1、3.1数系的扩充3.1 数系的扩充 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.自然数 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.负数负数负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集分数（有理数）分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集数集扩充到有理数集 11边长为边长为1的正方形的对
2、角线长的正方形的对角线长度为多少？度为多少？无理数毕达哥拉斯(约公元前560480年）无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.数集扩充到实数集数集扩充到实数集 实数集能否继续扩充呢?正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.请解下面方程请解下面方程在实数范围内有解吗？在实数范围内有解吗？历史回顾历史回顾1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445-1500）在其算数三篇中，解方程式得根：他声明这个根
3、是不可能的.历史回顾历史回顾意大利意大利波洛尼波洛尼亚亚大学数学教授大学数学教授卡卡尔丹尔丹在这个问题上在这个问题上作出了重要贡献作出了重要贡献.卡尔丹卡尔丹(Cardano,1501-1576)历史回顾历史回顾 1545年，卡尔丹在年，卡尔丹在大衍术大衍术中写道：中写道：“要把要把10分成两部分，使二者乘积为分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解这是不可能的，不过我却用下列方式解决了决了.”15515540 能作为能作为“数数”吗？它表示什么吗？它表示什么意义呢？意义呢？虚数虚数虚数虚数是“算”出来的.1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”（“想象中(i
4、maginary)的数”）.笛卡尔笛卡尔(R.Descartes,1596-1661)虚数虚数1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示称为虚数单位虚数单位.欧拉欧拉(L.Euler,17071783)数集再次扩充数集再次扩充 数系扩充的科学道理数系扩充的科学道理 从数学内部数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。自然数集中，？运算中可以实施；整数集中，？运算中可以实施；有理数集中，？运算中可以实施；实数集中，？运算中可以实施.数系扩充的科学道理 自然数中减法减法产生 ，整数系统；整数中除法除法产生 ，有理数系统；自然数中开方开方产生 ，实数系统；负数中开方开方产生 ，新
5、新的的系统系统.负数负数分数分数无理数无理数虚数虚数数系扩充的科学道理 逆运算逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色；逆运算的运算法则逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展.数系的每一次扩充，基本都是运算的需要数集扩充到复数集数集扩充到复数集 例例1.分别出下列复数的实部和虚部，并指出分别出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？iiii6 ,25 ,3421 ,0 ,32 ,442-3i06i实部实部虚部虚部实数实数虚数虚数纯虚纯虚数数i i 例例2.实数
6、取什么值时，实数取什么值时，复数复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是是(1)实数？实数？(2)虚数？虚数？(3)纯虚数？纯虚数？思考思考1 1：a=0是是z=a+bi(a、b R)为为纯虚数的纯虚数的 条件条件.思考思考2 2：例：例2 2中，中，实数取什么值实数取什么值时，复数时，复数 z是是6+2i?例例3.已知（已知（x+y）+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数，求实数x,y的值的值.在复数范围内解下面方程在复数范围内解下面方程小结小结1.了解：数的发展经历了解：数的发展经历 理解：下列字母：理解：下列字母：Q、R、C、Z、N分分别表示什么数集，用符号表示它们的包别
7、表示什么数集，用符号表示它们的包含关系含关系.CRQZN 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.引入一个新数引入一个新数 i,叫做虚数单位，并规定：叫做虚数单位，并规定：2.2.对虚数单位对虚数单位i i的规定的规定(2)实数可以与实数可以与i 进行四则运算，进行四进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立。成立。(1)i 2=1；在上述种规定下,我们把形如 a+b i（其中 a、b R）的数称为复数复数，通常用字母z表示.a+b i（a、b R）也称为复数的代数形式
8、复数的代数形式.其中a叫做复数z的 实部实部，b叫做复数z的 虚部虚部 .全体复数组成的集合叫做复数集复数集,记为 C .3.3.复数及相关概念复数及相关概念4.4.复数分类复数分类复数复数z=a+bi(a,bR)注意：注意：a=0是是z=a+bi(a、b R)为纯虚数为纯虚数的的 条件条件.必要但不充分必要但不充分5.记识记识-1的平方根为的平方根为 ，-a(a0)的平方根为的平方根为 .ia i6.两个两个复数相等的充要条件设设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d R)，则则 z1=z2 dbca即即:两个复数相等的充要条件是它们的实两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相
9、等。部和虚部分别相等。注意：两个复数只能说相等或不相等，注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小而不能比较大小实数实数无理数无理数分数分数自然数（包括自然数（包括0）有理数有理数负整数负整数整数整数复数复数虚数虚数(自然数自然数集集N)(整数整数集集Z)(有理数有理数集集Q)(实数实数集集R)(复数复数集集C)敬请指导！常熟外国语学校常熟外国语学校 王峰王峰2008.11.212008.11.21人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这
10、就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。NapoleonHill 77.一个客观的艺术不只是用来看的，而是活生生的。但是你必须知道如何去靠近它，因此你必须要做静心。OSHO 78.烦恼使我受着极大的影响我一年多没有收到月俸，我和穷困挣扎；我在我的忧患中十分孤独，而且我的忧患是多么多，比艺术使我操心得更厉害！米开朗基罗 79.有两
11、种东西，我们对它们的思考愈是深沉和持久，它们所唤起的那种愈来愈大的惊奇和敬畏就会充溢我们的心灵，这就是繁星密布的苍穹和我心中的道德律。康德 80.我们的生活似乎在代替我们过日子，生活本身具有的奇异冲力，把我们带得晕头转向；到最后，我们会感觉对生命一点选择也没有，丝毫无法作主。索甲仁波切 81.如果你是个作家，这是比当百万富豪更好的事，因为这一份神圣的工作。哈兰爱里森 82.成为一个成功者最重要的条件，就是每天精力充沛的努力工作，不虚掷光阴。威廉戴恩飞利浦 83.人生成功的秘诀是，当机会来到时，立刻抓住它。班杰明戴瑞斯李 84.不停的专心工作，就会成功。查尔斯修瓦夫 40.你要确实的掌握每一个问
12、题的核心，将工作分段，并且适当的分配时间。富兰克林 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围
13、绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金
14、95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好
15、事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们
16、往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾
17、听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹
18、利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行
19、动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
