1、四川省成都市金牛区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为A. B. C. D. 2. 如图，下面正三棱柱的主视图是A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色不同外，其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到的球是白球的概率为A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是A. B. C. D. 5. 如图，以点为位似中心，在点同侧作，使得与成位似图形，若：，则与的周长比为A. ：B. ：C. ：D. ：6.
2、已知点和在反比例函数的图象上，则与的大小关系是A. B. C. D. 不能确定7. 如图，中，、分别为、延长线上的点，若，则的长为A. B. C. D. 8. 如图，四边形为菱形，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于A. B. C. D. 9. 某商品原价为元，连续两次降价后为元，设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是A. B. C. D. 10. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，则不等式的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11. 若，则_12. 已知旗杆高为，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是，如果此时附近小树在水
3、平地面上的影长为，则小树高为_13. 如图，过点的直线与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，连接，则的面积为_14. 如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，连接若，则的长为_三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15. 计算：；解方程：16. 先化简，再求值：，其中满足方程17. “双减在行动”，某校在作业设计上进行了改进，布置的作业既有必做的作业，也有供学生选作的作业其中，选作的作业类型有“体育锻炼”用表示、“艺术欣赏”用表示和“社会实践”用表示三大类现将圆形转盘三等分，并标上字母，随机转动转盘，转盘静止后指针所在扇形部分
4、的字母即为选到的作业类型当指针指在分界线上时重转任意转动转盘一次，选到“体育锻炼”作业的概率是_；任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法，求两次选到相同作业类型的概率18. 某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端点，已知该同学的身高为米，点到旗杆底端的距离为米，求旗杆的高度19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，已知点的纵坐标为求一次函数和反比例函数的解析式；若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标20. 如图，在中，在上取一点，使
5、得，过点作，交于点，连接，已知求证：；若，求的长；若是的中点，连接交于点，若，求证：四、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21. 某几何体的三视图如图所示，它由大小相同的正方体木块堆成，每个正方体木块的棱长都是，则该几何体的表面积是_22. 如图，菱形的边长为，将菱形沿射线方向平移得到四边形，交于点，若，则平移的距离为_23. 从，三个数中任意取一个数作点的横坐标，记为，再从余下的两个数中任取一个数作点的纵坐标，记为，则点落在反比例函数图象上的概率是_24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是在第一象限内的双曲线上的一点，连结并延长交轴于点，连结，若，则点的坐标是
6、_25. 将两个关于的一元二次方程整理成、均为常数的形式，如果只有系数不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”已知关于的一元二次方程与方程是“同源二次方程”，且方程有两个根为、，则_，的最大值是_五、解答题（共30分）26. 新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为元，日均销售量包与每包售价元成一次函数关系，且当每包售价为元时，日均销售量是包，当每包售价为元时，日均销售量是包求关于的函数表达式；要使日均利润达到元，每包售价应定为多少元？27. 如图，是菱形的对角线，将线段绕点逆时针旋转得线段，的平分线与边的交点为如图，若点在的延长线上，求证：；如
7、图，若点在对角线上，且，求的值；如图，若，与交于点，延长、交点为，延长、交点为，且，求的值28. 反比例函数的图象与直线交点为、，点在点的左侧如图，连结、，求点的坐标和的面积；如图，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点在反比例函数的图象上，求的值；如图，过点作轴的平行线与反比例函数图象的交点为，从点作轴垂线，垂足为，连结，作点关于直线的对称点，若点到的距离等于时，求的值答案和解析1.【答案】【解析】解：把代入方程得，解得故选：把代入方程得，然后解关于的方程本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解2.【答案】【解析】解：这个几何体的主视图为： 故选：根
8、据主视图的定义，画出该几何体的主视图即可本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的性质是正确解答的前提，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键3.【答案】【解析】解：在一个不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个白球，共个球，从中随机摸出一个球，摸到的球是白球的概率为故选：直接利用概率公式求解即可求得答案此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比4.【答案】【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：故选：根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可
9、得出结论本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键5.【答案】【解析】解：与是位似图形，与的周长比为：，故选：根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键6.【答案】【解析】解：中，当时，随增大而增大，故选：根据反比例函数可得在每个象限内，随增大而增大，进而求解本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握时，在每个象限内随增大而减小，时在每个象限内随增大而增大7.【答案】【解析】解：，即，解得：，故选：根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案本题考查的是
10、平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键8.【答案】【解析】解：，四边形为菱形，点、在坐标轴上，在中，由勾股定理得：，菱形的面积，故选：根据点的坐标求出，根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，求出和，再根据菱形的面积公式求出即可本题考查了菱形的性质，勾股定理和点的坐标等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键9.【答案】【解析】解：由题意得：，故选：设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为元，”可得方程此题主要考查求平均变化率的方法若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为10.【答案】【解析】解：由函数
11、图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，的取值范围是：或，不等式的解集是：或，故选：利用函数图象得到当一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值即可本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集利用数形结合是解题的关键11.【答案】【解析】解：设，所以 ，故答案为：根据设，把，代入，即可求出答案本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键12.【答案】【解析】解：旗杆高为，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是，旗杆的影长为：，因为树高：树影长旗杆的高：旗杆的影长，故小树的高度，则小树的高有故答案为：在同一时刻物高和影长成正
12、比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题13.【答案】【解析】解：点反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点的直线与反比例函数的图象交于、两点， ，故答案为：根据反比例函数系数的几何意义得出，由于对称性可知：与的面积相等，从而可求出答案本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的对称性，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型14.【答案】【解析】解：由作法得垂直平分， ，即，故答案为：利用作法得到垂直平分，
13、则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质得到，则，接着根据三角形的内角和计算出，然后根据含度的直角三角形三边的关系求解本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了线段垂直平分线的性质15.【答案】解：原式 ；分解因式得：，可得或，解得：，【解析】原式第一项化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的性质计算，最后一项利用利用零指数幂法则计算计算即可得到结果；方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解此题考查了解一元二次方程因
14、式分解法以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键16.【答案】解： ，原式【解析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据，可以得到的值，然后代入化简后的式子即可解答本题本题考查分式的化简求值和一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式加减法和除法的运算法则和运算方法注意整体思想的应用17.【答案】【解析】解：转动转盘一次，选到“体育锻炼”作业的概率是，故答案为：；画树状图如图： 共有个等可能的结果，两次选到相同作业类型的有种结果，两次选到相同作业类型的概率为直接由概率公式求解即可；画树状图，共有个等可能的结果，两次选到相同作业类型的结果有个，再由概率公式求解即可本题考
15、查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图18.【答案】解：由题意得：，四边形是矩形，答：旗杆的高度为米【解析】先利用勾股定理求出的长度，然后再证明，列出对应边成比例进行计算即可解答本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形证明是解题的关键19.【答案】解：点在直线上， ，解得，一次函数解析式为，点在直线上，且点的纵坐标为，解得，点坐标为 反比例函数经过点，反比例函数解析式为：由解得或，点坐标为，解得，点坐标为或【解析】把的坐标代入求得，然后根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式；解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据三角形面积公式得到，求得的
16、长，即可求得的坐标；此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题待定系数法求解析，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用20.【答案】证明：在和中， ，；解：由可知，由，设，则，；证明：连接是的中点，【解析】证明，推出，可得结论；由，设，则，由，推出，求出，可得结论；连接证明，推出，再证明，可得结论本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型21.【答案】【解析】解：由主视图上，有两层，从俯视图上看，底面一层为三个正方体块，从
17、左视图上看，上层中间有一个，两侧没有故该几何体中正方体木块的个数是个，其表面积是：故答案为：由三视图可以看出，底面一层为三个正方体块，上层中间有一个，两侧没有，据此可得该几何体的表面积本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案22.【答案】【解析】解：如图，连接交于，过点作于点， 四边形是菱形，是等边三角形，由平移的性质得：，即平移的距离为，故答案为：连接交于，过点作于点，由菱形的性质和含角的直角三角形的性质求出、的长，即可解决问题本题考查了菱形的性质、平移的性质、等腰三角形的判定
18、与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键23.【答案】【解析】解：画树状图如下， ，共有种等可能的结果，点在反比例函数的图象上的有种情况，点在反比例函数的图象上的概率为，故答案为：画树状图可得所有的积的等可能结果，由点在反比例函数图象上可得，进而求解本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法24.【答案】【解析】解：从点、向轴作垂线，垂足分别为、，点、在轴上，在的上方作，在的上方作，由得，则，即，设点坐标为，则，解得，点在第三象限，舍去，点坐标为故答案为：从点、向轴作垂线，垂足分别为、，点、在轴上
19、，在的上方作，在的上方作，解析式联立成方程组，解方程组求得、的坐标，然后通过证得，得到，设点坐标为，则，求得的值，即可求得的坐标本题考查的是一次函数和反比例函数的交点问题，三角形相似的判断和性质，表示出线段的长度，利用相似三角形的性质得到是解题的关键25.【答案】 【解析】解：根据新的定义可知，方程可变形为， ，方程有两个根为、，且，设，得，方程有正数解，解得，即，的最大值是故答案为：，根据新的定义可知，即可得到，由根与系数的关系，代入变形后的代数式得到，设，得，根据题意解得，即，即可得到本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键26.【答案】解：设关于
20、的函数表达式为，将，代入得：，解得：，关于的函数表达式为依题意得：，整理得：，解得：，要使日均利润达到元，每包售价应定为元【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出关于的函数表达式；利用日均利润每包的销售利润日均销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法求出关于的函数表达式；找准等量关系，正确列出一元二次方程27.【答案】解：将线段绕点逆时针旋转得线段，平分，四边形是菱形，；延长，交点为， ，；，四边形是菱形，在和中，【解析】证明，由全等三角形的性质得出，由菱形的性质得出则可得出结论；延长，交点为，由平行
21、线分线段成比例定理可得出，证出，则可得出结论；证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键28.【答案】解：由题知，解得或，设直线交点为，则， ，；过点作的垂线交的延长线于点，过点作轴的平行线与轴交点为，过点作轴的平行线交直线于点， ，为等腰直角三角形，在和中，设点的坐标为，则，的坐标为，由勾股定理知，设直线的解析式为，代入点的坐标得，直线的解析式为，解得
22、，即点的坐标为，将点坐标代入反比例函数解析式得，的值为；过作的垂线，垂足为，连接交于点，过点作轴的垂线，垂足为，由题知，若在下方， 的坐标为，垂直平分，点的坐标为，点坐标为，点坐标为，将点坐标代入反比例函数解析式得，若在上方， 的坐标为，垂直平分，点的坐标为，点坐标为，点坐标为，将点坐标代入反比例函数解析式得，当点到的距离为时，的值为或【解析】联立反比例函数和一次函数求出点和点的坐标，设直线与轴交于点，根据计算即可；过点作的垂线交的延长线于点，过点作轴的平行线与轴交点为，过点作轴的平行线交直线于点，根据证，设点坐标为，再用和表示出点的坐标，得出的解析式，联立方程组求出、的值即可得出点坐标，最后用待定系数法求出值即可；过作的垂线，垂足为，连接交于点，过点作轴的垂线，垂足为，分点在上方和下方两种情况分别求的值即可本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键第29页，共29页
