1、第第8章数学问题解决章数学问题解决姓名：于海薇姓名：于海薇学号：学号：201312000309第1页，共56页。8.1数学问题 关于数学问题的研究主要集中在以下几个方面：数学问题问题的界定问题的类型问题的教学功能一个好问题的标准第2页，共56页。8.11问题的界定 鲍尔和皮格弗德认为，所谓问题，是指个人或团体接受某项具有挑战性任务的一种情境，而这项任务没有立即明显的解决方法。梅尔认为“问题”有三项特征：（1）已知状态：说明已知条件或情境；（2）目标状态：说明欲达成的目标状态的历程。安德森认为，尽管问题多种多样，但所有问题解决都有一些共同的基本特征：第一，目的性，即问题解决必须有明确的目的；第二
2、，操作序列，即包括一系列的心理操作；第三，认知操作，即问题解决活动必须有认知成分参加，它的活动依赖于认知操作来进行。从上面的描述中可以看到，“问题解决”中的问题与通常课本上的习题是两个不同的概念。“问题”可以成为“习题”的一部分，但不是所有的“习题”都具体有“问题”的特征。第3页，共56页。8.12问题的类型 关于数学问题的分类主要有以下几条线索：一是按照解题的难度水平或复杂程度，如按照难度系数可以分为容易题、中等题与难题；按照解题的步骤可以分为单步题与多部题；按照解题思路的已知与否可以分为常规题与非常规题；按照问题的复杂程度可以分为简单问题和复杂问题，等等。波利亚在其名著数学的发现中，从所用
3、法则的熟悉程度与多寡将问题分为：（1）鼻子底下就有现成的法则。第4页，共56页。（2）带有选择性的应用。（3）组合的选择。（4）接近研究水平。二是按照问题解决过程的特征，如格里诺将用来进行实验研究的问题分成三种类型（1）归纳结构问题；（2）转换问题；（3）排列问题 三是依据问题的状态与结构，如认知心理学家通常将问题分为两种：已界定清楚的问题与未界定清楚的问题。四是依据问题解决涉及的要素，如奥加涅相按照条件、结论、解法和解题基础四个要素得出如下的分类表，表8-1,175页第5页，共56页。迈克尔和斯契夫在其有关问题的解决模式的研究中，按照问题、途径、方法、将问题进行分类，如图表8-2 此外，还可
4、以依据是否具有现实的背景而分为课堂中的问题与实际生活中的问题；依据是否具有创造性分为创造性文图与非创造性问题等。8.1.3问题的功能 不同类型的问题具有不同的教学功能，不同的场合需要不同的问题。例如，标准题与练习题常用第6页，共56页。于概念的理解及规则与程序的掌握；常规题可以帮助学生巩固基本的解题方法；开放题有助于培养学生的发散思维。因此，必须根据问题的不同功能和教学的特定需求来精心安排学生的问题解决活动。那么如何分析数学问题的教学功能呢？为奥加涅相提出了如下需要思考的问题：1这道习题要达到的教学目的是什么？2应当注意数学教育的哪些部分？3需要的正是这道题吗？4题目中具体的两，为什么选取这样
5、一些而不是别的？5为什么习题中恰好选择这样一种情节？6为什么选取这样一些数据，而不是别的？7如果实际情况中可能出现类似的问题，习题中的一致数据是否符合实际情况?第7页，共56页。8对于学生来说，习题的情节是否有趣？问题的提法是否自然而又引人入胜？文图能不能使学生对结果和解法产生兴趣？9学生能不能自己解答这道题？为此，他应当知道什么，记住什么，想到什么？如果学生不能做到这一点，这个事实说明什么问题？10教师可以而且应当用什么方法帮助这样的学生？做到什么程度才合适？11这道题同前后的作业有什么联系？等等 从目前我国中小学数学教学的实际情况看，数学的提醒已经十分丰富，因此，需要研究的问题就是，不同类
6、型的数学题到底有什么不同的教学功能？它们分别适合什么样的教学情境？应该采用那些儿不同的教学方法？以及学生在解答这些问题时，会遇到那学不同的困难？第8页，共56页。8.1.4一个好问题的标准 既然问题解决是数学课堂教学的核心，因此，教学的有效性往往取决于问题本身的优劣。那么，一个好的数学问题的标准是什么呢？道尔顿指出，一个“好问题”必须具备下列条件中的一个或更多“1问题要简单，使学生能认识并解决它；2 依靠学生的知识和能力能得到多种解法；3能引导学生转向类似的问题；4包含的数据能够被理 和解、分类、列成表格和分析；第9页，共56页。5能够通过模型和简图解决；6能马上引起学生的兴趣；7通过学生现有
7、知识或将要学到的知识能将一种解法一般化；8能用一种再认的方式解决；9答案要有意思。美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出所谓的“好问题”的五条什么原则，即一个好问题必须：1是容易接受的2有多种解题方法第10页，共56页。3蕴含了重要的数学思想（好的数学）4不故意设陷阱；5可以进一步开展和一般化；对上述原则，匈菲尔德的具体解释是：第一，所谓”容易接近“的问题，是指在入口处不需要多少正规的背景、特殊的知识或者方法。第二，“多解”问题具有很好的性质，它允许我们向学生指出通常有多种途径去解剖一道数学题，不仅仅是简单得到一个答案，而是去发现数学的关联思想。第11页，共56页。第三、四条原则是密切相关的，
8、从正面考虑，这些问题能够把学生印象真正的、城市的、有价值的数学。第五，也是最重要的一条就是，问题应该成为丰富的数学探索活动的起点，目的是给学生“做数学”的机会。为了说明上述的原则，匈菲尔德在他的书给出了两个例子，其一是对勾股定理的推广，其二是三阶幻方问题。第12页，共56页。8.2数学问题解决的基本过程 对数学问题解决过程的研究主要有四个层面（1）心理学界对数学解题心理办的问题的解决行为，过程（表征、策划、实施、检验）的研究，这类研究基本上都是针对小学阶段的数学问题的解决，讨论的是人类一般的问题解决行为，较少表现数学的学科特征；（2）西方数学教育界对数学问题解决特征及专家-新手的比较研究，代表
9、人物就是美国的匈菲尔德，这类研究通常以大学数学专业的学生或者数学家为研究对象（3)钱苏联数学教育界对数学解题的逻辑过程饿研究，侧重于问题的逻辑结构，较少关注解题者的心理变化及情感与态度；（4）对具体数学解题行为过程的研究，如我国的学者和教师对学生有水平的高低之分，主要是研究的角度不同。（）第13页，共56页。8.2.1问题解决的过程模型 问题解决作为一种高级的智力活动，从问题的产生到解决，牵涉到许多高层次的心理过程，因此从认知心理学的观点探讨问题解决的过程模型已成为众多学者的研究方向。下面，简要介绍其中一些比较经典的模型。8.2.1.1杜威的问题解决过程模型杜威的问题解决过程模型 美国的教育学
10、家杜威视问题解决为有意识的、深思熟虑的心智过程，此过程会自然地伴随着一连串的心理活动，其中包括：第14页，共56页。1呈现问题 2定义问题 3形成假设 4测验假设 5选择最佳的假设 8.2.1.2波利亚的波利亚的“怎样结题表怎样结题表”毫无疑问，波利亚是数学问题解决研究中毫无疑问，波利亚是数学问题解决研究中的标志性人物。早其所著的小册子的标志性人物。早其所著的小册子怎样解怎样解题题中，他就提出了解决问题的四个步骤中，他就提出了解决问题的四个步骤（表（表8-3）第15页，共56页。表表8-3波利亚的波利亚的“怎样解题表怎样解题表”第一，你必须弄清问题 弄清问题弄清问题 未知数是什么？已知数据是什
11、么？条件是什么？满足条件是否可能？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把他们写下来。第二，找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。拟定计划拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此相关的问题，你是否知道一个可能用得上的定理？回到定义去，看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。第三，实现你的计划 实现计划实现计划实现你的求解计划，检查每一个步骤。你能能够否清楚地看出这一个步骤是正确的？你能否证明这一个步骤是正确的？第四,验算所得到的解。回顾回顾 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个
12、结果？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？第16页，共56页。8.2.1.3纽维尔和西蒙的问题解决过程模型纽维尔和西蒙的问题解决过程模型 纽维尔和西蒙依据信息加工理论来分析人类的问题解决过程，编制了称为“通用问题解决者”的计算机程序，并成功的解决课诸如河内塔、牧羊人过河等古典问题，它们认为，整个问题解决的过程包含了问题出事状态和最后的目标状态，这些状态组合起来就成为“问题空间”。在问题空间及信息处理理论的前提下，一般的问题的解决过程可分为以下两个阶段：1了解问题 2寻找解决方法第17页，共56页。8.2.1.4匈菲尔德的数学解题模式 匈菲尔德强调数学解题的研究方向需要考虑四个因素：知识基础
13、，解题策略，自我知识基础，解题策略，自我控制及信念系统控制及信念系统。他根据元认知的观点，将解题过程区分为：1读题2分析3探索4计划5执行6验证等六个阶段。为了进一步分析问题解决过程中的“控制”情况，作者用流程图的形式描述了问题解决的各个阶段。第18页，共56页。给定问题 相关问题 或 新信息原理和系统 小困难 主要困难解题方案尝试解题回顾分析计划实施检验探究第19页，共56页。然后，针对流程图中的5个环节，作者又给出了详细的解释：首先，要分析问题实际是什么意思，一只什么，要求是什么，等等。在分析阶段，需要用那些策略往往依赖于要解决的问题和解决问题的人，但有一些常用的策略，间表8-4第20页，
14、共56页。表表8-4问题解决的分析阶段问题解决的分析阶段 准备，用简要形式表述问题，画张图表，或者在可能的情况下画张草图，这是，如果别人把原题拿走了，你还能解这道题吗？你是否真正明确问题所包含的必须的信息？1确信你明白了问题的含义 检查问题的条件已知什么，要求什么 观察一些例子对要做的事情有一个初步的感觉 检查一致性你是否有足够的信息？结论看起来是否合情、合理？你是否有多余的信息？2试图去简化问题,在你卷入细节之前，先寻找使问题简单化的途径。根据所给问题，你可以考虑：对称性 限定条件如固定其中的一些变量 不失一般性考虑特殊情形 3用你觉得最方便的形式重新表述问题 选择观点如果要证明两线段相等，
15、你可以选择欧式几何也可以选择三角 选择重点确定最重要的性质或者系统 重新表述问题利用所愿观点的术语；将重要性质加个“标签：第21页，共56页。其次是计划，从某种意义上说，计划是一种“主控机制”。实际上，流程图中，它不失一个独立的框图，而是应该贯穿整个过程，它的作用是保证所进行的活动是有益的。第三阶段是探究，探究式问题解决的心脏，问题解决的主要活动都是在这一阶段进行的，常用的策略见表8-5第22页，共56页。表表8-5问题解决的探究阶段问题解决的探究阶段这里你必须快速决策，如果发现一个念头是可行的，立即抓住它；否则，立即放弃它。第一步问题与等价性第一步问题与等价性1观察什么：等价问题 利用等价条
16、件代换题设或者结论，如将平行四边形写成对边平行且相等 尝试去重新构造问题，利用：不同的观点或者更方便的术语。逻辑等价形式。重新组织问题，利用：改变次序，引进新信息2尝试什么:首先考虑常规的程序。分解问题，通过（1）建立子目标（2）分解或者重组定义域排除干扰，缩小研究范围构造结果，利用：（1）归纳法（2）综合法考虑有关条件和结论的一般问题从相同或者类似结论的问题中，你能引进适当的子目标，可能的程序或者辅助的元素吗？从题设中你能得出什么常规结论？第23页，共56页。第二部稍微改变一下问题第二部稍微改变一下问题1尝试解决比较容易的相关问题，利用 在题设中增加条件或者信息 降低或者部分实现结论的要求，
17、由此你得到一个弱解的集合，从中决定nhi所需求的特殊解。2尝试解决更难的相关问题，利用：削弱或者减少限制条件，你可以考虑每一个条件在问题中的应用一般化，尝试去证明更多的结论。第三部陷入困境（检验任何相关的问题）第三部陷入困境（检验任何相关的问题）1你能想到任何条件相似或者结论相似的问题吗?2你能 到问题的部分情况的结果吗？3你能逆转其中一些条件吗？第24页，共56页。至于第四阶段：实施，是实际解决问题的最后阶段。对于检验，必须给予重视。比较比利亚的问题解决模型可以看到，匈菲尔德的模型可以说是在波利亚的基础上发展起来的，他的这个模型在数学教育界已经得到了普遍的认可。8.2.2数学问题解决的基本特
18、征数学问题解决的基本特征一般问题的解决和语义丰富的学科领域的问题解决有着本质的区别，前者以“尝试错误”、“手段目的”为基本策略，后者则更多地一览与学科知识与能力，这一节，重点讨论数学问题解决的学科特征重点讨论数学问题解决的学科特征第25页，共56页。8.2.2.1多步化归多步化归所谓“化归”，是把未知的、待解决的问题转化为已知的、已解决的问题，从而解决问题的过程。原苏联著名女数学家雅诺夫斯卡娅总结：“解题就是把题归结为已经解过的题”，波利亚利用一个烧水的例子，把化归解释得非常明白。数学问题解决的一个基本特征就是“多步化归”，通过多部化归，最终把一个未知的问题转换为一个已经解决的问题。例如要解决
19、问题Pn，若已经解决了问题Pn-1，则只需一步即可；但若要在问题P0的基础上来解就需要多步化归了。数学问题解决的多步化归使得“典型例题”处于十分关键的地位。只有掌握课一批典型例题，在解决新问题的时候才容易找到化归的方向。第26页，共56页。8.2.2.2多层结构多层结构纽维尔和西蒙根据问题的结构 特征将问题分为三种类型：良好结构问题、中等结构问题、不良结构问题类型良好结构问题中等结构问题不良结构问题定义总是具有相同的解题步骤需要改变策略以适应新的背景没有清晰的解题途径，并有一定的限制特征解题策略是可以预见的只有一个正确答案题设中包含所有解题需要的信息经常用多种解题途径只有一个正确答案必须收集解
20、题所需的信息解法是不可预测的没有唯一的标准答案，通常只有较满意的解法需要收集额外信息例子遵循一个指定程序设计一张工作单、或写一封信画一幅画，设计一座桥梁或者编制一个计算机程序第27页，共56页。教学与测试的应用依靠陈述性知识，而且比较肤浅获得的技能只能用于相似的情境，迁移性较差学习者简单的记忆程序容易和人物的辅助体系相结合需要较多的陈述性知识需要抽象建模、问题表征、评价等技能，有较好的迁移性学习者必须发明一定的策略以适应特殊的背景需要扩展的陈述性知识和经验利用前抽象、类比、符号推理和认知的灵活性，迁移性最强必须帮助学习者确定背景和解题的目标提供多种实践的机会数学问题的结果特征有一定的相对性，如
21、小学阶段的应用题对没有学过方程的小学生一般都是不良结构的问题，但对于学过医方程的中学生而言，则属于良好结构或者中等结构问题，研究表明不同结构问题所涉及的认知成分和教学功能更是不一样，特别是不良结构的问题今年来收到了越来越多的关注第28页，共56页。8.2.2.3多元表征问题表征是人们在解决问题时使用的哟中认知结构，具有多种形式，表征包含了叙述、推理和抽象。通常问题表征的来源有：（1）关于问题的陈述（或图、表等）（2）问题解决者已有的一般问题表征（3）类似问题的表征以及从简单部分产生的新表征等。研究表明，问题表征的质量影响着问题解决的难易程度，甚至是问题能否成功解决的关键。一个适宜的表征应该满足
22、三个条件：（1）表征与问题的正式结构相对应（2）表征中的各个问题成分被适当地结合在一起（3）表征结合了问题解决者的其他知识第29页，共56页。卡帕特根据表征系统与被表征系统的关系，将数学问题解决中的表征分为四种类型：认知性表征、解释性表征、数学内部表征、外部符号表征。从数学问题的解决过程来看，多元表征有以下三个方面的功能：启发功能、转化功能、理解功能。8.2.2.4多种背景多种背景数学既是一种科学的语言，又有广泛的实际应用，因此，对数学题的实际背景的重视是各国数学新课程的一个普遍特色。按照PISA2000的定义，所谓数学素养是指：确定、理解和运用数学的能力，以及对数学在每个人现在和未来的个人生
23、活、职业生活和社会生活的作用和需求有良好的判断能力。它涉及三个维度：过程、内容、背景第30页，共56页。PISA认为，背景和学生之间有远近之分，最近的是学生自己的日常生活，其次是学校的生活，接下来是工作与体育运动，地方社团等。除了实际背景外，数学内部也存在着各种不同的背景。例如一次函数，既可以在代数范围内讨论一次函数的性质，也可以用它来解决几何问题、线性规划问题、等差数列通项公式的问题等。背景的丰富也给数学问题解决带来了许多新的特点，例如实际背景可以使学生更关注数学的含义增进对数学的理解。第31页，共56页。实际背景也对学生的问题解决提出了许多新的要求。首先学生会用数学的“眼光”来看现实生活中
24、的问题，建立数学形式符号与实际内容之间的联系。其次，要求学生根据实际的背景来处理数学问题。8.2.2.5知识丰富知识丰富今年来，问题解决研究的一个新动向是区分出了“知识丰富领域的问题解决”和“知识贫乏领域的问题解决”。解决“知识贫乏”的问题的策略一般比较贫乏，主要是一些弱方法，如试误法，目的手段分析法和倒推法。而在“知识丰富”的学科领域，不仅需要更过的机遇学科知识的问题解决策略，知识本身也是一种基本的问题解决工具。也正因为如此，匈菲尔德在讨论影响数学问题解决的因素时，把知识基础作为其中的一个重要部分。第32页，共56页。与数学问题解决相关的知识包括：有关事实与概念的知识有关数学对象的性质和关系
25、的知识有关方法与策略的知识有关推理与论证的逻辑知识显然，上述只是对数学问题解决有重要的影响，也正因为如此，一些国家的心的数学课程标准开始强调“概念理解、技能训练与问题解决三者之间的平衡”。第33页，共56页。8.3影响数学问题解决的主要因素影响数学问题解决的主要因素问题解决是人类的一种复杂的心理活动，相关因素也是多种多样的。从已有的研究情况看，大体上可以分为两类：内部因素和外部因素内部因素外部因素知识基础解题策略元认知信念动机对问题的熟悉程度环境因素题型问题的特点结构复杂程度问题情境影响问题解决的因素第34页，共56页。关于影响问题解决的内部因素，将在本届的几个小结中重点讨论。这里先简要介绍几
26、个外部因素及其相关的研究：对问题的熟悉程度、环境因素、题型、问题的特点、结构、复杂程度、问题情境。下面，将按照匈菲尔德给出的框架从四个方面讨论影响数学问题解决的内部因素。8.3.1知识基础知识基础 知识基础，即解题者的先前知识及其表征。关于数学知识基础的研究主要涉及以下几个问题：8.3.1.1哪些知识对问题解决有重要的影响哪些知识对问题解决有重要的影响 乔纳森等人认为，问题解决者至少应该拥有三个方面的知识：陈述性知识、结构性知识和程序性知识。第35页，共56页。斯密斯认为影响问题解决的主要有两类知识：有关一般解题程序的知识和专业领域的知识。梅尔通过对解题过程的分析，将解题时所需的知识分为以下常
27、规程序；相关能力；关于学科表述规则的能力。五个范畴：（1）语言知识（2）语意知识（3）图式知识（4）策略性知识（5）程序性知识对于数学问题解决而言，匈菲尔德认为，必要的知识基础包括：关于该领域的非正式的直觉的知识；事实、定义等；算法；8.3.1.2数学知识基础对问题解决有什么意义数学知识基础对问题解决有什么意义首先，研究表明，要成为某个领域的专家，一般需在长时记忆拥有大约50000个知识块，这些知识块是该领域neu进行思维操作的具体对象，而且有许多情况看似在运用侧罗，实际上是在运用这类已相当完善的知识快。第36页，共56页。其次，数学作为一种关于迷失的科学，其知识本身往往就蕴含着数学的各种思维
28、模式。此外，数学问题解决的最基本的形式是化归。8.3.1.3数学知识经验是如何形成的？数学知识经验是如何形成的？已有的教学实验表明：一般的学生在知识的掌握上并没有困难，困难的是知识在解决问题中的运用，尔影响知识运用的一个很重要的因素就是知识的形成过程。在数学知识的形成过 程中应注意一下几点：首先，使知识的形成过程称为一种问题解决的过程。其次，要注意知识之间的联系。再次，应重视数学思想方法的教学。最后，要注意对数学解题经验的积累 此外，还应正确对待题型的功能。问题解决教学的核心是：当我们不知道作什么的时候怎么去做，而题型教学的结果是准确的知道做什么。第37页，共56页。8.3.1.4数学知识的组
29、织与表征对问题解决有什么影响数学知识的组织与表征对问题解决有什么影响 研究表明，除了相关的知识外，解题者原有的知识的表征也将直接影响到问题的解决的成效。匈菲尔德的研究也表明，学生在问题，学生在问题解决中之所以失败，常常不失因为缺乏相关的知识，而是对知解决中之所以失败，常常不失因为缺乏相关的知识，而是对知识的无效运用。识的无效运用。按照认知理论的观点，问题解决的主要侧罗是模式识别，尔模式识别的前提是知识的良好组织。波利亚对数学知识的组织提出了一下的建议：在任何主题中，都会有一些关键事实。例如，在初等几何的研究中，三角形的全等和相似的判定法则就是关键的事实。应当把这些关键的事实放在记忆库的最前面。
30、应当把过去解过的具有相同类型未知量的问题和过去证明过的具有相同结论的定理设法“储存在一起”概括一下有关的问题也许能使知识的组织稿得更好一些。第38页，共56页。8.3.2解题策略解题策略 受笛卡尔的思考规则和波利亚的怎样解题的影响，解题策略始终是数学问题解决研究的核心内容。从已有的研究看，数学问题的解题策略答题上有四个层次：（1）一般的思维方法（2）一般的探索策略（3）数学的思想方法（4）数学的解题技巧.i研究表明，一个失败的解题者与成功的解题者，其最大的差异在于采取的解题策略。8.3.2.1心理学界关于模式识别的假说心理学界关于模式识别的假说 按照心理学的观点，问题解决的事实是模式识别。所谓
31、模式是指若干个元素或成分按照一定关系形成的某种刺激结构，也可以说是刺激的组合。“模式识别过程就是感觉信息与尝试记忆中的项目有着最佳匹配的过程”其匹配方式有以下几种说法:1问题解决的模板说 2问题解决的原型说 3问题解决的特征分析说 以上说法虽然目前仍无定论，但多少解释了问题解决策略的心理机制。第39页，共56页。8.3.2.2数学问题解决的基本策略数学问题解决的基本策略从波利亚开始，数学教育界就开始提炼数学问题解决的各种策略，具体设计两个层次。第一个层次是数学问题解决的一般策略在这方面的研究中，最著名的当属匈菲尔德的工作。匈菲尔德在波利亚的基础上，通过大连的教学实验，提出如下一些问题解决的一般
32、策略：表8-7 分析分析1如果可能的话，画张图2验证特殊情形：选择特殊值 检查极端情形，探究允许范围 对自然数问题考虑1、2、3的情况，寻找归纳模式。3简化问题，通过 考虑对称性 利用“不失一般性”的论断 探究探究1考虑等价问题 讲条件等价变换 按照不同途径重新组合问题的元素第40页，共56页。引进辅助元素 重新表述问题，通过：改变属性或者术语；从反面考虑；假设结论成立，研究它的性质。2对问题进行微调 选择子目标 放宽条件，然后重新加上 分解情况，逐一解决3较大地调整问题 构造一个变量较少的同类问题 固定其他因素，只让一个量变化讨论相关的问题，它是：条件相似，形式相似或者结论相似 检验1你的解
33、答是否通过下面的特殊性的检验：它利用了所有相关饿数据吗？它符合合情的估计和预测吗？第41页，共56页。它经得住对称性、维度和范围的检验吗？2你的解法是否通过下面一般化的检验：有别的解题途径吗？在特殊情形中它能成立吗？它能简化为已知的结果吗？它能用来产生你所熟悉的结果吗？与匈菲尔德不同的是，前苏联的学者往往从逻辑的角度去考察问题解决的策略，例如，奥加涅相根据解题的四个阶段：理解习题的条件、指定解题计划、实行解题计划、研究所得的解，分别给出了一系列的解题策略，其中在理解习题的条件阶段常用的策略是：1开始研究题的条件时，你应当仔细做出直观的图形、平面图、表格或者说明问题的草图，以帮助你思考问题。2清
34、晰地理解题的情景中的各个元素；一定要弄清其中那些元素是给定了的，哪些是所求的.3深入地思考习题叙述中的每一个此的意义；尽量找出题的重要元素，在图上用直观的赴考标出一直元素和未知元素。第42页，共56页。4尽可能从整体上理解题的条件，找出它的特点。5仔细想想题的叙述是否可以做不同的理解，题的条件中是否有多余的，互相矛盾的东西，是否缺少什么条件。6认真研究题目提出的目标。7如果在阶梯式有可能使用你熟悉的某种一般的数学方法，尽可能使用哪种方法的语言表示题的元素。而在制定计划阶段常用的策略为：1想法设法将所给的题同你会解的某一类题联系起来。2要记住，题的目标是寻找解答的主要方向3将所得到的局部的结果通
35、体的条件目标作比较，用这种方法警察检查解题的意图是否合理。4试试能不能部分改变题目，而且将与该题有关的概念用它的定义来替换。第43页，共56页。5将题的体检分成几个部分；尽可能将这几个部分构成一个新的组合。6试试能不能将所给的题目分解成一串辅助问题，一次回答解答这些辅助问题就可以构成所给问题的解。7研究提的某些部分的极限情况，看看这样会对题的基本目标有什么影响。8改变题的某一部分，看看这样改变会对题的其他部分有什么影响。9如果所给题解不出来，你可以从课本或者科普书籍中找一个与所给题目相似、但已经给出解答的题。第44页，共56页。第二个层次是解决各类数学问题的具体策略。这类策略一方面与数学内容和
36、问题类型相关，如解决平面几何问题的一般策略；另一方面，与解答者的认知水平和思考习惯有联系。8.3.2.3数学问题解决策略的可教性数学问题解决策略的可教性 回顾数学问题解决的研究历程可以看到，早期的研究往往都集中在问题解决的策略上，从20世纪80年代中期以后，关于解题策略的研究开始侧重于教学方面。关于数学解题策略的形成，匈菲尔德的研究表明：1任何解答问题者都会积累起一定的解题策略。2这种解题策略尽管是个人特有的，在总体上特别是成功的解题者，即如数学家而言却又表现出很大的一致性。3解题者，特别是较为成熟的解题者，可以通过自我反省获得对自己所积累的解题策略的自觉认识，并用明确的语言进行刻画。4不同的
37、领域往往有不同的解题策略；一个良好的解题策略的形成往往取决于三个元素：知识结构、信息加工方式和非智力因素。第45页，共56页。关于解题策略的教学，自然应该从：“通性说法”教起。有关解题策略的教学研究通常都采用如下的方法：首先设计一套思维策略的训练程序，选择某些学生进行训练，然后比较训练与未接受训练的人在解决相似和不想死问题的能力变化。此外，对绝大多数学生而言，解题策略的掌握并不难，困难的是辨认有困难的是辨认有效使用策略的条件效使用策略的条件和从几条策略中选择特殊的策略。因此重要的是教从几条策略中选择特殊的策略。因此重要的是教会学生：确认会学生：确认一条策略什么时候是有效地；从几条可用的策略中一
38、条策略什么时候是有效地；从几条可用的策略中选择最恰当的一条；正确地运用策略，不幸的是目前大多数家偶尔只选择最恰当的一条；正确地运用策略，不幸的是目前大多数家偶尔只关心如何正确运用策略。关心如何正确运用策略。因此，掌握一定的探索策略仅仅是成功的一个因素，选择并追寻正确的途径，即时从不恰当的选择中摆脱除开，以及监控和整体把握问题解决的整个过程同样是重要的问题解决既需要丰富的资源，也需要效率，这就是“元认知”方面要研究的问题。第46页，共56页。问题解决过程中的策略选择问题解决过程中的策略选择 原始状态 策略的一种 潜在的 更多的 目标 合情选择 台阶 台阶第47页，共56页。8.3.3元认知元认知
39、事实上，很多致力于改善学生的解题行为的努力之所以未能取得成功，就是因为有关的教学过分地强调了启发法能力的发展，而忽视了对于调整个人行为来说十分必要的调节能力。匈菲尔德的研究表明，学生在问题解决中只随意失败，常常不是因为缺乏相关的知识和认知策略，而是对知识和认知策略的无效运用。其他研究也表明，元认知可以帮助解题者监控和调整自己的认知过程，评估不同的解题思路，理解各种解题策略，以及先前知识的提取与运用。因此，从20世纪80年代中期以后，在认知科学的带动下，数学问题解决的研究开始考虑解决问题过程中的监控和调节问题，从冠以上说，考虑元认知问题，目前的一个普遍观点是，元认知是问题解决的一个必要成分。第4
40、8页，共56页。8.3.3.1影响数学问题解决的元认知成分影响数学问题解决的元认知成分匈菲尔德在讨论元认知对数学问题解决的影响时，涉及了以下三个方面的元认知成分：（1）个体对自己的认知特点的认识；（2）个体的自我调节程序，包括对认知过程的监督和即时作出决策；（3）个体对认知过程的反思和评价斯滕伯格提出了七项影响问题解决的认知成分：（1）确定需要加以解决的问题；（2）选择一个较低层次的组成要素；（3）选择一个活多个信息表征或者组织的方式；（4）选择一个较低层次组成的策略来加以结合（5）决定注意的范围与实践的分配；（6）监控解题的过程；（7）对外在的回馈要有所感应。舍穆曼从四个方面：为什么（W-W
41、hy)、怎么样（H-How)、是什么(W-What)以及在哪里(W-Where)给出客元认知所谓的WHWW结构。第49页，共56页。莱斯特则认为，元认知是伴随认知过程发生作用的，因此，在他的认知元认知模型中，通过例子说明元认知伴随认知活动的情况。由于元认知是对自身认知过程的一种认识，因此在考察元认知对问题解决的影响时，自然离不开问题解决的认知过程，但是从教学和研究的角度出发，也需要将这些元认知成分从认知过程中剥离出来，上述几种对元认知成分的分类都有一定的参考价值。8.3.3.2元认知策略的教学元认知策略的教学 首先来考察元认知的可教性问题。国外的许多试验研究都表明，针对元认知策略的转向教学是有
42、成效的，而且可以促进学生的问题解决表现。莱斯特等人曾做过一次大规模的调研工作，对初中生进行了介入教学研究。他们还列出了教师做到的行为。第50页，共56页。解题课上要求教师具备的教学行为解题课上要求教师具备的教学行为 教学行为 目的 解题前解题前1把问题读一下讨论一下学生 向学生说明仔细审题的重要性；可能不裂解的一些词汇和词语。集中于特殊词汇2全班讨论理解题意的重要性 集中于重要数据，澄清过程3（供选择）让全班讨论可能用到的 引出可能的解决问题的思想解题策略 解题中解题中4通过观察和提问的方式确定学生的 判断学生在解题中的成功与不足解题进展 之处5提供必要的提示 帮助学生排除各种障碍6对问题进行
43、必要的展开 要求提前完成的学生做概括7要求已经找到答案的同学“回答问题”要求学生再仔细检查一下，看 看自己是否真的做对了 第51页，共56页。解题后解题后8将学生的各种答案提出来进行讨论 向学生讲解在解题中各种策略9联系先前解答过的问题让学生进一步 向学生掩饰解题策略的通用性开展10讨论一些特殊的特征，如图形 向学生之处某些特征是如火热 影响解法的调查结果表明：l在数学概念和运用这些概念解题的过程之间存在着一种动态的相互关系。l为了提高解题能了，学生必须在较长一段时间内经常解答各种类型的问题。l在一定特殊领域的背景中进行元认知教学最为有效l在教师的指导下，系统地、有组织地进行解题教学，尤其是原
44、主人之教学才是有效地。l面对课堂总的现实情况，教师向继续保持监督者以及榜样的地位是很困难的。l人们对小组活动的动态课堂模式的理解并不十分充分，尚未证实“小组之间的相互作用是一种最好的形式”这一假设。l评估时一定要表扬按照要求进行学习的学生，并鼓励学生的这种行为。第52页，共56页。此外，他们的研究还表明：在复杂的学科内容领域中形成自我调节技能是比较困难的，通常需要修正学生的行为让学生“抛弃”再试试这种教学之前形成的各种不恰当的控制行为。其次，从教学方法上看，布朗等人将元认知策略的训练依教学者与学习者的主动介入性、教学过程的明确性及学习者的自我控制程度，分为隐蔽式训练、高知识训练及自我控制孙连等
45、三种形式。对于初学者、学习困难者或教学之初，建议采用较为直接的侧罗教学与改制式教学，以便学生充分了解策略的使用方法，体验策略对其学习表现的促进性，使其能在日后的学习中主动运用中所习得的策略知识。但总的涞水，目前有关数学问题解决中元认知的作用及教学方面的研究仍处于起步的阶段。第53页，共56页。8.3.4动机与信念动机与信念 越来越多的研究表明，动机和信念在问题解决过程中同样有着重要的意义。有关问题解决动机的研究表明：源于进行冒险，毅力和自信心是影响学生问题解决表现的三个最重要的因素，尔适度的紧张和不适会提高学生的问题解决表现，在问题解决之后紧张的释放就是一个动机。匈菲尔德发现，学生和数学家在数
46、学问题解决中的最大差别就是信念。前者在解题过程中，虽然具有足够的几何知识，但却不知如何去运用这些知识，而更多采用的是“尝试错误”的途径，并依赖于直觉的判断；许多同学几次失败之后，就放弃了努力。与此不同的是，参加实验的数学家，对然十几年之间都未接触到过几何，但当他发现却晒某个条件时，就尝试用推理的方法把这个条件证明出来，通过推理去寻找信息是数学世界观饿一个重要的特征。第54页，共56页。长期以来，国际数学教育界一个普遍担忧的问题就是学生对数学的态度和信念。许多相关的调查都表明，学生对数学的不正确的态度和信念是与你共享问题解决表现的重要因素，而这些不正确的态度和信念是通过学生的学校经历而形成的。在
47、学校经历中，做数学就是遵循教师制定的各种计划；懂数学就是记住这些规则，并在教师提问时正确运用这些规则；在教师证实认可答案后，就确定了数学的真实性。这样，学生在学校中通过多年的观察、听课和实践，久而久之，就形成了怎么做数学积极什么叫懂数学的各种偏见。匈菲尔德认为，要使学生形成对数学的正确信念，教师首先自己要认识到:数学是一种固有的社会活动，活动的内容是模式的科学，这些模式包括：在观察、研究和实验的基础上进行系统的探索，去确定一个从功利和定理出发的系统，或者一个从现实世界中抽象出来的系统模型的性质和原理。数学的工具是抽象、符号表示和符号运演，但会用这些工具并不意味着能够数学式地思维。学会数学式地思维意味着：（1）养成一种数学观心善数学的抽象过程的价值，并愿意去运用它们；（2）发展运用工具的能力，并利用这些工具达到理解结构的目的。最后，所谓的数学真理是一些暂时的真理，它们反映的是一些最好的，但也可能是错误的理解。因此，我们必须创设一种学习环境，在这种环境中，学生能够积极地区体验数学。第55页，共56页。从目前的研究来看，情感与问题解决之间仍未显示出清楚地关系。这方面研究不够深入的一个原因是，在20世纪后半夜认知心理学过分重视人工智能和“信息加工过程”对人脑的模拟，从而忽视了情感的因素。第56页，共56页。
