1、探索二次函数综探索二次函数综合题解题技巧合题解题技巧类型一 线段数量关系的探究问题类型二 图形面积数量关系及最值的探究问题类型三 特殊三角形的探究问题类型四 特殊四边形的探究问题类型一 线段数量关系的探究问题例：（2015贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2 2）若动点）若动点P P在第二象限内的抛物在第二象限内的抛物线上，动点线上，动点NN在对称轴在对称轴I I上上当当PAPANANA，且，且PAPA=NANA时，求此时，求此时点时点P P的坐标；的坐标；(2012年贵港
2、中考)26（本题满分12分）如 图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点 P，满足PM2PB2PC235，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。方法指导方法指导：设点坐标：若所求点在设点坐标：若所求点在x x轴上可设轴上可设（x x,0,0），在），在y y轴上可设（轴上可设（0 0，y y）；若）；若所求的点在抛物线
3、上时，该点的坐标所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（可以设为（x x，axax2 2+bx+cbx+c)；若所求的；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（为（-，y y)；若所求的点在已知直线；若所求的点在已知直线y=y=kx+bkx+b上时，该点的坐标可以设为上时，该点的坐标可以设为（x x，kx+bkx+b)，常用所设点坐标表示出，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长相应几何图形的边长.ba2简单概括就是规则与不规则线段的简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是表示：规则：横平竖直。横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确右减
4、左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。定点的左右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式不规则：两点间距离公式根据已知条件列出满足线段数量关根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；系的等式，进而求出未知数的值；类型二 图形面积数量关系及最值的探究问题例：（例：（20152015贵港）如图，抛物贵港）如图，抛物线线y y=axax2 2+bxbx+c c与与x x轴交于点轴交于点A A和和点点B B（1 1，0 0），与），与y y轴交于点轴交于点C C（0 0，3 3），其对称轴），其对称轴I I为为x x=1 1（1 1）求抛物线的解析式并写出）求抛物
5、线的解析式并写出其顶点坐标；其顶点坐标；（2 2）若动点）若动点P P在第二象限内的抛在第二象限内的抛物线上，动点物线上，动点NN在对称轴在对称轴I I上上当当PAPANANA，且，且PAPA=NANA时，时，求此时点求此时点P P的坐标；的坐标；当四边形当四边形PABCPABC的面积最大时，的面积最大时，求四边形求四边形PABCPABC面积的最大值及面积的最大值及此时点此时点P P的坐标的坐标方法指导：方法指导：1.1.三角形面积最值三角形面积最值.分规则与不规则。有分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没行属于
6、规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。属于不规则，用割补法。2.2.四边形面积最值。常用到的方法是利四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形积），其求法同三角形.类型三 特殊三角形 的探究问题例例(2016(2016枣庄枣庄)如图，已知抛物线如图，已知抛物线y y=axax2 2+bx+cbx+c(a0)(a0)的对称轴为直线的对称轴为直线x x=-1,=-1,且经过且
7、经过A A(1(1，0)0)，C C(0,3)(0,3)两点，两点，与与x x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B B.（1 1）若直线）若直线y=y=mx+nmx+n经过经过B B，C C两点，两点，求抛物线和直线求抛物线和直线BCBC的解析式；的解析式；（2 2）设点）设点P P为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴x x=-1=-1上的一个动点，求上的一个动点，求使使BPCBPC为直角为直角三角形的点三角形的点P P的坐标的坐标.解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），得BC2=OB2+OC218,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6
8、t+10.由于直角BPC的直角不确定，故需分情况讨论：若B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2；若C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4；若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18，解得t1=,t2=31723172方法指导：方法指导：1.1.对于对于直角三角形直角三角形的探究问题的探究问题,解题时一般需做好以解题时一般需做好以下几点下几点:(1)(1)利用坐标系中两点距离公式利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边得到所求三角形三边平方的代数式；平方的代数式
9、；(2)(2)确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；讨论；（3 3）根据勾股定理得到方程）根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；解，此点存在；否则不存在；2.2.对于对于等腰三角形等腰三角形的探究问题，解题步骤如下的探究问题，解题步骤如下:（1 1）假设结论成立；）假设结论成立；（2 2）设出点坐标，求边长）设出点坐标，求边长.；（类型一方法指导）；（类型一方法指导）（3 3）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下需分情
10、况讨论，具体方法如下:当定长为腰当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边当定长为底边时，时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交
11、点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方与已知直线无交点，则满足条件的点不存在用以上方法即可找出所有符合条件的点；法即可找出所有符合条件的点；类型四 特殊四边形的探究问题例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.2
12、）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形.需要分AC为对角线或AC为平行四边形一边两种情况讨论,再利用平行四边形的性质求解.特殊四边形的探究问题解题方法步骤如特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下下:（1 1）先假设结论成立；）先假设结论成立；（2 2）设出点坐标，求边长）设出点坐标，求边长.（类型一方（类型一方法指导）；法指导）；（3 3）建立关系式，并计算）建立关系式，并计算.若四边形的若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不
13、确定，需分情况讨论顶点位置不确定，需分情况讨论:例：（例：（20142014贵港）如图，抛物线贵港）如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+bx3a3a（a0a0）与）与x x轴交于点轴交于点A A（1 1，0 0）和点）和点B B，与，与y y轴交于点轴交于点C C（0 0，2 2），连接），连接BCBC（1 1）求该抛物线的解析式和对称轴，）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段并写出线段BCBC的中点坐标；的中点坐标；（2 2）将线段）将线段BCBC先向左平移先向左平移2 2个单位长个单位长度，在向下平移度，在向下平移mm个单位长度，使点个单位长度，使点C C的对应点的对应点C C1
14、1恰好落在该抛物线上，求此恰好落在该抛物线上，求此时点时点C C1 1的坐标和的坐标和mm的值；的值；（3 3）若点若点P P是该抛物线上的动点，点是该抛物线上的动点，点Q Q是该抛物线对称轴上的动点，当以是该抛物线对称轴上的动点，当以P P，Q Q，B B，C C四点为顶点的四边形是四点为顶点的四边形是平行四平行四边形边形时，求此时点时，求此时点P P的坐标的坐标探究平行四边形探究平行四边形：以已知边为平行：以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；以已知边为平行四边形的进行
15、计算；以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；若平行四边形的各顶点位进行计算；若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论一边作为一边或对角线分情况讨论.探究菱形探究菱形:已知三个定点去求未知点已知三个定点去求未知点坐标；已知两个定点去求未知点坐标坐标；已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式四边相等等性质列
16、关系式.探究正方形探究正方形:利用正方形对角线互相平利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，分且相等的性质进行计算，一般是分一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解得到方程再求解.探究矩形探究矩形:利用矩形对边相等、对角线利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解直，利用勾股定理列关系式求解类型一 线段数量关系的探究问题类型二 图形面积数量关系及最值的探究问题类型三 特殊三角形的探究问题类型四 特殊四边形的探究问题谢谢大家例1 如图，抛物线y=-x2+bx+
17、c的图象过点A(4，0)，B(-4，-4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC,AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求PBC周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，8),B(8，0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C,D同时出发，当动点D到达原点O时，点C,D停止运动.(1)直接写出抛物线的解析式:；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时，CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
