1、1数理经济学丶课间休息数理经济学丶课间休息 2第第2 2讲讲第第1 1章章:效用函数与需求函数效用函数与需求函数3了解效用函数与需了解效用函数与需求函数在实际中的求函数在实际中的应用应用4问题1:什么是经济学？经济学可以简单地定义如下：利用有限的资源，合理安排生产，生产的产品在消费者中进行合理的分配，达到人类现在与未来的最大满足。根据以上的定义，学习或者研究数量经济学的首要任务是：如何用数学公式来表示人类的满足程度和个人的满足程度。5衣着食品住宅交通效用函数或生活水平函数U闲暇安全 健康家庭 荣誉6效用函数),(nxxU11xnx7BA123CDEF)(xU890121xxxU),(02121
2、2xxxU),(0221xxxU),(022212xxxU),(10练习：写出效用函数的数学表达式并画出等效用线。11练习：写出效用函数的数学表达式。第1种类型：对数线性型、或者柯布道格拉斯型：1011iianaaaxAxUn,12练习：写出效用函数的数学表达式。bayxAUxy13练习：写出效用函数的数学表达式。第2种类型：不变替代弹性型、或者CES型：111nnxaxaAU141ybxaAUxy练习：写出效用函数的数学表达式。15练习：写出效用函数的数学表达式。0/1ybxaAUxy16练习：写出效用函数的数学表达式。0/1ybxaAUxy17问题：请写出效用最大数学模型与效用最大法则的数
3、学表达式18MxpxptsxxUMax221121.),(效用最大的数学模型 1922211121pxxxUpxxxU),(),(Mxpxp2211效用最大法则:通过求解消费者效用最大法则，就可以得到是需求函数的数学表达式。20MxpxptsaaxAxUiiaa2211211021.,maxMaaaxp21111Maaaxp2122122211121pxxxUpxxxU),(),(Mxpxp2211效用最大数学模型效用最大法则需求函数21问题：选择题：a.需求函数与效用函数值的大小有关系。b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。c.需求函数与效用函数值大小的关系不确定，有时候有关系，有时候没有
4、关系。22问题：有人认为，效用函数值的大小不能测量，所以应该全盘否定西方经济学。这一句话有没有道理？23练习：如果人们收入中有60%购工业品，数量为x,40%购农业品，数量为y,写出效用函数的数学表达式。24练习：如果人们收入中有60%购工业品，数量为x,40%购农业品，数量为y,写出效用函数的数学表达式。4.06.0yxAU25练习：请求解：MxpxptsxaxaUMax22112211.26解:可以根据高等数学当中求极值的方法来求解以上问题。作拉格朗日函数:)(22112211xpxpMxaxa27那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax28那么，极值的必要条件为：
5、111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/29那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp221130那么，极值的必要条件为：111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp2211Mpapapaxp)/()/()/()/()/()/(1211211111111111131111110pxax212220pxax1111pxa/2122pxa/Mxpxp2211Mpapapaxp)/()/()/()/()/()/(12112111111111111Mpapapaxp)/
6、()/()/()/()/()/(1211211111121122232练习：若效用函数为：)()(21CbCaU?:2211CpCp求支出比例为多少？33 利用需求函数表达式可以求出：MpbpapaCp)1/(2)1/(1)1/(1)1/(1)1/(1)1/(111MpbpapbCp)1/(2)1/(1)1/(1)1/(1)1/(2)1/(12234练习：若效用函数为：)()(21CbCaU 121112211:ppbaCpCp支出比例为:35练习：工农业品支出比例的对数值与工农业品价格比的对数值符合下式，求效用函数表达式。21221135.0ppLogCpCpLog36练习：工农业品支出比例
7、的对数值与工农业品价格比的对数值符合下式，求效用函数表达式。35.021111211122110,5.01135.01bababaLogppLogbaLogCpCpLog21221135.0ppLogCpCpLog37 效用函数的应用：考虑多个时期消费者最优选择经济学应用青年人向银行贷款提前 消费的计算模型 经济学应用在实际中如何选择跨期 消费的效用函数 38故事之一故事之一：这是一个真实的故事，刊登在光明日报报业集团主办的文摘报，2019年度2月21日，星期四，第1928期，第3版上面。题目是：“为付女儿学费 父亲买房无家可归”内容大意如下：“2019年9月,黑龙江省铁力市李某某考取了大学，
8、但她为3万元的学费发愁。李某某的父亲母亲10年前就离婚了，她被判给了母亲。母亲下岗已经多年，一直靠干零活供女儿勉强读完高中。李某某找父亲要学费。53岁的父亲己有5个孩子。再婚后最小的儿子只有三岁半。他给了李某某2300元，让她学手艺,放弃上大学。于是李某某将父亲告上法庭。2019年月日，铁力市法院判定李某某的30000元学费，由李某的父母各承担一半。判决生效后，李某某的父亲在法定期限内没能给付这笔钱，李某某向法院申请强制执行。2000年月，法院将李某某父亲唯一的房产变买了2.15万元，用其中的一部分为李某某交了学费。房子被法院变卖后，李某某父亲的再婚妻子离他而去，他领着小儿子过起了居无定所的生
9、活。李某某的父亲提起申诉。目前，伊春市中级法院将此案发回重审。此时，李某某已经读到大学三年级，而他的父亲和同父异母的弟弟仍在大街上流浪。2019年1月4日，我国婚姻法修正案的司法解释通过，要求父母尽抚养义务的不能独立生活的子女,是指在校接受高中及高中以下学历教育者，或者丧失劳动能力的成年子女。这给李某某父亲申诉带来的希望。”摘自羊城晚报2019年月9号成刚、俊伟文。39 评论评论:这个故事里面的李某某考上大学，这应该是一件喜事。但是这个喜事却变成了一个悲哀的事情。它使得李某某父亲的再婚妻子离他而去，并过起了居无定所的生活。这个问题的解决办法是通过法院根据婚姻法来判决。无论法院如何判决，这都将仍
10、然是一个悲哀的事情。因为如果李某某父亲胜诉，这将造成李某某本人没有钱交学费上大学。要想让这件事情变悲剧为喜剧，不应该是利用法律的知识，而是应该利用经济学的知识。也就是说，要利用本节所提到的消费者多期消费最优选择的知识。并建立起健康健全的银行个人贷款提前消费的业务。40故事之二：故事之二：这是一个真实的故事。发表在光明日报报业集团主办的文墒扳编辑部主办的文摘报，2019年月日第1931期上。题目为：“都市出现高新“女贫族”。内容大意如下：“我这个做老辈儿的，越来越看不懂如今的年轻人了。”家住北京朝阳区的郭阿姨一提起自己的宝贝女儿小蕙止不住地唉声叹气。小蕙是郭阿姨的独生女，大学毕业后到外企就职。“
11、现在她变得不可理喻了，花钱象流水，这两年光彩电就换了三个，先是超平，后是纯平的，后来把一台大背投搬回了家，还说以后再换液晶显示的。她每月50006000块钱的工资却喊不够花，没钱就找银行借。我批评他两句，她就给我讲那个外国老太太和中国老太太的故事。”这是一个讲滥了的故事，说的是一个外国老太太从年轻时就超前消费，享受了一辈子，死前刚把银行贷款还清。而一个中国太大一生劳累，省吃俭用，绐子女留下了可观的遗产，自己生前却几乎没有享受过什么。如今，越来越多的向小蕙这样的中国白领女性开始向外国老太太看齐了。象小蕙这样的白领女性被社会学界称为城市“高薪女贫族”。他们一般都是5岁以下的中高等收入者，大多数收入
12、花费在服饰、吃饭、交际、旅游上。月初有钱时，泡吧、购物、打车。月末囊中如洗，便蹭饭、借钱，却并不以此为优。这一群体形成的社会原因是由于他们大多一出生就遇上搞市场经济，一长大就明白了国际化，一交流就用上了互联网。中国不断膨胀的消费文化正与他们的成长同步发展。有关人士认为，“高薪女贫族”是城市的一种时尚病。他们的行为表明，他们只爱自己，而不承担应有的责任，不可提倡。41 评论评论：这一篇小短文所讲的正是本书这一章所介绍的贷款提前消费的问题。我们看到，提前消费可以使消费者一生的效用或生活水平得到大大的提高。因而是值得提倡的。而本文作者却认为这是城市的一种时尚病,是由于他们只爱自己，而不承担应有的责任
13、，不可提倡。这个观点不一定正确。可以提倡在自己还贷能力内的超前货款消费。由于我国的消费者以及管理人员对经济学缺乏深入了解，消费观念的转变也需要时间。所以我国目前贷款提前消费还没有进入一个健康健全的轨道。42经济学应用在实际中如何选择跨期消费的效用函数43 a21CCU 4.026.01CC 首先考虑如下两期消费的首先考虑如下两期消费的 柯布柯布道格拉斯型的效用函数道格拉斯型的效用函数44 2C 2240 10 0 3360 123928 1C 柯布道格拉斯型效用函数的等效用线的渐近线 45从图中可以看出，如果年轻时的消费1C=3360元/月，年老时的消费2C=2240元/月，那么效用函数的函数
14、值为：U4.026.01CC=4.06.022403360 =2856.95 但是，如果年轻时的消费1C=123928.46元/月，年老时的消费2C=10元/月，那么效用函数的函数值为：U4.026.01CC=4.06.01046.123928 =2856.95 46 以上计算表明，如果年轻的时候每个月消费 123928元、年老时候每个月消费10元,与年轻的时候每个月消费 3360元、年老时候每个月消费2240元，两者的生活水平是一样的。这显然与我们的直觉不一样。因为尽管年轻的时候尽情享受,但是年老时候每个月消费10元是无法生存的。所以一般人并不希望这样的生活。反过来，如果年轻的时候每个月消费
15、 10元，年老时候每个月消费几十万元，该消费者的生活水平或者效用函数的数值也可能为2856.95，消费者更不喜欢这种选择。因为年轻的时候每个月消费 10元早就饿死了,年老的时候是每个月消费钱再多也没什么用处了。由此可见,柯布道格拉斯型的效用函数的数学表达式用来描述人们的消费行为的时候存在一些问题 47 我们再想办法采取更能反映人们消费行为的效用函数的数学表达式。考虑如下的改进型柯布-道格拉斯型效用函数的数学表达式：a)400()600(21CCU4.026.01)400()600(CC48 2C 400 0 600 1C 改进型柯布 -道格拉斯型效用函数的等效用线的渐近线 49 如果我们采用这
16、种形式的效用函数，那么不会产生年轻的时候消费数很大,而到年老的时候消费数很小而无法生存的现象，也不会产生年轻的时候消费很少而无法生存,但年老的时候消费很多的现象。50112114.06.0CC/121CbCaU现在我们再来考虑如下的现在我们再来考虑如下的CES类型的效用函数的数学表达类型的效用函数的数学表达式：式：51 2C 4000 U=10000 等效用线 U=1000 400 0 600 6000 1C CES型效用函数的等效用线的渐近线 52从图中可以看出，CES 型效用函数的等效用线的渐近线并不是趋向于固定的轴线,而是随着效用值的增加,趋向于不同的轴线。例如,当 U=1000 的时候
17、,趋向于1C=600 元/月轴与2C=400 元/月 轴。1C=600 元/月轴与2C=400 元/月分别反映当生活水平为 U=1000 的时候,该消费者在年轻的时候与年老的时候每个月消费的最低消费数值。当 U=10000 的时候,趋向于1C=6000 元/月轴与2C=4000 元/月 轴。1C=6000 元/月轴与2C=4000 元/月分别反映当生活水平为 U=10000 的时候,该消费者在年轻的时候与年老的时候每个月消费的最低消费数值。53 由以上的讨论我们可以看出，如果我们采用CES类型的效用函数的数学表达式,它能够更加准确地反映出人们的消费行为。它表明当人们的生活水平逐渐提高的时候,人
18、们的最低生活水平消费支出额也逐渐地增加。因此在实际的工作中，如果我们希望计算结果比较符合实际，往往用CES类型的效用函数的数学表达式。54 现在我们考虑如下的CES类型的效用函数：/121CbCaU55其中的参数 a,b 反映不考虑利息率的时候两期消费的支出比例。而参数 反映了人们对利息率的敏感程度。由于 0,并且 数值为负无穷大时,无论利息率是多大，两期消费的支出比一固定为 a:b。根据以上的知识，有助于我们在实际的工作当中选择效用函数的数学表达式。56 考虑存款利息时的消费者两期消费选择 57下面定义一些变量：1C 现在这个时期的消费水平。2C 未来时期的消费水平。i 银行的利息率。1Y
19、现在这个时期的收入水平。2Y 未来时期的收入水平。58 如果一个人现在这个时期的收入水平以及未来时期的收入水平都是已知的或者是可以预测的,银行的利息率也是不变的和已知的，那么这个人两个时期的收入、储蓄、消费支出可以利用表格里的参数来表示。59 表格 考虑利息率的两期消费 现在时期 未来时期 收入水平 1Y 2Y 消费水平 1C 2C 储蓄=收入水平-消费水平 1Y-1C 储蓄所得到的利息 (1+i)(1Y-1C)60 从表可以看出,在未来时期，收入水平加上现在时期的储蓄在未来时期所得到的利息收入应该等于未来时期的消费水平。也就是说应该成立下面的等式:2Y+(1+i)(1Y-1C)=2C 上面这
20、个公式也可以写成:21211111YiYCiC它就是消费者在两期消费应满足的预算约束。61 消费者的效用函数一般地说不能够直接测量。但是可以通过一些办法来间接地测量出来。比如说，根据每个消费者对不同时期的消费安排，可以间接地测量出来先苦后乐型、及时行乐型、平均消费型等各种消费者的效用函数。实际的工作当中，可以通过各种方法来测量出不同类型消费者的效用函数。而且应当指出效用函数的所有参数不一定都能够测量出来,但这不影响计算的结果。62 考虑银行利息率的消费者两期消费选择的数学模型为:Max U=U(1C,2C)S.t 21211111YiYCiC 63例例 考虑及时享乐型消费者两期消费选择问题。它
21、由如下的数学模型的表示：Max 4.026.01)()(CCU S.t 21211111YiYCiC 请求解这种类型消费者的两期最优消费选择。64解:如果令：1p=1,ip112,2111YiYM 那么依需求函数表达式，可以求出消费者的两期最优消费为：)11(6.0211YiYC )11(4.011212YiYCi 或者：)11()1(4.0212YiYiC 解答完毕 65 如果该消费者在两个时期的收入分别为：5万元，银行的利息率i=0.1,那么根据以上的结果可以求出两个时期的具体消费数额。如表所表示。66表格 考虑利息率的两期最优消费 现在时期 未来时期 收入水平 51Y 万元 52Y 万元
22、 最优消费水平 )11(6.0211YiYC =5.7272727 万元)11()1(4.0212YiYiC=4.2 万元 储蓄=收入水平-消费水平 1Y-1C 2116.04.0YiY =-0.7272727 万元 储蓄所得到的利息 (1+i)(1Y-1C)216.0)1(4.0YYi=-0.8 万元 67 以上我们主要采用柯布道格拉斯型的效用函数来求解两期最优消费问题。下面我们来讨论如何利用不变替代弹性型的效用函数来求解两期最优消费问题。68 下面我们给出方法来求解消费者多期最优消费选择问题。例例:有一个消费者20岁,正在大学里读书。他想计划安排一下如何向银行进行贷款来提前消费。他把自己的
23、未来分为青年时期(2030岁)、青壮年时期(3140岁)、壮年时期(4150岁)、中年时期(5160岁)、老年时期(6170岁)，其他的时期不予考虑。根据当前的情况，它将各个时期的预期收入以及自己所希望的支出占总支出的百分比列写在表格当中。69 表格 多期消费选择的基本数据 青年时期(2030岁)青壮年时期(3140岁)壮年时期(4150岁)中年时期(5160岁)老年时期(6170岁)预期收入 1Y=10 万元 2Y=50 万元 3Y=100 万元 4Y=130 万元 5Y=50 万元 希望的支出占总支出的百分比 20%25%25%15%15%70表格 多期消费选择的消费水平、负债水平 青年时
24、期(2030 岁)青壮年时期(3140岁)壮年时期(4150 岁)中年时期(5160 岁)老年时期(6170 岁)预期收入 1Y=10万元 2Y=50万元 3Y=100万元 4Y=130万元 5Y=50万元 希望的支出占总支出的百分比 20%25%25%15%15%消费水平 1C 2C 3C 4C 5C 青年时期负债及其在后面各时期本加利 1Y-1C(1+i)(1Y-1C)2)1(i(1Y-1C)3)1(i(1Y-1C)4)1(i(1Y-1C)青壮年时期负债及其在后面 2Y-2C(1+i)(2Y-2C)2)1(i(Y-C)3)1(i(Y-C)71 解:如果没有利息率的情况下,各种产品的消费支出
25、成一固定比例,那么消费者效用函数应该为柯布道格拉斯型。根据表格的数据,效用函数具有如下的具体形式：72考虑表格中“青年时期负债及其在后面各时期本加利”这一行。该消费者在青年时期负债为1Y-1C万元。这1Y-1C万元到了青壮年时期连本带利变为(1+i)(1Y-1C)万元(i 为银行利息率)。而到了壮年时期连本带利变为2)1(i(1Y-1C)万元,再到了中年时期连本带利变为3)1(i(1Y-1C),最后到了老年时期连本带利变为4)1(i(1Y-1C)。73 该消费者没有给子女后代留下负债(或者遗产)，那么各个时期在老年时期连本代利形成的负债额 之和应该为0。因此应该成立如下约束条件：4)1(i(1
26、Y-1C)+3)1(i(2Y-2C)+2)1(i(3Y-3C)+(1+i)(4Y-4C)+5Y-5C=0 74上面这个公式又可以化为:4)1(i1C+3)1(i2C+2)1(i3C+(1+i)4C+5C =4)1(i1Y+3)1(i2Y+2)1(i3Y+1+i)4Y+5Y 75又可以再化为如下的多个时期消费约束条件：54433221)1(1)1(1)1(111CiCiCiCiC =54433221)1(1)1(1)1(111YiYiYiYiY 76 为了求出多个时期的最优消费水平，还应当给出消费者的满意度函数或效用函数。在表格中,消费者对各个时期的消费比例有一个明确的数值。这个比例数值用数学公
27、式来表示为：20%:25%:25%:15%:15%77根据上面这个式子,可以得到：kC 2.01 kC25.02 kC 25.03 kC15.04 kC 15.05 78 其中k 为待确定的比例系数。将上面这些式子代入预算约束条件中,得到 kiiii15.0)1(115.0)1(125.0)1(125.0112.0432 =54433221)1(1)1(1)1(111YiYiYiYiY 79从上式求出比例系数 k 为:54433221)1(1)1(1)1(111YiYiYiYiY k =15.0)1(115.0)1(125.0)1(125.0112.0432iiii 80=246.76529万
28、元 现在假设银行的利息率为 i=0.5(注意:这时的银行的利息率不是年利息率,而是十年期贷款利息率),那么根据公式 求出比例系数k的大小为:505.111305.111005.11505.1110432 k =15.05.1115.05.1125.05.1125.05.112.0432 81 求出了比例系数k具体数值的大小,把它代入公式,便可以求出各个时期的消费支出具体数值大小为:2.01C 246.76529=49.353058 万元 25.02C 246.76529=61.691323 万元 25.03C 246.76529=61.691323 万元 15.04C 246.76529=37
29、.014794万元 15.05C 246.76529=37.0147 94 万元 82 例例 继续讨论上面这个例子。青壮年时期支出总额为 61.691323 万元,如 果该消费者对衣丶食丶住丶行丶其它等各项支出比例为:衣:食:住:行:其它=0.6:5:3:0.8:0.6 如果每平米住宅月租金为25元,问这个时期该消费者可租住多大面积住宅?83 解:将 61.691323 万元，花在住宅上的支出为：0.361.691323=18.507397万元，再将它平均分摊到每一个月中,每个月花在住宅上的支出为：18.507397/120=0.1542283 万元=1542.283 元 那么该消费者能够租到
30、的住房面积为：1542.283 元/25=61.69 平方米 (注意：以上准确地说仅仅是近似计算，因为每一个周期为10年，如果按照每一个周 期为一年的话，那么计算结果有一些差别。)解答完毕。84 以上我们对消费者多期消费的最优选择问题的解法作了简要讨论。给出的计算方 法是比较简单的。我们注意到，如果各个时期的消费支出成固定的比例，这意味着消费者效用函数为一种不可替代的效用函数类型。如果效用函数为柯布道格拉斯型或CES类型，那么计算过程要复杂得多。对多期消费的最优选择问题，读者可能会产生如下3个问题：85 1.在计算过程当中,我们认为各个时期的收入是己知的。一个消费者能够比较准确地预测出自己的未
31、来几十年当中的收入吗?回答是：很准确不太可能，较为准确是可能的。对发达国家来说，经济体制比较稳定，如果一个人考上了大学，或考上其他类型的学校，他的一生当中的收入预测一般是比较准确的。当然不可排除某些个别意外。比如说,比尔-盖茨在短短的几年时间内积聚了大量的财产。在我国正处在经济改革的激烈的变化过程中，一个人的收入也随之急剧变化。比如说，过去的大学生每个月的收入为46元人民币，可是现在收入比较高的可以在每个月一万元以上。尽管个人收入预测比较困难，但是这种预测也有一定的准确度。比如说，对高新技术科技人员来说，可以肯定他们的收入将阔步地增加。而且，对整个国家来说，总体上人们的收入的增加是有规律的。比
32、如说，中国经济的增长速度每年大约在9%左右,整个国家不可能 象单个个人那样短时间内暴富起来。所以，所给出的计算方法模型应用在宏观经济上是很有用处的。也可以用在个人的贷款提前消费上。86 2.从计算结果可以看出，该消费者在各个时期的总收入为340万元。但是由于提前消费，各个时期的总消费支出实际为246.76529 万元。也就是说，由于向银行 贷 款 而 损 失 了 3 4 0 -2 4 6.7 6 5 2 9=93.23471万元。损失了这么多的利息值得吗?87 回答是：完全值得。88 举个例子来说，有一对青年恋人在马路上散步，路过某一家咖啡屋，男主人公看到里面有几对恋人正坐在荡着秋千的椅子上，
33、十分浪漫地品尝着桌上的咖啡与小吃。他想几杯咖啡花不了多少钱。于是毫不犹豫带着女友也坐在荡着秋千的椅子上，也非常浪漫地品尝着桌上的咖啡与小吃。不过一结帐吓了他一跳！一共花去60元,他想问咖啡屋的老板为什么宰人这么狠，可当着女友的面 又不敢问(其实，从经济学的角度来说，这一杯咖啡价格里不仅仅包含咖啡,还包含着服务员的劳动以及咖啡店的固定资本投资)。这个男主人公父母亲寄来的钱仅仅够交学费以及日常的伙食费。60元相当于他好几天的伙食费。为了在咖啡屋的一小时的浪漫,该男主人公只好过了几天吃咸菜的不浪漫的日子。如果能够通过向银行贷款的方式来进行提前消费，那么这个男主人公就没有必要吃咸菜了。不仅进咖啡屋,逛
34、公园或者外出旅游都需要钱。如果能够把自己在中老年时期的钱提前拿到青年时期来花,毫无疑问,将会大大地提高生活水平。在中老年时期的钱虽然比较多,但是我们几乎看不到满脸皱纹的中老年伴侣坐在荡着秋千的椅子上品尝着桌上的咖啡与小吃。青年时期是是一生当中最美丽的时期,身边的钱往往又比较少。所以通过向银行贷款提前消费却是十分合算的。89 另外，读者可能还会产生一个问题，总共340万元的钱却要付出93.23471万元这么多的利息。在实际当中会有这么多吗?为了让读者有一个直觉的认识，让我们来看一个具体的住宅贷款例子。下面是北京市海淀区2019年度2月份的一个两居室贷款数据：90 下面是北京市海淀区2019年度2
35、月份的一个两居室贷款数据：建筑面积：91.6平方米 套内建筑面积：73.15平方米。每平方米价格：5888元。总价格：539517元。首期付款额：109517元。贷款总额430000万元。贷款年限：20年。每月还贷款数额：2977元。律师费：1075元。契税：10790元。维修基金：10790元。91 从上面的例子可以看 出，贷 款 总 额430000万元，每月还贷款数额：2977元，一直要交20年,差不多要还贷款720000元。因此要支付银行利息大约290000元。尽管支付很多的利息，但是仍然有许多人要贷款购买房子提前消费。92 下面我们来讨论如何采用CES类型的效用函数来求解多期消费的消费
36、者选择问题 93例例请求解下面给出的多期最优消费的数学模型。Min )()()(2211nnCaCaCaUL S.t MCpCpCpnnL2211 其中,Mpppn,21L为给定的参数。94 解:可以根据高等数学当中求极值的方法来求解以上问题。作拉格朗日函数:95=)()()(2211nnCaCaCa -2211MCpCpCpnn 96 那么，极值的必要条件为：111110pCaC 212220pCaC nnnnpCaC10 97根据上面这两个公式，可以得出：1111/pCa =2122/pCa =nnnpCa/1 98注意到公式 MCpCpCpnnL2211 与上式 是关于nCCC,21L的
37、 n 个未知数的n 个方程。99利用初等数学知识可以求出：MpapapaCpnn)1/()1/(1)1/(1)1/(11)1/(1)1/(1111L MpapapaCpnnnnnn)1/()1/(1)1/(1)1/(11)1/()1/(1L 解答完毕 100 继续讨论多期消费选择问题道，将效用函数改变如下的CES型的形式：101 有一个消费者20岁,正在大学里读书。他想计划安排一下如何向银行进行贷款来提前消费。他把自己的未来分为青年时期(2030岁)、青壮年时期(3140岁)、壮年时期(4150岁)、中年时期(5160岁)、老年时期(6170岁)，其他的时期不予考虑。根据当前的情况，他的各个时
38、期预期收入以及在利息率为0的情况下自己各个时期所希望的支出占总支出的百分比列写在表格中(注意与前述表格数据完全一样,但含义不同,前述表格指得是无论利息率多少,各期消费比例都不变,而这里表格指得是利息率为0时的各期消费比例)102 表格 多期消费选择的基本数据 青年时期(2030 岁)青壮年时期(3140岁)壮年时期(4150 岁)中年时期(5160 岁)老年时期(6170 岁)预期收入 1Y=10 万元 2Y=50 万元 3Y=100 万元 4Y=130 万元 5Y=50 万元 希望的支出占总支出的百分比 20%25%25%15%15%请求解这种类型消费者的多期最优消费选择。103 )()()
39、(2211nnCaCaCaU 1514131211)(15.0)(15.0)(25.0)(25.0)(2.0CCCCC 104那么求解这种类型消费者的多期最优消费选择数学模型为 :1514131211)(15.0)(15.0)(25.0)(25.0)(2.0CCCCCUMin S.t 5413221)1(1)1(111CiCiCiCL =543221)1(1)1(111YiYiYiYL 105如果令:1p=1,1.11112ip,4451.11)1(1ip M=543221)1(1)1(111YiYiYiYL =501.111001.11501.111042L =269.92077 106 那
40、么可以得到:107 92.2691.1115.02.02.02/142/12/12/11LC 92.2691.1115.02.01.1115.01.112/142/12/12/12/154LC 108求出消费者的多期最优消费为：1C=59.339177 万元 2C69.581337 万元 3C72.97752 万元 4C59.287219 万元 5C62.180959 万元 解答完毕 109 各个时期的收入丶支出丶储蓄或负债情况如表格所示。110表格 多期消费选择的消费水平、负债水平 青年时期(2030岁)青壮年时期(3140岁)壮年时期(4150岁)中年时期(5160岁)老年时期(6170岁)预期收入 1Y=10万元 2Y=50万元 3Y=100万元 4Y=130万元 5Y=50万元 无利息率时各期希望的支出占总支出的百分比 20%25%25%15%15%消费水平 1C=59.339177 2C=69.581337 3C=72.97752 4C=59.287219 5C=62.180959 青年时期负债及其在后面各时期本加利 1Y-1C =-4 9.339177 (1+i)(1Y-1C)2)1(i(1Y-1C)3)1(i(1Y-1C)4)1(i(1Y-1C)=-72.23748
