRr22hRr222Rr 學
9、生數學臆測的思維模式n分類模式學生猜測未知結果的數學思維模式v此模式的特徵 從猜測出發，包括猜測一個未 知的結果，或者透過操作，觀察特例，從猜測可能的規則開始。是一個有方向的思維循環。思維循環有兩層，包括內循環和外循環。思維路徑複雜而且落差很大。n分類模式學生猜測命題對錯的思維模式學生數學臆測的思維模式v此模式的特徵 從檢驗出發，不斷地用特例檢驗已知命題的正確性。是一個有方向的思維路徑。思維路徑中包括內循環，但是沒有出現外循環。思維路徑簡單而且一致。n整合模式學生數學臆測的思維歷程可形成一個共通的模式，每位學生的臆測歷程都是此圖的一部分。學生數學臆測的思維模式是一個有方向的思維循環。思維循環有
10、兩層，包括內循環和外循環。內循環表徵猜想的精鍊過程，外循環表徵原猜想被丟棄及重構的歷程。學生的臆測思維在猜測、檢驗、相信和反駁之間遞迴。猜測未知結果，思維起點和思維路徑比較複雜；猜測命題的對錯，思維起點和思維路徑都比較簡單。n從猜測出發，但出發點可能不只一個。在某一猜測經確認後，有時列舉類似的可能情況，再一一確認或反駁。在某一部分經過多次確認後，可能做局部證明，再做一般化。n是一個有方向的思維循環。n思維循環有兩層，包括內循環和外循環。n思維路徑可能因為數個猜測的起點或檢驗可以同時運作而縮短；但是，卻更為複雜。數學家臆測的思維模式學生與數學家臆測思維的比較學生數學家比較結果巨觀方面思維模式外型
11、相似模式特徵1.它是一個有方向的思維循環，思維循環有兩層，包括內循環和外循環。內循環表徵猜測的精煉過程，外循環表徵原猜想被丟棄及重構的歷程。2.思維在猜測、檢驗、相信和反駁間遞迴。3.如果猜測未知結果，思維起點和思維路徑比較複雜；如果猜測命題對錯，思維起點和思維路徑比較簡單。1.從猜測出發，但出發點可能不只一個。在某一猜測經確認後，有時列舉類似的可能情況，再一一確認或反駁。在某一部分經過多次確認後，可能做局部證明，再做一般化。2.是一個有方向的思維循環。3.思維循環有兩層，包括內循環和外循環。4.思維路徑可能因為數個猜測的起點或檢驗可以同時運作而縮短；但是，卻更為複雜。特徵相似1.都是有方向的
12、思維循環，包括內循環和外循環。2.有共同的四個思維定點站，包括猜測、反駁、檢驗和相信。3.思維在四個定點之間遞迴。學生與數學家臆測思維的比較學生數學家比較結果巨觀方面思維模式外型相似微觀方面思維運作1.猜測的起點通常是一個，如果有多個，大部分是不相關連的。2.大多數一個一個獨立檢驗。3.反駁之後很快丟棄猜測。4.檢驗與反駁之間的內循環很少出現。5.沒有照顧思維過程本身的合理性1.多頭猜測，並且能夠照顧到水平與垂直方向的關連。2.檢驗可同步進行。3.反駁之後，再做檢驗。4.反駁思維強，善用舉例檢驗反駁的機制。5.隨時照顧思維過程本身的合理性。6.檢驗、相信之後做局部證明，再利用一般化進行猜測。1
13、.猜測的起點數目不同。2.站與站之間的連結強度不同。3.思維循環與另一思維循環之間環節關連的強度不同。4.反駁思維的能力不同。5.對猜測過程的監控，品質不同。數學臆測的思維模式n學生數學臆測的思維模式和數學家臆測的思維模式是相容的。n每個學生臆測的思維模式都是此圖的一部分。n數學家個別的思維模式和此圖完全相同或是幾乎相同。研究結果在學理上的論辯n對Mason的臆測循環過程的批判Mason的想法本研究的詮釋環節一使猜想清新當作了猜想就相信它。猜測提出猜想。環節二檢查猜想遍佈所有知道的情況和例子。檢驗回到自己有的經驗中去檢驗。環節三不要相信猜想試著用不易解決的困難情況或例子去反駁。用它作為被檢查的
14、預測。檢驗用反例檢驗。環節四獲得一種感覺為何這個猜想是對的，或如何修改它，用新例子檢查。相信正例檢驗的結果如果是對的，增加對猜想的信心。反駁如果找到反例，反駁原猜想。猜測繼續修改原猜想，提出新猜想。檢驗用新例子檢驗新猜想。n對Lakatos探究式思維模式的補充研究結果在學理上的論辯Lakatos探索式思維模式中最裡面的一條思路：猜測初步檢驗反駁重構局部反例檢驗證明，若扣除證明階段，把它放置於本研究著架構中，則分析出來的思維路徑是：猜測檢驗反駁猜測檢驗。本研究與Lakatos的不同Lakatos探究式思維模式本研究臆測的思維模式研究目的研究目的還原歷史還原學生認識的根源描述對象描述對象數學家的思
15、維歷程學生的思維歷程研究素材研究素材數學史學生真實的思維資料描述方法描述方法思想實驗訪談法數學問題數學問題數學家提出來的由研究者提出來臆測的意義臆測的意義在提出猜測之後，證明與反駁的過程對於猜測的批判作用指問題提出後，合理的猜測未知結果或命題對錯的過程核心意義核心意義在於數學發現的探索是思維模式，以結構其數學擬經驗的數學哲學理論在於數學臆測的思維模式，以結構擬經驗取向：數學臆測與反駁的學習理論數學臆測思維模式的應用n猜測對象難度的評量猜測未知的結果比猜測命題對錯難。思維歷程可以分為五類：無法提出可檢驗的猜測、可猜測沒有檢驗、單猜測單檢驗、雙猜測單檢驗、多(單)猜測多檢驗。n學生臆測思維品質的評
16、量將學生思維的品質分級猜測未知結果的問題較能反映出學生臆測思維的品質。猜測命題對錯的問題具有診斷臆測思維的功能。n診斷教學與教學處方的基礎進行診斷教學的首要工作就是教師必須了解學生的認知狀態與思維過程，這是教師設計教學活動的基礎，也是教師在教式中臨場診斷與開出教學處方的重要依據。討論與對未來研究方向的建議主要結論研究結果在學理上與教學上的啟示對未來研究方向的建議主要結論n學生數學臆測的思維模式和特徵學生數學臆測的思維歷程可形成一個共通的思維模式圖，每位學生的臆測歷程都是此圖的一部分。n學生數學臆測的思維模式與數學家的模式是相容學生的臆測如果是成功的，則可以用數學家的系統來加以詮釋。學生數學臆測
17、的思維模式可以視為數學家臆測模式的簡化的模型。研究結果在學理上與教學上的啟示n學理上的補充：Mason的理論研究結果建構出一個數學臆測的思維模式，此模式的內涵和特徵以及在教學評量與診斷應用上都是Mason沒有的。研究所建立的數學臆測的思維模式能夠更完整地凸顯學生數學臆測的思維歷程。Lakatos的理論研究擴展了Lakatos的理論範圍。研究的模式正好補充了從問題到合理的猜想被提出來這個階段的思維模式。研究結果在學理上與教學上的啟示n教學上的啟示：學生個人數學臆測的思維模式可以呈現出其思維路徑和認知狀態。對教師而言，它具有表徵問題的難度、評量學生思維的品質以及診斷教學和開出教學處方的功能，這對教
18、學實務有非常重要的意義。對未來研究方向的建議n猜測問題與猜測主體之間的關係n數學臆測的思維模式與數學觀的關係n數學猜測活動與探究教學n猜測問題與猜測主體之間的關係猜測的問題從數學上到底可以怎麼分？就某一類猜測的問題本身在知識方面的需求應該可以再精緻化，而且依照猜測問題的分類，問題本身的難度可以再加以分析。猜測的問題與猜測的主體是兩個變數，在研究上如何去做歸因？對未來研究方向的建議n數學臆測的思維模式與數學觀的關係只要數學一直發展，個人或當代社會的數學觀點呈現分歧是必然存在的。關於數學知識的性質：可分為絕對觀與可錯觀絶對觀：數學知識是絕對的真理，數學是代表正確知識的唯一領域。可錯觀：數學知識被認為是可錯的、可更正的而且不需要確定的基礎。學生臆測的思維模式是否是其數學觀的具體表現？學生的表現是否和教師的數學觀有密切的關係？對未來研究方向的建議n數學猜測活動與探究教學數學猜測活動設計重點如何維持學生整個思維流程運作的流暢如何強調個人思維的外在監控系統如何界定教師角色探究教學在教室進行數學猜測活動，是一種探究教學。探究教學鼓勵學生獨立思考，討論自己的想法和發現。對未來研究方向的建議The End
