1、【 精品教育资源文库 】 35 双星与多星问题 方法点拨 (1)核心问题是 “ 谁 ” 提供向心力的问题 (2)“ 双星问题 ” 的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比； (3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即 F 合 mv2r，以此列向心力方程进行求解 1 (2018 如皋市质量检测 )“ 双星体系 ” 由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体如图 1 所示，相距为 L 的 A、 B两恒星绕共同的圆心 O 做 圆周运动， A、 B 的质量分别为 m1、
2、 m2，周期均为 T.若有间距也为 L的双星 C、 D， C、 D 的质量分别为 A、 B 的两倍，则 ( ) 图 1 A A、 B 运动的轨道半径之比为 m1m2B A、 B 运动的速率之比为 m1m2C C 运动的速率为 A 的 2 倍 D C、 D 运动的周期均为 22 T 2 (多选 )太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统 三颗 星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统 三颗星体位于等边三角形的三个顶点上已知某直线三星系统 A 每颗星体的质量均为 m，相邻两颗星中心间
3、的距离都为 R；某三角形三星系统 B 的每颗星体的质量恰好也均为 m，且三星系统 A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统 B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等引力常量为 G，则( ) A三星系统 A 外侧两颗星体运动的线速度大小为 v GmR B三星系统 A 外侧两颗星体运动的角速度大小为 12R 5GmR 【 精品教育资源文库 】 C三星系统 B 的运动周期为 T 4 R R5Gm D三星系统 B 任意两颗星体中心间的距离为 L3 125 R 3 (多选 )(2017 镇江市 3 月质检 )冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为 M、 m(m1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在
4、暗物质假设以 两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为 m，那么，暗物质的质量为 ( ) A.k2 14 m B.k2 28 m C (k2 1)m D (2k2 1)m 5 (2017 锦屏中学模拟 )2016 年 2 月 11 日，科学家宣布 “ 激光干涉引力波天文台 (LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念 100 周年后，引力波被首次直接观测到在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统如图 2 所示， 黑洞 A、 B 可视为质点，它们围绕连线上 O 点做匀速圆周运动，且 AO 大于 BO，不考
5、虑其他天体的影响下列说法正确的是 ( ) 图 2 A黑洞 A 的向心力大于 B 的向心力 B黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度 C黑洞 A 的质量大于 B 的质量 D两黑洞之间的距离越大， A 的周期越小 6 (多选 )宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供【 精品教育资源文库 】 向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为 T，两星到某一共同圆心的距离分别为 R1和 R2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是 ( ) A这两颗恒星的质量必定相等 B这两颗恒星的质量之和为 42?R1 R2?3GT2 C这两颗恒星的质量之比为 m
6、1 m2 R2 R1 D其中必有一颗恒星的质量为 42?R1 R2?3GT2 【 精品教育资源文库 】 答案精析 1 D 对于双星 A、 B，有 Gm1m2L2 m1(2T )2r1 m2(2T )2r2， r1 r2 L，得 r1 m2m1 m2L， r2 m1m1 m2L， T 2 L LG?m1 m2?， A、 B 运动的轨道半径之比为 r1r2 m2m1， A 错误；由 v 2 rT 得， A、 B运动的速率之比为 v1v2 r1r2 m2m1， B 错误； C、 D 运动的周期 T 2 L LG?2m1 2m2? 22 T， D正确； C 的轨道半径 r1 2m22m1 2m2L
7、r1， C 运动的速率为 v1 2 r1T 2v1， C 错误 2 BCD 三星系统 A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为 R的圆轨道上运行其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有： Gm2R2 Gm2?2R?2 mv2R，解得 v 5Gm4R ， A错误；三星系统 A中，周期 T2 Rv 4 RR5Gm，则其角 速度为 2T 12R 5GmR ， B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统 B 的运行周期为 T 4 R R5Gm， C 正确；三星系统 B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图
8、所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2Gm2L2 cos 30 mL2cos 30 4 2T2 ，解得 L3 125R， D 正确 3 CD 冥王星与星体卡戎之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力：可由 G Mm?R r?2MR 2计算冥王星做圆周运动的角速度，故 A 错误；同理，可由 GMmL2 Mv2R计算冥王星做圆周运动的线速度，故 B 错误；冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统所以冥王星和星体卡戎做圆周运动的周期是相等的，可由 GMmL2 mr(2T )2 计算星体卡戎做圆周运动的周期，故 C正确；因 G Mm?R r?2 MR 2 mr 2，由于它们的角速度的大小
9、是相等的，所以： MR mr ，【 精品教育资源文库 】 又： vm r ， vM R ， pm mvm， pM MvM，所以冥王星与星体卡戎绕 O 点做圆周运动的动量大小相等，故 D 正确 4 A 两星球均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为 L，由万有引力提供向心力得： Gm2L2 m4 2T理论 2L2，解得： T 理论 L2LGm.根据观测结果，星体的运动 周期T理论T观测 k，这种差异是由两星球之间均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在两星球之间的暗物质对双星系统的作用与一质量等于暗物质的总质量 m 、位于中点 O 处的质点的作用相同则有： Gm2L2 Gmm?L2?2 m
10、42T观测 2L2，解得： T 观测 L2LG?m 4m ?，又T理论T观测 k，所以： m k2 14 m，故 A正确， B、 C、 D 错误 5 B 两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知， A 对 B 的作用力与B 对 A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞 A 的向心力等于 B 的向心力，故 A 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知 A 的轨道半径比较大，根据 v r 可知，黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度，故 B 正确；由于 mA 2rA mB 2rB，由于A 的轨道半径比较大，所以 A 的质量小，故 C 错误；两黑洞靠相互间的
11、万有引力提供向心力，所以 GmAmBL2 mA42T2 rA mB4 2T2 rB，又： rA rB L，得 rAmBLmA mB， L 为二者之间的距离，所以得：GmAmBL2 mA42T2 mBLmA mB，即： T2 42L3G?mA mB?，则两黑洞之间的距离越小， A 的周期越小，故 D 错误 6 BC 设两星质量分别为 m1、 m2.对 m1有： G m1m2?R1 R2?2 m1R14 2 T2 ，解得 m24 2R1?R1 R2?2GT2 ，同理可得 m1 42R2?R1 R2?2GT2 ，故两者质量不相等，故选项 A 错误；将两者质量相加得 m1 m2 42?R1 R2?3GT2 ，则不可能其中一个的质量为4 2?R1 R2?3GT2 ，故选项 D 错误，选项 B 正确； m1 m2 R2 R1，故选项 C 正确
